A x i o m s o f Qu a n t u m M e c h a n i c s

2 2 . 5 1 Q u a n t u m T h e o r y o f R a d i a t i o n I n t e r a c t i o n – F a l l 2 0 1 2

1 . T h e p r o p e r t i e s o f a q u a n t u m s y s t e m a r e c o m p l e t e l y d e fi n e d b y s p e c i fi c a t i o n o f i t s s t a t e v e c t o r | ψ ) .

T h e s t a t e v e c t o r i s a n e l e m e n t o f a c o m p l e x H i l b e r t s p a c e H c a l l e d t h e s p a c e o f s t a t e s .

2 . W i t h e v e r y p h y s i c a l p r o p e r t y A t h e r e e x i s t s a n a s s o c i a t e d l i n e a r , H e r m i t i a n o p e r a t o r A

( c a l l e d o b s e r v a b l e ) , w h i c h a c t s i n t h e s p a c e o f s t a t e s H .

T h e e i g e n v a l u e s o f t h e o p e r a t o r a r e t h e p o s s i b l e v a l u e s o f t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s .

3 . a ( B o r n R u l e ) I f | ψ ) i s t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g t h e s t a t e o f a s y s t e m a n d | ϕ ) r e p r e s e n t s a n o t h e r p h y s i c a l s t a t e , t h e r e e x i s t s a p r o b a b i l i t y P ( | ψ ) , | ϕ ) ) o f fi n d i n g | ψ ) i n s t a t e | ϕ ) , w h i c h i s g i v e n b y t h e s q u a r e d m o d u l u s o f t h e i n n e r p r o d u c t o n H :

P ( | ψ ) , | ϕ ) ) = | � ψ | ϕ ) | 2

3 .b ( W a v e f u n c t i o n c o l l a p s e ) I f A i s a n o b s e r v a b l e w i t h e i g e n v a l u e s { a n } a n d e i g e n v e c t o r s

{ | n ) } , g i v e n a s y s t e m i n t h e s t a t e | ψ ) , t h e p r o b a b i l i t y o f o b t a i n i n g a n a s t h e o u t c o m e o f t h e m e a s u r e m e n t o f A i s

P ( a n ) = | � n | ψ ) | 2

A f t e r t h e m e a s u r e m e n t t h e s y s t e m i s l e f t i n t h e s t a t e | n )

4 . T h e e v o l u t i o n o f a c l o s e d s y s t e m i s u n i t a r y ( r e v e r s i b l e ) . T h e e v o l u t i o n i s g i v e n b y t h e t i m e - d e p e n d e n t S c h r o ¨ d i n g e r e q u a t i o n

∂ | ψ )

i = H | ψ )

∂ t

w h e r e H i s t h e H a m i l t o n i a n o f t h e s y s t e m a n d n t h e r e d u c e d P l a n c k c o n s t a n t .

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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions

Fall 201 2

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