9 . H a r m o n i c O s ci l l a to r
9 . 1 H ar m o n i c O s c i l l at o r
9 . 1 . 1 C l a s s i c a l h a r m o n i c o s c i l l a t o r a n d h . o . m o d e l
9 . 1 . 2 O s c i l l a t o r H a m i l t o n i a n : P o s i t i o n a n d m o m e n t u m o p e r a t o rs
9 . 1 . 3 P o s i t i o n re p r e s e n t a t i o n
9 . 1 . 4 H e i s e n b e r g p i c t u r e
9 . 1 . 5 S c h r ¨ o d i n g e r p i c t u r e
9 . 2 U n c e r t ai n t y r e l at i o n s h i p s
9 . 3 C o h e r e n t S t at e s
9 . 3 . 1 E x p a n s i o n i n t e r m s o f n u m b e r s t a t e s
9 . 3 . 2 N o n - O r t h o g o n a l i t y
9 . 3 . 3 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s
9 . 3 . 4 X - re p r e s e n t a t i o n
9 . 4 . 1 H a r m o n i c o s c i l l a t o r m o d e l f o r a c r y s t a l
9 . 4 . 2 P h o n o n s a s n o rm a l m o d e s o f t h e l a t t i c e v i b ra t i o n
9 . 4 . 3 T h e rm a l e n e r g y d e n s i t y a n d S p e c i fi c H e a t
9 . 1 H a r m o n i c O s c i l l a t o r
W e h a v e c o n s id e r e d u p t o t h is m o m e n t o n ly s y s t e m s w it h a fi n it e n u m b e r o f e n e r g y le v e ls ; w e a r e n o w g o in g t o c o n s id e r a s y s t e m w it h a n in fi n it e n u m b e r o f e n e r g y le v e ls : t h e q u a n t u m h a r m o n ic o s c illa t o r ( h .o .) .
T h e q u a n t u m h .o . is a m o d e l t h a t d e s c r ib e s s y s t e m s w it h a c h a r a c t e r is t ic e n e r g y s p e c t r u m , g iv e n b y a la d d e r o f e v e n ly s p a c e d e n e r g y le v e ls . T h e e n e r g y d iff e r e n c e b e t w e e n t w o c o n s e c u t iv e le v e ls is ∆ E . T h e n u m b e r o f le v e ls is in fi n it e , b u t t h e r e m u s t e x is t a m in im u m e n e r g y , s in c e t h e e n e r g y m u s t a lw a y s b e p o s it iv e . G iv e n t h is s p e c t r u m , w e e x p e c t t h e H a m ilt o n ia n w ill h a v e t h e f o r m
2
H | n ⟩ = n + 1 k ω | n ⟩ ,
w h e r e e a c h le v e l in t h e la d d e r is id e n t ifi e d b y a n u m b e r n . T h e n a m e o f t h e m o d e l is d u e t o t h e a n a lo g y w it h c h a r a c t e r is t ic s o f c la s s ic a l h .o ., w h ic h w e w ill r e v ie w fi r s t .
9 . 1 . 1 C l a s s i c a l h a r m o n i c o s c i l l a t o r a n d h . o . m o d e l
2
0 0
d x 2
A c la s s ic a l h .o . is d e s c r ib e d b y a p o t e n t ia l e n e r g y V = 1 k x 2 . If t h e s y s t e m h a s a fi n it e e n e r g y E , t h e m o t io n is b o u n d b y t w o v a lu e s ± x , s u c h t h a t V ( x ) = E . T h e e q u a t io n o f m o t io n is g iv e n b y m d 2 x = − k x a n d t h e k in e t ic e n e r g y is
2 2 m
o f c o u r s e T = 1 m x ˙ 2 = p 2 . T h e e n e r g y is c o n s t a n t s in c e it is a c o n s e r v a t iv e s y s t e m , w it h n o d is s ip a t io n . M o s t o f t h e t im e t h e p a r t ic le is in t h e p o s it io n x 0 s in c e t h e r e t h e v e lo c it y is z e r o , w h ile a t x = 0 t h e v e lo c it y is m a x im u m .
T h e h .o . o s c illa t o r in Q M is a n im p o r t a n t m o d e l t h a t d e s c r ib e s m a n y d iff e r e n t p h y s ic a l s it u a t io n s . W e w ill s t u d y in d e p t h a p a r t ic u la r s y s t e m d e s c r ib e d b y t h e h .o ., t h e e le c t r o m a g n e t ic fi e ld . A n o t h e r s y s t e m t h a t c a n b e d e s c r ib e d
b y t h is m o d e l is s o lid - s t a t e c r y s t a ls , w h e r e t h e o s c illa t io n s o f n u c le i in t h e la t t ic e c a n b e d e s c r ib e d a s a s y s t e m s o f c o u p le d o s c illa t o r s ( p h o n o n s ) .
N o t ic e t h a t a n y p o t e n t ia l w it h a lo c a l m in im u m c a n b e lo c a lly d e s c r ib e d b y a n h .o .. P r o v id e d t h a t t h e e n e r g y is lo w e n o u g h ( o r x c lo s e t o x 0 ) , a n y p o t e n t ia l c a n in f a c t b e e x p a n d e d in s e r ie s , g iv in g : V ( x ) ≈ V ( x 0 ) + b ( x − x 0 ) 2 + . . .
d x 2
x 0
w h e r e b = d 2 V | .
9 . 1 . 2 O s c i l l a t o r H a m i l t o n i a n : P o s i t i o n a n d m o m e n t u m o p e r a t o r s
W e c a n d e fi n e t h e o p e r a t o r s a s s o c ia t e d w it h p o s it io n a n d m o m e n t u m . T h e y a r e t w o o b s e r v a b le s ( p , x ) w it h t h e c o m m u t a t io n p r o p e r t ie s : [ x , p ] = i k . W it h t h e s e t w o o p e r a t o r s , t h e H a m ilt o n ia n o f t h e q u a n u t m h .o . is w r it t e n a s :
p 2 k x 2 p 2 1 2 2
H = 2 m + 2
= + m ω x ,
2 m 2
√
w h e r e w e d e fi n e d a p a r a m e t e r w it h u n it s o f f r e q u e n c y : ω = k / m . W e u s e t h e d im e n s io n le s s v a r ia b le s ,
p √
P = √ m ω , X = x m ω
2
a n d H ˆ = H / ω , t o s im p lif y t h e e x p r e s s io n t o H ˆ = ω ( X 2 + P 2 ) / 2 o r H = ω ( X 2 + P 2 ) .
2
W e h a v e s a id in it ia lly t h a t w e e x p e c t t h e h a m ilt o n ia n t o h a v e t h e f o r m H ˆ = ( n + 1 ) | n ⟩ ⟨ n | , if e x p r e s s e d in a n
{ | ⟩ }
a p p r o p r ia t e b a s is . T h is s im p ly c o r r e s p o n d s t o d ia g o n a liz in g t h e H a m ilt o n ia n ( t h u s t h e b a s is n is t h e e n e r g y b a s is , o r t h e b a s is f o r m e d b y t h e e ig e n s t a t e s o f t h e H a m ilt o n ia n ) . H o w e v e r t h e d ia g o n a liz a t io n is n o t a s in t u it iv e a s f o r s im p le T L S ( o r n T L S ) b e c a u s e w e a r e c o n s id e r in g a s y s t e m w it h in fi n it e d im e n s io n s .
2
H | ⟩ ⟨ |
| ⟩ ∝ | − ⟩ | ⟩ ∝ | ⟩
| ⟩ | ⟩
T h e o p e r a t o r ˆ = ( n + 1 ) n n is o u r g u e s s f o r t h e d ia g o n a liz e d f o r m o f t h e H a m ilt o n ia n , w h ic h m a k e s e x p lic it t h e p r e s e n c e o f e n e r g y le v e ls , la b e le d b y n . C o r r e s p o n d in g ly , t h e r e m u s t b e o p e r a t o r s t h a t a c t o n t h e la d d e r o f e n e r g y le v e ls . F o r e x a m p le , t h e f u n d a m e n t a l o p e r a t io n s p o s s ib le a r e t h e r a is in g o r lo w e r in g o f 1 q u a n t u m o f e n e r g y , a s w e ll a s a n o p e r a t o r g iv in g t h e n u m b e r o f e n e r g y q u a n t a : N n = n n . T h e r a is in g a n d lo w e r in g o p e r a t o r s a c t a s t h e f o llo w in g : a n n 1 a n d a † n n + 1 . T h e y a r e a ls o c a lle d t h e a n n ih ila t io n a n d c r e a t io n o p e r a t o r s , a s t h e y d e s t r o y o r c r e a t e a q u a n t u m o f e n e r g y .
In s t e a d o f d e r iv in g r ig o r o u s ly t h e s e o p e r a t o r s , w e g u e s s t h e ir f o r m in t e r m s o f t h e X a n d P o p e r a t o r s :
a = √ 1 ( X + i P ) = √ 1 ( √ m ω x + √ i p )
2 k 2 k √ m ω
2 k
2 k
m ω
a † = √ 1 ( X − i P ) = √ 1 ( m ω x − √ i p ) ,
−
a n d w e w ill c h e c k a p o s t e r io r i t h a t in d e e d t h e y a c t a s a n n ih ila t io n a n d c r e a t io n o p e r a t o r s . N o t ic e t h a t a , a † a r e n o t h e r m it ia n , b u t t h e y a r e o n e t h e h e r m it ia n c o n j u g a t e o f t h e o t h e r ( a = ( a † ) † ) . A ls o , w e d e fi n e t h e n u m b e r o p e r a t o r a s N = a † a . T h e c o m m u t a t io n p r o p e r t ie s a r e : a , a † = 1 a n d [ N , a ] = a , N , a † = a † .
A ls o w e h a v e :
p = i q m ω k ( a † − a )
2 m ω
x = q k ( a † + a )
2
? Q u e s t i o n : P r o v e t h e c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s h i p s o f t h e r a i s i n g a n d l o w e r i n g o p e r a t o r s .
[ a , a † ] = 1 [ X + i P , X − i P ] = 1 ( [ X , − i P ] + [ i P , X ] ) = − i [ X , P ] = − i [ x , p ] = 1
2 k 2 k k k
S o w e a l s o h a v e a a † = [ a , a † ] + a † a = 1 + a † a = 1 + N .
[ N , a ] = [ a † a , a ] = [ a † , a ] a = − a a n d [ N , a † ] = [ a † a , a † ] = a † [ a , a † ] = a †
N o t ic e t h a t f r o m n o w o n w e w ill t a k e a s u s u a l k = 1 .
F r o m t h e c o m m u t a t io n r e la t io n s h ip s w e h a v e :
a | n ⟩ = [ a , N ] | n ⟩ = a n | n ⟩ − N a | n ⟩ → N ( a | n ⟩ ) = ( n − 1 ) ( a | n ⟩ ) ,
t h a t is , a | n ⟩ is a ls o a n e ig e n v e c t o r o f t h e N o p e r a t o r , w it h e ig e n v a lu e ( n − 1 ) . T h u s w e c o n fi r m t h a t t h is is t h e lo w e r in g o p e r a t o r : a | n ⟩ = c n | n − 1 ⟩ . S im ila r ly , a † | n ⟩ is a n e ig e n v e c t o r o f N w it h e ig e n v a lu e n + 1 :
a † | n ⟩ = N , a † | n ⟩ = N a † | n ⟩ − a † n | n ⟩ → N ( a † | n ⟩ ) = ( n + 1 ) ( a | n ⟩ ) .
W e t h u s h a v e a | n ⟩ = c n | n − 1 ⟩ a n d a † | n ⟩ = d n | n + 1 ⟩ . W h a t a r e t h e c o e ffi c ie n t s c n , d n ?
S in c e
a n d
⟨ n | N | n ⟩ = ⟨ n | a † a | n ⟩ = n
n
⟨ n | a † a | n ⟩ = ( ⟨ a n | ) ( a | n ⟩ ) = ⟨ n − 1 | n − 1 ⟩ c 2 ,
w e m u s t h a v e c n = √ n . A n a lo g o u s ly , s in c e a a † = N + 1 , a s s e e n f r o m t h e c o m m u t a t io n r e la t io n s h ip :
n
d 2 ⟨ n + 1 | n + 1 ⟩ = ⟨ a † n | a † n ⟩ = ⟨ n | a a † | n ⟩ ⟨ n | ( N + 1 ) | n ⟩ = n + 1
a | n ⟩ = √ n | n − 1 ⟩ ; a † | n ⟩ = √ n + 1 | n + 1 ⟩ .
S o in t h e e n d w e h a v e :
| ⟩
| ⟩ | ⟩
⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ ≥
A ll t h e n e ig e n v a lu e s o f N h a v e t o b e n o n - n e g a t iv e s in c e n = n N n = ψ n 1 ψ n 1 0 ( t h is f o llo w s f r o m t h e p r o p e r t ie s o f t h e in n e r p r o d u c t a n d t h e f a c t t h a t ψ n 1 = a n is j u s t a r e g u la r s t a t e v e c t o r ) . H o w e v e r , if w e a p p ly o v e r a n d o v e r t h e a ( lo w e r in g ) o p e r a t o r , w e c o u ld a r r iv e a t n e g a t iv e n u m b e r s n : w e t h e r e f o r e r e q u ir e t h a t a 0 = 0 t o t r u n c a t e t h is p r o c e s s . T h e a c t io n o f t h e r a is in g o p e r a t o r a † c a n t h e n p r o d u c e a n y e ig e n s t a t e , s t a r t in g f r o m t h e 0 e ig e n s t a t e :
( a † ) n
| n ⟩ = √ n ! | 0 ⟩ .
T h e m a t r ix r e p r e s e n t a t i o √ n o f t h e s e o p e r a t o r in t h e | n ⟩ √ b a s i s ( w it h in fi n it e - d im e n s io n a l m a t r ic e s ) is p a r t ic u la r ly s im p le ,
s in c e ⟨ n | a | n ′ ⟩ = δ n ′ , n − 1 n a n d ⟨ n | a † | n ′ ⟩ = δ n ′ , n + 1 n + 1 :
0 √ 1 √ 0 . . . √ 0 0 0 . . .
0 0 0 . . .
0
2 0 . . .
a = 0 0
2 . . .
a † =
1 √ 0 0 . . .
T h e H a m ilt o n ia n c a n b e w r it t e n in t e r m s o f t h e s e o p e r a t o r s . W e s u b s t it u t e a , a † a t t h e p la c e o f X a n d P , y ie ld in g
2 2
H = ω ( a † a + 1 ) = ω ( N + 1 ) a n d t h e m in im u m e n e r g y k ω / 2 is c a lle d t h e z e r o p o in t e n e r g y .
9 . 1 . 3 P o s i t i o n r e p r e s e n t a t i o n
∫ ∫
| ⟩
W e h a v e n o w s t a r t e d f r o m a ( p h y s ic a l) d e s c r ip t io n o f t h e h .o . H a m ilt o n ia n a n d m a d e a c h a n g e o f b a s is in o r d e r t o a r r iv e a t a s im p le d ia g o n a l f o r m o f it . N o w t h a t w e k n o w it s e ig e n k e t s , w e w o u ld lik e t o g o b a c k t o a m o r e in t u it iv e p ic t u r e o f p o s it io n a n d m o m e n t u m . W e t h u s w a n t t o e x p r e s s t h e e ig e n k e t s n in t e r m s o f t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n ( s e e a ls o s e c t io n 5 .5 .1 ) .
T h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n c o r r e s p o n d s t o e x p r e s s in g a s t a t e v e c t o r | ψ ⟩ in t h e p o s it io n b a s is : | ψ ⟩ = d x ⟨ x | ψ ⟩ | x ⟩ =
d x ψ ( x ) | x ⟩ ( w h e r e | x ⟩ is t h e e ig e n s t a t e o f t h e p o s it io n o p e r a t o r t h a t is a c o n t in u o u s v a r ia b le , h e n c e t h e in t e g r a l) . T h is d e fi n e s t h e w a v e f u n c t io n ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ .
i p
T h e w a v e f u n c t io n d e s c r ip t io n in t h e x r e p r e s e n t a t io n o f t h e q u a n t u √ m h .o . c a n b e f o u n d b y s t a r t in g w it h t h e g r o u n d
s t a t e w a v e f u n c t io n . S in c e a | 0 ⟩ = 0 w e h a v e √ 1 ( X + i P ) | 0 ⟩ = √ 1 ( m ω x + √ ) | 0 ⟩ = 0 . In t h e x r e p r e s e n t a t io n ,
2 2 m ω
g iv e n ψ 0 ( x ) = ⟨ x | 0 ⟩
1 √ i p d
2
− m ω x / 2
√ 2 ⟨ x | (
m ω x + √ m ω ) | 0 ⟩ = 0 → ( m ω x + d x ) ψ 0 ( x ) = 0
→ ψ 0 ( x ) ∝ e
T h e o t h e r e ig e n s t a t e s a r e b u ilt u s in g H e r m it e P o ly n o m ia ls H n
d iff e r e n t ia l e q u a t io n s :
( x ) , u s in g t h e f o r m u la 3 1 | n ⟩ =
† n
( a )
√ n ! | 0 ⟩ t o d e r iv e
1 √ 1 d n
ψ n ( x ) = ⟨ x | n ⟩ = √ n !2 n
2 n n !
w it h s o lu t io n s ψ n ( x ) = ⟨ x | n ⟩ = √ 1 H n ( x ) ψ 0 ( x ) .
m ω x − √ m ω d x
ψ 0 ( x )
T h e n = 2 a n d n = 3 w a v e f u n c t io n s a r e p lo t t e d in t h e f o llo w in g fi g u r e , w h ile t h e s e c o n d fi g u r e d is p la y s t h e p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n f u n c t io n . N o t ic e t h e d iff e r e n t p a r it y f o r e v e n a n d o d d n u m b e r a n d t h e n u m b e r o f z e r o s o f t h e s e f u n c t io n s .
0.5
– 4
– 2
2
4
– 0.5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
– 4
– 2
2
4
F i g . 1 2 : Le f t : H a rm o n i c o s c i l l a t o r w a v e f u n c t i o n . R i g h t : c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r n = 2 ( b l u e ) a n d
n = 3 ( R e d , d o t t e d ) .
q
x
0
2
0
C la s s ic a lly , t h e p r o b a b ilit y t h a t t h e o s c illa t in g p a r t ic le is a t a g iv e n v a lu e o f x is s im p ly t h e f r a c t io n o f t im e t h a t it s p e n d s t h e r e , w h ic h is in v e r s e ly p r o p o r t io n a l t o it s v e lo c it y v ( x ) = x ω 1 − x 2 a t t h a t p o s it io n . F o r la r g e n , t h e
p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n b e c o m e s c lo s e t o t h e c la s s ic a l o n e :
0.4
0.3
0.2
0.1
0.6
0.4
0.2
– 10
– 5
5
10
– 0.2
– 0.4
– 10 – 5 0 5 10
F i g . 1 3 : Le f t : H a r m o n i c o s c i l l a t o r w a v e f u n c t i o n . R i g h t : c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r n = 4 0 . I n R e d , t h e c l a s s i c a l p r o b a b i l i t y .
3 1 F o r m o r e d e t a i l s o n H e rm i t e P o l y n o m i a l s a n d t h e i r g e n e r a t o r f u n c t i o n , l o o k o n C o h e n - T a n n o u d j i . O n l i n e i n f o r m a t i o n f r o m : E r i c W . W e i s s t e i n . H e r m i t e P o l y n o m i a l . F r o m M a t h W o r l d – A W o l f r a m W e b R e s o u r c e .
9 . 1 . 4 H e i s e n b e r g p i c t u r e
W e w a n t n o w t o s t u d y t h e t im e - e v o lu t io n o f t h e h .o . W e fi r s t s t a r t w it h a n a ly z in g t h e e v o lu t io n o f t h e o p e r a t o r s in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e . W e h a v e
S im ila r ly :
d a 1
†
d t = i [ H , a ] = i [ ω ( a a + 2 ) , a ] = − i ω a → a ( t ) = a ( 0 ) e
− i ω t
d a †
d t
, a ] = i [ ω ( a a + ) , a ] = i ω a
2
= i [ H †
† 1 † †
† † i ω t
→ a ( t ) = a ( 0 ) e
N o t ic e t h a t w e c o u ld h a v e f o u n d t h is la s t r e la t io n s h ip j u s t b y t a k in g t h e h e r m it ia n c o n j u g a t e o f t h e fi r s t o n e . U s in g t h e s e r e s u lt s , w e c a n a ls o fi n d t h e t im e e v o lu t io n o f t h e p o s it io n a n d m o m e n t u m o p e r a t o r s :
p ( 0 )
x ( t ) = x ( 0 ) c o s ( ω t ) + s in ( ω t )
m ω
p ( t ) = p ( 0 ) c o s ( ω t ) − m ω x ( 0 ) s in ( ω t ) a n d t h e c o r r e s p o n d in g e x p e c t a t io n v a lu e s , e .g .
m ω
⟨ x ( t ) ⟩ = ⟨ x ( 0 ) ⟩ c o s ( ω t ) + ⟨ p ( 0 ) ⟩ s in ( ω t )
Σ Σ
9 . 1 . 5 S c h r o ¨ d i n g e r p i c t u r e
A n in it ia l s t a t e c a n b e e x p r e s s e d in t e r m s o f t h e n u m b e r e ig e n v e c t o r s : | ψ ⟩ = n c n | n ⟩ . T h e n it s e v o lu t io n is s im p ly :
Σ
| ψ ( t ) ⟩ = n c n e − i n ω t | n ⟩ . F r o m t h is e x p r e s s io n , o n e c a n c a lc u la t e e .g .
⟨ x ( t ) ⟩ = c n c ∗ m ⟨ m | x | n ⟩ e − i ω t ( n − m ) .
n , m
— ±
S in c e x o n ly c o n n e c t s s t a t e s t h a t d iff e r b y n m = 1 , it ’s e a s y t o s e e t h a t t h e d o u b le s u m s im p lifi e s a n d w e r e t r ie v e t h e e x p r e s s io n a b o v e , f o u n d in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e .
9 . 2 Un c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s
| ⟩
√ ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩
T h e o p e r a t o r s x a n d p f o r a q u a n t u m h .o . d o n o t c o m m u t e , s o t h e y d o n o t s h a r e a n y e ig e n s t a t e , n o r t h e y s h a r e e ig e n s t a t e s w it h t h e H a m ilt o n ia n . In p a r t ic u la r t h e d ia g o n a l e le m e n t s o f x a n d p in t h e n - b a s is r e p r e s e n t a t io n a r e b o t h z e r o , t h e r e f o r e t h e e x p e c t a t io n v a lu e s a r e a ls o z e r o . In a s e r ie s o f m e a s u r e m e n t s , it is p o s s ib le t o g e t a r a n g e o f v a lu e s ; w e a s s o c ia t e t h is d is p e r s io n o f v a lu e s w it h t h e r o o t m e a n s q u a r e v a lu e o f t h e e ig e n v a lu e s :
∆ x = x 2 x 2 ( 3 )
∆ p = √ ⟨ p 2 ⟩ − ⟨ p ⟩ 2 ( 4 )
G iv e n t h e e x p r e s s io n f o r x a n d p in t e r m s o f a a n d a † w e c a n c a lc u la t e x 2 :
k
2
⟨ x ⟩ =
2 m ω
⟨ n | a a + a † a † + a † a + a a † | n ⟩ ( 5 )
k k
a n d in t h e s a m e w a y , w e c a n c a lc u la t e p 2 : ⟨ p 2 ⟩ = m k ω ( 2 n + 1 ) . S in c e t h e e x p e c t a t io n v a lu e s a r e z e r o ( ⟨ x ⟩ = ⟨ p ⟩ = 0 ) ,
= 2 m ω ⟨ n | a † a + a a † | n ⟩ = 2 m ω ( 2 n + 1 ) ( 6 )
√ √ 2
t h e d e v ia t io n s a r e j u s t : ∆ x = ⟨ x 2 ⟩ a n d ∆ p = ⟨ p 2 ⟩ a n d t h e u n c e r t a in t y r e la t io n c a n b e e x p r e s s e d b y :
k
∆ p ∆ x = ( 2 n + 1 ) ( 7 )
2
2
≥
W e s e e t h a t in g e n e r a l ∆ p ∆ x k , w it h e q u a lit y f o r n = 0 : t h e g r o u n d s t a t e o f t h e h a r m o n ic o s c illa t o r is a s t a t e o f m in im u m u n c e r t a in t y . M o r e g e n e r a lly , f o r a n y p o t e n t ia l V ( x ) , t h e g r o u n d s t a t e o f a lo c a l m in im u m is a lw a y s a s t a t e o f m in im u m u n c e r t a in t y ( s in c e t h e p o t e n t ia l c a n b e a lw a y s a p p r o x im a t e d b y a n h a r m o n ic p o t e n t ia l) .
√
W e e x p e c t t h a t h ig h e r e n e r g y s t a t e s d o n o t s a t u r a t e t h e u n c e r t a in t y b o u n d . C la s s ic a lly , w h e n a s y s t e m h a s s o m e fi n it e e n e r g y , t h e p a r t ic le is m o v in g a r o u n d s o ∆ x = 2 x 0 . A t t h e m in im u m e n e r g y ( t h a t c la s s ic a lly is 0 ) , t h e p a r t ic le is a t r e s t , lo c a liz e d ( ∆ x = 0 ) . F o r t h e q u a n t u m h .o ., e v e n t h e m in im u m e n e r g y s t a t e is n o t lo c a liz e d , b u t r a t h e r it is a g a u s s ia n p a c k e t ( a s d e s c r ib e d b y ψ 0 ( x ) ) t h u s t h e s t a t e d o e s h a v e s o m e u n c e r t a in t y in it s p o s it io n . S t ill, a s e x p e c t e d f r o m t h e c la s s ic a l in t u it io n , t h is u n c e r t a in t y is t h e m in im u m p o s s ib le .
4
F r o m t h e e x p e c t a t io n v a lu e s x 2 a n d p 2 w e c a n c a lc u la t e t h e a v e r a g e k in e t ic a n d p o t e n t ia l e n e r g y . W e fi n d t h a t t h e a v e r a g e p o t e n t ia l a n d k in e t ic e n e r g y a r e t h e s a m e , ⟨ T ⟩ = ⟨ V ⟩ = k ω = ⟨ E ⟩ / 2 , a s f o r c la s s ic a l c o n s e r v a t iv e s y s t e m s
( v ir ia l t h e o r e m ) .
9 . 3 Co h e r e n t S t a t e s
W e n o w w a n t t o lo o k a t s o m e c o n n e x io n o f t h e q u a n t u m h .o . w it h t h e c la s s ic a l o n e . W e h a v e s e e n t h a t in t h e lim it o f v a n is h in g e n e r g y , t h e c la s s ic a l a n d q u a n t u m o s c illa t o r s a r e v e r y d iff e r e n t , s in c e t h e m in im u m e n e r g y f o r t h e q u a n t u m
E ( n + 1 / 2 ) k ω
h .o . is n o n - z e r o , w h ile t h e c la s s ic a l h .o . is t o t a lly lo c a liz e d . O n t h e o p p o s it e s id e , w e s a w t h a t a t h ig h e n e r g y ( h ig h n ) t h e e n e r g y d iff e r e n c e b e t w e e n t w o le v e ls v a n is h e s , ∆ E = k ω ≈ 0 ; t h u s t h e e n e r g y b e c o m e s c o n t in u o u s , a s it w o u ld b e in t h e c la s s ic a l c a s e . S t ill, t o fi n d a q u a n t u m - t o - c la s s ic a l c o r r e s p o n d e n c e it is n o t e n o u g h t o c h o o s e a s t a t io n a r y e ig e n s t a t e o f t h e H a m ilt o n ia n w it h a h ig h e n e r g y ( h ig h n ) : t h is s t a t e w o u ld s t ill h a v e z e r o e x p e c t a t io n
v a lu e f o r t h e m o m e n t u m a n d p o s it io n . In c o n t r a s t , t h e p o s it io n e v o lu t io n in c la s s ic a l m e c h a n ic s is x c l = x 0 c o s ω t :
| ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ | | ⟩
id e a lly w e w o u ld lik e t o fi n d a s t a t e ψ c l s u c h t h a t x ( t ) = ψ c l ( t ) x ψ c l ( t ) = x c l , a s u s u a lly s t a t e d b y E h r e n f e s t t h e o r e m . C o h e r e n t s t a t e s a c h ie v e t h is r e s u lt . F o r t h is r e a s o n s , t h e s e s t a t e s a r e a ls o c a lle d q u a s i- c la s s ic a l.
T h e c o h e r e n t s t a t e w a s d e fi n e d b y R o y J . G la u b e r 3 2 . H e w a s lo o k in g f o r a s u p e r p o s it io n o f e ig e n s t a t e s t h a t lo o k e d a s c la s s ic a l a s p o s s ib le , w it h o u t in v o k in g a n y d e c o h e r e n c e o r t h e a c t io n o f a n e x t e r n a l e n v ir o n m e n t . T h e c o h e r e n t s t a t e s a r e p u r e q u a n t u m s t a t e s , h o w e v e r w h e n w e lo o k a t e x p e c t a t io n v a lu e s w it h r e s p e c t t o t h e s e s t a t e s , t h e lim it o f h ig h e n e r g y w e r e c o v e r t h e c la s s ic a l r e s u lt s . F o r e x a m p le , a lt h o u g h t h e o p e r a t o r x a n d p d o n o t c o m m u t e a n d g iv e r is e t o t h e k n o w n u n c e r t a in t y r e la t io n s h ip s , w h e n w e c o n s id e r t h e h ig h e n e r g y lim it o f t h e ir e x p e c t a t io n v a lu e s t h e u n c e r t a in t ie s b e c o m e a v a n is h in g c o n t r ib u t io n .
√
G la u b e r id e a w a s t o in t r o d u c e a c o m p le x c la s s ic a l v a r ia b le α = 1 ( X + i P ) ( w h e r e X a n d P a r e t h e d im e n s io n le s s
2
v a r ia b le s d e fi n e d p r e v io u s ly ) . T h e c la s s ic a l e q u a t io n s o f m o t io n f o r x a n d p d e fi n e t h e e v o lu t io n o f t h e v a r ia b le α :
d x p ( t )
= ,
d p = − m ω 2 x →
d α
= − i ω α ( t )
d t m d t d t
T h e e v o lu t io n o f α is t h e r e f o r e j u s t a r o t a t io n in it s p h a s e s p a c e : α ( t ) = α ( 0 ) e − i ω t . T h is is u s u a l f o r a c o n s e r v a t iv e s y s t e m ( in c la s s ic a l m e c h a n ic s ) o r c lo s e d s y s t e m s in Q M . T h e in it ia l c o n d it io n s t h u s s p e c if y t h e o v e r a ll e v o lu t io n , α 0 = α ( 0 ) c √ o n t a in s a ll t h e im p √ o r t a n t in f o r m a t io n .
S in c e X = 2 R e ( α ) a n d P = 2 I m ( α ) , t h e e x p e c t a t io n v a lu e s f o r X a n d P o s c illa t e , a s u s u a l in t h e c la s s ic a l c a s e
( a g a in , h e r e X a n d P a r e j u s t n o r m a liz e d , c la s s ic a l v a r ia b le ) .
2
⟨ X ⟩ = √ 1 ( α 0 e − i ω t + α 0 ∗ e i ω t )
2
⟨ P ⟩ = √ − i ( α 0 e − i ω t − α 0 ∗ e i ω t )
0
T h e c la s s ic a l e n e r g y , g iv e n b y ω / 2 ( X 2 + P 2 ) = ω α 2 , is c o n s t a n t a t a ll t im e .
N o w c o n s id e r t h e Q M p r o b le m , w h e r e t h e v a r ia b le s a r e r e p la c e d b y t h e c o r r e s p o n d in g o p e r a t o r s :
X = ( a + a † ) / √ 2 , P = − i ( a − a † ) / √ 2 , H † 1
= ω ( a a + ) ,
2
a n d c o n s id e r t h e e v o lu t io n o f t h e o p e r a t o r a in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e . It s e x p e c t a t io n v a lu e is g iv e n b y
d t
d ⟨ a ⟩ = − i ⟨ [ a , H ] ⟩ = − i ⟨ [ a , ω a † a ] ⟩ = − i ω ⟨ a ⟩
3 2 R o y J . G l a u b e r , C o h e r e n t a n d I n c o h e r e n t S t a t e s o f t h e R a d i a t i o n F i e l d , P h y s . R e v . 1 3 1 2 7 6 6 – 2 7 8 8 ( 1 9 6 3 ) .
T h e r e f o r e t h e e x p e c t a t io n v a lu e e v o lu t io n is t h e s a m e a s f o r t h e α v a r ia b le :
⟨ a ( t ) ⟩ = ⟨ a ( 0 ) ⟩ = e − i ω t , ⟨ a ( t ) † ⟩ = ⟨ a ( 0 ) † ⟩ e i ω t
In s p ir e d b y t h is r e s u lt , w e c o n s id e r a s t a t e t h a t is a n √ e i g e n s t a t e o f t √ h e a n n ih ila t i o √ n o p e r a t o r a : a | α ⟩ = α | α ⟩ . W it h
r e s p e c t t o t h is s t a t e w e h a v e ⟨ X ⟩ = ⟨ α | ( a + i a † ) | α ⟩ / 2 = ( α + α ∗ ) / 2 = R e ( α ) / 2 / = 0 . T h e e v o lu t io n o f ⟨ X ⟩ w ill
t h e n h a v e t h e s a m e o s c illa t o r y c h a r a c t e r a s f o r it s c la s s ic a l c o u n t e r p a r t . T h is e ig e n s t a t e o f t h e a n n ih ila t io n o p e r a t o r h a s t h e d e s ir e d p r o p e r t y a n d w e t h u s id e n t if y it w it h a c o h e r e n t s t a t e .
→ | |
T h e e x p e c t a t io n v a lu e s o f p o s it io n a n d m o m e n t u m w it h r e s p e c t t o a c o h e r e n t s t a t e g iv e r is e t o t h e c la s s ic a l r e s u lt . H o w e v e r , w h e n c o n s id e r in g t h e e x p e c t a t io n v a lu e o f t h e e n e r g y , t h e r e a r e s t ill t w o c o n t r ib u t io n s : t h e fi r s t o n e c o n - t r ib u t e s t o t h e c la s s ic a l e n e r g y ( ω a † a E = ω α 0 2 ) , w h ile t h e s e c o n d t e r m is a p u r e ly Q M c o n t r ib u t io n ( z e r o p o in t
e n e r g y ) . T h e c la s s ic a l lim it is r e a c h e d a t h ig h e r e n e r g y w h e r e t h e fi r s t c o n t r ib u t io n is m u c h la r g e r t h a n t h e z e r o - p o in t e n e r g y k ω / 2 .
9 . 3 . 1 E x p a n s i o n i n t e r m s o f n u m b e r s t a t e s
| ⟩ Σ | ⟩
T h e c o h e r e n t s t a t e c a n o f c o u r s e b e e x p r e s s e d in t e r m s o f n u m b e r e ig e n s t a t e s : α = n c n n . W e w a n t t o d e r iv e t h e c o e ffi c ie n t s c n . F r o m
∞ ∞ ∞
a | α ⟩ = α | α ⟩ → Σ c n a | n ⟩ = Σ c n √ n | n − 1 ⟩ = Σ c n + 1 √ n + 1 | n ⟩
n = 0
n = 1
n = 0
w e o b t a in
Σ √ √
∞
( α c n − c n + 1 n + 1 ) | n ⟩ = 0 → α c n = c n + 1 n + 1
n = 0
W e t h u s h a v e a s e r ie s o f e q u a t io n s ,
√
α
c
2
= α c
2
1
2
= √ 2 c
0
, , c 1 = α c 0
3
3
2
√ 6
0
, , c
= √ α c = α 3 c
S o in g e n e r a l c
= √ α n c . W e fi n a lly o b t a in c
f r o m t h e n o r m a liz a t io n c o n d it io n ⟨ α | α ⟩ = 1 :
| α |
n n ! 0
0
2
α
( α )
Σ n ∗ m
| c 0 | =
m , n
√ n ! m !
! − 1 Σ
⟨ m | n ⟩
=
n
2 n ! − 1
n !
= e
− | α |
2
T h e c o h e r e n t s t a t e c a n t h u s b e e x p r e s s e d in t e r m s o f t h e n u m b e r s t a t e s a s
∞ n
| α ⟩ = e
2
√ | n ⟩
— 1 | α | 2 Σ α
n = 0
n !
T h is a ls o g iv e s t h e p r o b a b ilit y f o r o b t a in in g a p a r t ic u la r e n e r g y le v e l n w h e n t h e s y s t e m is in a q u a n t u m c o h e r e n t s t a t e :
|⟨ | ⟩ | ⟨ n ⟩
n
P α ( n ) = n α 2 = e − ( n ⟩
n !
⟨ ⟩ ⟨ | | ⟩ | | | |
w h e r e w e h a v e u s e d t h a t t h e a v e r a g e n u m b e r o f p h o t o n s is n = α a † a α = α 2 . N o t ic e a ls o t h a t ∆ n 2 = α 2 . W e t h u s s e e t h a t t h e c o h e r e n t s t a t e s h a v e a P o is s o n ia n d is t r ib u t io n .
9 . 3 . 2 N o n - O r t h o g o n a l i t y
| ⟩
T h e c o h e r e n t s t a t e s α d o n o t f o r m a p r o p e r b a s is , s in c e t h e y a r e e ig e n v e c t o r s o f a n o n - h e r m it ia n o p e r a t o r . In p a r t ic u la r t h e y a r e n o t o r t h o g o n a l ( e v e n if t h e y a r e n o r m a liz e d b y t h e c h o ic e o f c 0 ) :
Σ Σ
⟨ α | β ⟩ = e − ( | α | 2 + | β | 2 ) / 2 ( α ∗ ) n β m / √ n ! m ! ⟨ n | m ⟩ = e − ( | α | 2 + | β | 2 ) / 2 ( α ∗ β ) n / n ! = e − ( | α | 2 + | β | 2 − 2 α ∗ β ) / 2
n , m n
A lt h o u g h n o t o r t h o g o n a l, t h e ir s u p e r p o s it io n g o e s t o z e r o a s | α − β | → 0 , s in c e
| ⟨ α | β ⟩ | 2 = e − ( | α | 2 + | β | 2 − 2 α ∗ β ) / 2 e − ( | α | 2 + | β | 2 − 2 α β ∗ ) / 2 = e − | α − β | 2
A ls o , t h e s e t o f c o h e r e n t s t a t e s is c o m p le t e :
∫ | α ⟩ ⟨ α | d α / π = 1 1
B e c a u s e o f t h is c lo s u r e r e la t io n , a n y s t a t e c a n b e w r it t e n in t e r m s o f c o h e r e n t s t a t e s u p e r p o s it io n , t h u s t h e c o h e r e n t s t a t e s f o r m a n o v e r c o m p le t e b a s is .
9 . 3 . 3 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s
W e h a v e a lr e a d y s e e n t h a t
√ 1 ∗
√ i ∗
⟨ X ⟩ = 2 R e [ α ] = √ 2 ( α + α ) , ⟨ P ⟩ = − i
2 I m [ α ] = √ 2 ( α
— α )
N o w c o n s id e r t h e v a r ia n c e . W e h a v e :
2 2
X 2 = 1 ⟨ α | a 2 + ( a † ) 2 + a a † + a † a | α ⟩ = 1 ( α 2 + ( α ∗ ) 2 + 2 α ∗ α + 1 )
a n d
P 2 = 1 ⟨ α | a 2 + ( a † ) 2 − a a † − a † a | α ⟩ = − 1 ( α 2 + ( α ∗ ) 2 − 2 α ∗ α − 1 ) = 1 [1 − ( α − α ∗ ) 2 ]
a n d f o r e x a m p le :
2 2 2
—
∆ X 2 = 1 [( α 2 + ( α ∗ ) 2 + 2 α ∗ α + 1 ) ( α + α ∗ ) 2 ] = 1
2 2
2 2
W e t h e n h a v e ∆ X 2 = 1 a n d ∆ P 2 = 1 s o t h a t t h e u n c e r t a in t y r e la t io n s h ip is s a t u r a t e d :
1
∆ X ∆ P =
2
T h e c o h e r e n t s t a t e is t h u s a m in im u m u n c e r t a in t y s t a t e ( a s t h e n u m b e r s t a t e s w e r e ) .
? Q u e s t i o n : W h a t a r e t h e u n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p i n t e r m s o f t h e v a r i a b l e s x a n d p ?
⟨ x ⟩ = r k ( α + α ∗ ) , ⟨ p ⟩ = i r k m ω ( α − α ∗ )
a n d
2 m ω 2
2 2 ∗ 2 ∗
k
x = ( α + ( α ) + 2 α α + 1 ) 2 m ω
2
p 2 = k m ω ( α 2 + ( α ∗ ) 2 − 2 α ∗ α − 1 )
W e t h u s h a v e t h e u n c e r t a i n t i e s f o r x a n d p a n d t h e i r u n c e rt a i n t y r e l a t i o n s h i p
∆ x 2
k
= , ∆ p 2 = 2 m ω
k m ω k
2 → ∆ x ∆ p = 2
9 . 3 . 4 X - r e p r e s e n t a t i o n
W e n o w w a n t t o o b t a in a n e x p r e s s io n f o r t h e w a v e f u n c t io n r e p r e s e n t in g a c o h e r e n t s t a t e , t h a t is , w e w a n t t o fi n d t h e x - r e p r e s e n t a t io n o f t h e c o h e r e n t s t a t e : ⟨ x | α ⟩ . F o r t h is , w e s t a r t f r o m t h e e q u a t io n
⟨ x | a | α ⟩ = α ⟨ x | α ⟩
√ m ω i
a s w e ll a s t h e e x p lic it f o r m o f a in t e r m s o f x a n d p , a =
√ 2 k x + √ 2 m ω k p
2 k
2 k m ω
⟨ x | a | α ⟩ = ⟨ x | r m ω x + i r 1 p ! | α ⟩
N o w w e d e fi n e t h e w a v e f u n c t io n in t h e x - r e p r e s e n t a t io n ⟨ x | α ⟩ = ψ α ( x ) a n d w e r e m e m b e r t h a t
⟨ x | p | ψ ⟩ = − i k ∂ x ψ ( x )
a n d ⟨ x | p | x ′ ⟩ = − i k ∂ x δ ( x − x ′ ) t o o b t a in :
2 k 2 k m ω
2 k
⟨ x | r m ω x + i r 1 p ! | α ⟩ = r m ω x + r
2 m ω ∂ x
k ∂ ! ⟨ x | α ⟩
E q u a t in g w it h t h e e x p r e s s io n o b t a in e d b e f o r e y ie ld s t h e d iff e r e n t ia l e q u a t io n :
∂ x
α
k
k
α
∂ ψ ( x ) = r 2 m ω α − m ω x ! ψ
( x )
√
w it h s o lu t io n 2 m ω
ψ α ( x ) = A e k
α x e − m ω x 2
2 k
α
T h e c o n s t a n t A c a n b e a s u s u a l o b t a in e d f r o m t h e n o r m a liz a t io n c o n d it io n :
∫
∞
| ψ α ( x ) | 2
− ∞
d x = 1 → A =
m ω 1 / 4
2 π k
2
e − 2
T h e w a v e f u n c t io n r e p r e s e n t a t io n is t h u s a G a u s s ia n w a v e p a c k e t :
ψ α ( x ) =
m ω 1 / 4
2 π k
2
α
e − 2 e
√ 2 m ω α x e
— x
m ω 2 2 k
k
( n o t j u s t a s im p le G a u s s ia n , s in c e α c a n b e c o m p le x ) .
9 . 4 P h o n o n s
W e h a v e in t r o d u c e d t h e h a r m o n ic o s c illa t o r a s a n in t e r e s t in g m o d e l b e c a u s e o f t h e e n e r g y le v e l s t r u c t u r e it g iv e s r is e t o . A s e c o n d r e a s o n f o r it s u t ilit y is t h a t it c a n m o d e l m a n y d iff e r e n t s y s t e m s a r o u n d t h e ir e q u ilib r iu m p o in t . H e r e w e s h o w h o w it c a n b e u s e d t o d e s c r ib e v ib r a t io n s in a c r y s t a l la t t ic e a n d h o w t h e q u a n t u m - m e c h a n ic a l d e s c r ip t io n c a n b e u s e d t o d e r iv e s o m e o f t h e la t t ic e p r o p e r t ie s , s u c h a s it s s p e c ifi c h e a t .
9 . 4 . 1 H a r m o n i c o s c i l l a t o r m o d e l f o r a c r y s t a l
W e c o n s id e r a c r y s t a l f o r m e d b y io n s o f m a s s M in a la t t ic e ( f o r s im p lic it y w e w ill c o n s id e r a m o n o a t o m ic , o n e - d im e n s io n a l la t t ic e ) .
T h e io n e q u ilib r iu m p o s it io n s a r e R n = n d , w it h d t h e la t t ic e c o n s t a n t , b u t t h e a c t u a l p o s it io n o f t h e io n s is
r n = R n + x n , w h e r e x n is t h e d is p la c e m e n t f r o m t h e e q u ilib r iu m . T h e in t e r a c t io n p o t e n t ia l a m o n g t h e io n s is
2
n
U = 1 Σ U ( r
— r ) = 1 Σ U ( R
n
— R + x
m
— x )
n , m n , m
2 2
m
2
n m
m
n
n
m
n m
n
A s s u m in g t h e d is p la c e m e n t x n is s m a ll, w e c a n e x p a n d t h e p o t e n t ia l a s :
2
n
n , m n , m
U = 1 Σ U ( R
— R ) + 1 Σ ( x
m
— x ) ∂ U ( R
— R ) + 1 Σ ( x
n , m
— x ) ∂ U ( R
m
— R )
2
Σ
2
4
T h e fi r s t t e r m U e q = 1 n , m U ( R n − R m ) is t h e in t e r a c t io n p o t e n t ia l a t e q u ilib r iu m , w h ic h is n o t o f in t e r e s t h e r e . C o n s id e r t h e lin e a r t e r m :
2
n
m
n
m
2
n
n
m
m
n
n
n
m
1 Σ ( x − x ) ∂ U ( R − R ) = 1 Σ x Σ [ ∂ U ( R − R ) − ∂ U ( R − R ) ] = Σ x Σ ∂ U ( R − R )
Σ U −
n , m n m n m
T h e t e r m m ∂ ( R n R m ) = F n is t h e t o t a l f o r c e e x e r t e d o n t h e a t o m n b y a ll t h e o t h e r a t o m s . W h e n a ll t h e a t o m s a r e a t e q u ilib r iu m , t h is f o r c e m u s t b e z e r o , s in c e t h e r e c a n b e n o n e t f o r c e a t e q u ilib r iu m . W e a r e t h e n le f t w it h o n ly t h e s e c o n d o r d e r t e r m :
2
n
m
x
U = 1 Σ ( x
n , m
— x ) 2 ∂ 2 U
If w e a s s u m e t h a t o n ly n e ig h b o r in g io n s in t e r a c t , t o s e c o n d o r d e r , w e r e t r ie v e a n h a r m o n ic p o t e n t ia l:
2
n
n + 1
U = 1 K Σ ( x − x ) 2
n
T h e n , t h e H a m ilt o n ia n c a n b e w r it t e n a s :
Σ p 2 1 Σ 2
n
H
= + K
2 M 2
n n
( x n − x n + 1 )
w h ile t h e e q u a t io n o f m o t io n f o r e a c h o s c illa t o r is :
n
∂ U M x ¨ n = − ∂ x
= − K [2 x n − x n − 1 − x n + 1 ]
9 . 4 . 2 P h o n o n s a s n o r m a l m o d e s o f t h e l a t t i c e v i b r a t i o n
T h e c la s s ic a l o s c illa t o r m o d e l is s o lv e d b y g u e s s in g a s o lu t io n in t e r m s o f w a v e s ( n o r m a l m o d e s o f t h e o s c illa t io n ) :
x k ( t ) ∝ e − i k R n e − i ω k t
T h is s o lu t io n is m o t iv a t e d b y t h e t r a n s la t io n s y m m e t r y o f t h e la t t ic e . W e c a n c h e c k t h a t t h e s o lu t io n w e g u e s s e d is t h e c o r r e c t o n e , b y in s e r t in g it in t h e e q u a t io n o f m o t io n
M x ¨
∂ U
= −
→ − M ω x
= − K [2 x − x − x ] = − K x [2 − e i k d − e − i k d ]
2
n ∂ x n k n
n n − 1 n + 1 n
T h u s if w e s e t ω 2 = K 2 [1 − c o s ( k d ) ] t h e e q u a t io n is v e r ifi e d . T h e r e la t io n s h ip :
k M
ω ( k ) = 2 ω s in k d ,
0 2
√
w it h ω 0 = K / M , is c a lle d t h e d is p e r s io n r e la t io n , w h ic h d e s c r ib e s t h e f r e q u e n c y ( e n e r g y ) o f t h e w a v e a s a f u n c t io n
o f t h e w a v e le n g t h .
∂ k
T h is s o lu t io n d e s c r ib e s w a v e s p r o p a g a t in g in t h e c h a in w it h p h a s e v e lo c it y c = ω / k a n d g r o u p v e lo c it y v g = ∂ ω ( t h e s p e e d o f s o u n d in t h e g iv e n m a t e r ia l) . A t s m a ll k t h e t w o v e lo c it ie s a r e e q u a l, b u t f o r la r g e k ( s m a ll s p a c in g b e t w e e n io n s ) w e h a v e v g → 0 .
W e c a n n o w t u r n t o t h e c o r r e s p o n d in g q u a n t u m - m e c h a n ic a l m o d e l, b y r e p la c in g t h e p o s it io n a n d m o m e n t u m c o o r - d in a t e s in t h e H a m ilt o n ia n b y t h e c o r r e s p o n d in g o p e r a t o r s :
Σ p 2 1 Σ 2
n
H
= + K
2 M 2
n
( x n − x n + 1 )
n
Σ
In s p ir e d b y t h e c la s s ic a l s o lu t io n , w e a ls o lo o k f o r s o lu t io n s ( i.e . e ig e n v e c t o r s t h a t d ia g o n a liz e t h e H a m ilt o n ia n ) in t e r m s o f w a v e s . T h e n in t h is b a s is , x n a n d p n w ill b e e x p r e s s e d a s lin e a r c o m b in a t io n s o f w a v e s w it h d iff e r e n t w a v e v e c t o r s , e .g .:
1
N
x n = √
k
X k e
i k R n
W e t h e n r e w r it e t h e o p e r a t o r X k ( a n d P k ) in t e r m s o f t h e c r e a t io n a n d a n n ih ila t io n o p e r a t o r s a k , a † k :
1
x = √
Σ √ 1
a e i k R n + a † e − i k R n
a n d
n k
k
N M k 2 ω k
n
N 2
k
k
k
p = − i r M Σ r ω k a e − i k R n − a † e i k R n
S im ila r t o t h e s o lu t io n f o r t h e s im p le h .o . w e w a n t t o v e r if y t h a t t h e o p e r a t o r s a k , a k † d ia g o n a liz e t h e H a m ilt o n ia n .
n .
p
n
2 M
W e t h u s fi r s t c a lc u la t e t h e k in e t ic e n e r g y , T = Σ 2
n
N
4
k
h k h k
h
k
h
p 2 = − M Σ r ω k ω h h a † a † e − i ( k + h ) R n − a † a e − i ( k − h ) R n + a a e i ( k + h ) R n − a a † e i ( k − h ) R n i
k , h
k
h
W e t h e n t a k e t h e s u m o v e r n , r e m e m b e r t h a t R n = n d w h e r e n is a n in t e g e r a n d d t h e d is t a n c e b e t w e e n t w o io n s , a n d in v e r t t h e o r d e r o f t h e s u m s :
4 N
k
h
k h
T = − 1 Σ √ ω ω
" a † a † Σ e − i ( k + h ) R n − a † a
Σ e − i ( k − h ) R n + . . . #
k , h n n
T h e s u m s Σ n e − i ( k + h ) R n = Σ n e − i ( k + h ) n d a r e z e r o u n le s s t h e e x p o n e n t a r g u m e n t h + k is z e r o :
4 N
k
h
k
h k , − h
k
h k , h
T = − 1 Σ √ ω ω h a † a † δ − a † a δ + . . . i
k , h
k
k
W e t h u s o b t a in :
T = − 1 Σ ω
k
h a † a †
k
— a † a
k
k
+ a a
— a a † i
4
k
k
− k
− k
W e t h e n c a lc u la t e t h e p o t e n t ia l e n e r g y . F ir s t w e c a lc u la t e x n − x n + 1 :
n
x − x
1 Σ 1 i k R n † − i k R n i k R n + 1 † − i k R n + 1
N M
k
2 ω
k
= √ √ a e + a e − a e − a e
n + 1
k k k k
N M k 2 ω
k
k
= √ 1 Σ √ 1
a e i k R n ( 1 − e i k d ) + a † e − i k R n ( 1 − e − i k d )
k
Σ −
k
k
1 2 i
= √ √
s in k d a e i k ( R n + d / 2 ) + a † e − i k ( R n + d / 2 )
T h e p o t e n t ia l e n e r g y is t h e n :
N M k 2 ω k 2
1
U = K
Σ ( x n − x n + 1 ) 2 = −
K Σ 4 s in 2 k d h
− a † a †
— a † a k − a k a − k − a k a † i
2
2 n 2 N M k 2 ω k
k − k k k
2 2
2
( w h e r e w e u s e d t h e s a m e id e n t it ie s f o r t h e s u m o f e x p o n e n t ia l a n d t h e f a c t t h a t s in k d s in h d δ k , − h = s in 2 k d ) .
B y s u m m in g t h e p o t e n t ia l a n d k in e t ic e n e r g y a n d im p o s in g a s b e f o r e :
ω = 2 ω s in k d
k 0 2
( w it h ω 2 = K ) w e c a n s im p lif y t h e H a m ilt o n ia n t o :
k
0 M
2
k
k
k
k
k
k
k
H = 1 Σ ω a † a + a a † = Σ ω
k
k
a † a
+ 1
2
T h e o p e r a t o r s a k , a † k d o d ia g o n a liz e t h e H a m ilt o n ia n . T h e n u m b e r o p e r a t o r n k = a † k a k d e s c r ib e s t h e e x c it a t io n n u m b e r o f a n o r m a l m o d e o f t h e io n v ib r a t io n . In s t e a d o f t a lk in g o f e x c it a t io n s , w e c a n in t r o d u c e q u a s i p a r t ic le s ,
c a lle d pho no ns . T h e n u m b e r o f p h o n o n s t h e n c o r r e s p o n d s t o t h e n u m b e r o f e x c it a t io n s . T h u s t h e o p e r a t o r s a k , a † k
c a n c r e a t e o r a n n ih ila t e a p h o n o n o f m o d e k .
9 . 4 . 3 T h e r m a l e n e r g y d e n s i t y a n d S p e c i fi c H e a t
∂ T
W e w a n t t o fi r s t c a lc u la t e t h e t h e r m a l e n e r g y d e n s it y u = E / V a n d t h e n t h e s p e c ifi c h e a t , c V = ∂ u f o r a c r y s t a l a t
t h e r m a l e q u ilib r iu m .
T h e t h e r m a l e n e r g y is g iv e n b y t h e la t t ic e v ib r a t io n . T h u s w e w a n t t o c a lc u la t e :
⟨ E ⟩ = T r { ρ H }
w it h t h e H a m ilt o n ia n g iv e n a b o v e . T h e s y s t e m in t h e r m a l e q u ilib r iu m is d e s c r ib e d b y t h e u s u a l d is t r ib u t io n :
e − β H
ρ =
Z
∂ β
N o t ic e t h a n t h a t ⟨ E ⟩ = − ∂ l n Z . W e t h u s n e e d t o c a lc u la t e t h e p a r t it io n f u n c t io n . C o m p u t in g t h e t r a c e in t h e n u m b e r
s t a t e b a s is , w e h a v e :
Z = T r ( e x p " − β Σ ω k a † k a k + # ) = T r ( e x p − β ω
1 Y
k
a † k a k
+ 1 )
2
k k
= Y e
− β ω k / 2 Σ ( e
− β ω
k ) n
2
e − β ω k / 2
Y
=
1 − e − β ω k
k n k
T a k in g t h e d e r iv a t iv e o f t h e lo g a r it h m , w e fi n d :
1
V
u = − ∂
( ln Z ) = 1 Σ ω k c o t h ω k β
k
β
V
2 2
T h is c a n a ls o b e w r it t e n in t e r m s o f t h e a v e r a g e p h o n o n n u m b e r f o r t h e m o d e k ,
k
u = 1 Σ 1
⟨ n k ⟩ = n ( k ) = T r n a † a k ρ , = [ e β ω k − 1 ] − 1 :
T h e s p e c ifi c h e a t is t h e n :
V ω k [ n ( k ) + 2 ]
k
∂ u
c V = ∂ T
ω 2
k
Σ
= 2 ω
k 4 V k b T 2 s in h
N o t e t h a t a t h ig h t e m p e r a t u r e ( s m a ll β ) t h is is a p p r o x im a t e d b y c V
k
2 k b T
≈ Σ
k b = N k b , w h ic h is t h e c la s s ic a l D u lo n g -
k V V
P e t it la w , s t a t in g t h a t t h e s p e c ifi c h e a t is in d e p e n d e n t o f t h e t e m p e r a t u r e a n d g iv e n b y t h e d e n s it y n = N / V a n d
t h e s y s t e m ’s d im e n s io n D , c V = D n k b .
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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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