7 . M i x e d s ta te s
7 . 2 D y n am i c s o f m i x e d s t at e s an d o p e r at o r s
7 . 2 . 1 H e i s e n b e r g p i c t u r e
7 . 2 . 2 I n t e r a c t i o n p i c t u r e
7 . 4 En t an g l e m e n t m e as u r e m e n t
7 . 5 M i x e d S t at e s an d i n t e r p r e t at i o n o f t h e d e n s i t y m at r i x
7 . 5 . 1 C l a s s i c a l M a c r o - s t a t e s
7 . 5 . 2 Q u a n t u m M a c r o - s t a t e s
7 . 5 . 3 E x a mp l e : S p i n - 1
7 . 1 M i x e d S t a t e s
U n t il n o w w e h a v e c o n s id e r e d s y s t e m s w h o s e s t a t e w a s u n e q u iv o c a lly d e s c r ib e d b y a s t a t e v e c t o r . A lt h o u g h t h e r e s u lt o f a n o b s e r v a b le m e a s u r e m e n t o n t h e s t a t e is p r o b a b ilis t ic , u n t il n o w t h e s t a t e o f t h e s y s t e m w a s w e ll d e fi n e d a n d e v o lv e d in a d e t e r m in is t ic w a y . W h e n w e p r e s e n t e d t h e f u n d a m e n t a l c o n c e p t s o f Q M w e d e fi n e d t h e s t a t e a s a c o m p le t e d e s c r ip t io n o f t h e s e t o f p r o b a b ilit ie s f o r a ll o b s e r v a b le s . In p a r t ic u la r , w e p u t t h is in t o t h e c o n t e x t o f t h e p r e p a r a t io n s t e p o f a n e x p e r im e n t . S in c e in o r d e r t o o b t a in in f o r m a t io n a b o u t a s y s t e m , t h e e x p e r im e n t h a s t o b e r e p e a t e d m a n y t im e s , o f t e n w e d e a l w it h a n e n s e m b le o f s y s t e m s ( e it h e r a n e n s e m b le o f c o p i e s o f t h e s a m e s y s t e m s , o r a n e n s e m b le i n t i m e o f t h e s a m e s y s t e m ) . In m a n y c a s e s , w h e n w e r e p e a t in e x p e r im e n t , it m ig h t b e d iffi c u lt t o p r e p a r e t h e s y s t e m in e x a c t ly t h e s a m e s t a t e ( o r p r e p a r e p e r f e c t ly id e n t ic a l c o p ie s ) , t h u s t h e r e is s o m e u n c e r t a in t y o n t h e in it ia l s t a t e .
T o d e s c r ib e t h is s it u a t io n in m o r e a b s t r a c t t e r m s , w e a r e t h u s in t e r e s t e d in t h e c a s e w h e r e o u r in f o r m a t io n r e g a r d in g t h e s y s t e m is n o t c o m p le t e . T h u s w e w ill a s s o c ia t e t h e c o n c e p t o f s t a t e o f a s y s t e m w it h a n e n s e m b le o f s im ila r ly p r e p a r e d s y s t e m s . B y t h is , w e m e a n a n e n s e m b le o f s y s t e m s t h a t c o u ld h a v e b e e n p r e p a r e d in p r in c ip le , w e d o n o t n e e d t o r e f e r t o a a c o n c r e t e s e t o f s y s t e m s t h a t c o e x is t in s p a c e .
( ) { } { } Σ ( | | )
T h e fi r s t p o s t u la t e n o w r e a d s : t o e a c h s t a t e c o r r e s p o n d s a u n iq u e s t a t e o p e r a t o r ρ . T h e d y n a m ic a l v a r ia b le X o v e r t h e e n s e m b le r e p r e s e n t e d b y t h e s t a t e o p e r a t o r ρ h a s e x p e c t a t io n v a lu e g iv e n b y : X = T r ρ X / T r ρ = i i ρ X i ( N o t ic e t h a t h e r e t h e s u m m a t io n is d o n e o v e r s o m e b a s is , b u t a n y b a s is is e q u iv a le n t a s it g iv e s t h e s a m e r e s u lt ) . If
w e im p o s e t o ρ t o h a v e t r a c e 1 , t h e e x p e c t a t io n v a lu e o f X is j u s t ( X ) = T r { ρ X } . W e im p o s e f u r t h e r c o n s t r a in t s o n
ρ :
– T r { ρ } = 1 a s s a id .
– ρ is s e lf - a d j o in t ρ † = ρ , s o t h a t ( X ) is r e a l.
– ρ is n o n - n e g a t iv e ( u | ρ | u ) ≥ 0 .
t h e s u m o f p r o j e c t o r s : ρ = Σ N ρ n | u n ) ( u n | , w h e r e N is t h e d im e n s io n o f t h e s p a c e ( t h a t is , ρ h a s a s p e c t r a l
T h e s e p r o p e r t ie s w ill a llo w u s t o a s s o c ia t e a p r o b a b ilit y m e a n in g t o ρ . T h e s t a t e o p e r a t o r ρ c a n b e e x p r e s s e d a s
r e p r e s e n t a t io n in t e r m s o f p r o j e c t o r s ) . W it h t h e p r o p e r t ie s e s t a b lis h e d a b o v e , w e h a v e :
t h e c o e ffi c ie n t s a r e r e a l: 0 ≤ ρ n ≤ 1 .
n ρ n = 1 , ρ n = ρ n , t h a t is ,
n = 1 Σ ∗
| ) | ) ( |
If t h e s y s t e m c a n a ls o b e d e s c r ib e d b y a s t a t e v e c t o r ψ , t h e s t a t e o p e r a t o r is g iv e n b y : ρ = ψ ψ . A s t a t e t h a t c a n b e w r it t e n in t h is w a y is c a lle d pur e s t a t e .
{ }
n
| ) ( | | ) ( | | ) ( |
S in c e t h e s t a t e o p e r a t o r f o r a p u r e s t a t e is a p r o j e c t o r , it is a n id e m p o t e n t : ρ 2 = ρ ( P r o o f : ( ψ ψ ) ( ψ ψ ) = ψ ψ ) . T h e r e f o r e , t h e e ig e n v a lu e s o f ρ a n d ρ 2 a r e t h e s a m e , o r ρ 2 = ρ n a n d t h e y m u s t b e e it h e r 0 o r o n e . S in c e w e k n o w t h a t t h e s u m o f t h e e ig e n v a lu e s , w h ic h is e q u a l t o t h e t r a c e , m u s t b e o n e , w e c a n d e d u c e t h a t t h e s t a t e o p e r a t o r f o r a p u r e s t a t e h a s j u s t o n e e ig e n v a lu e e q u a l o n e a n d a ll t h e o t h e r a r e z e r o . T h is is t h e d e fi n it io n o f a p u r e s t a t e , a s t a t e w it h o n ly o n e n o n - z e r o e ig e n v a lu e ( a n d e q u a l t o 1 ) . A n e q u iv a le n t f o r m u la t io n is t o s a y t h a t T r ρ 2 = 1 .
{ } Σ ≤ ≤ ∀ Σ
A m o r e g e n e r a l s t a t e o p e r a t o r c a n b e w r it t e n a s a c o n v e x s u m o f p u r e s t a t e s . T o d e fi n e a c o n v e x s u m , le t ’s c o n s id e r a s e t o f s t a t e o p e r a t o r s ρ i a n d t h e o p e r a t o r ρ = a i ρ i . If 0 a i 1 i a n d a i = 1 , t h e s u m is s a id t o b e c o n v e x a n d ρ is a g o o d s t a t e o p e r a t o r .
? Q u e s t i o n : S h o w t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n a s a c o n v e x s u m o f p u r e s t a t e s i s n o t u n i q u e . C o n s i d e r ρ = a | ψ ) ( ψ | + ( 1 − a ) | ϕ ) ( ϕ | w i t h 0 ≤ a ≤ 1 . N o w d e fi n e
| x ) = √ a | ψ ) + √ 1 − a | ϕ )
| y ) = √ a | ψ ) − √ 1 − a | ϕ )
2
2
B y s u b s t i t u t i o n , ρ = 1 | x ) ( x | + 1 | y ) ( y | .
{ }
T h e r e is a c t u a lly a n in fi n it e n u m b e r o f w a y s o f r e p r e s e n t in g ρ . A s t a t e o p e r a t o r t h a t is n o t p u r e , is c a lle d m i x e d s t a t e . T h e p r o p e r t ie s o f a m ix e d s t a t e a r e t h a t T r ρ 2 < 1 a n d it c a n n o t b e e x p r e s s e d in t e r m s o f o n e p u r e s t a t e o n ly .
( ) ( | | )
( ) { | ) ( | } { ( | | ) }
| ) ( |
A s s a id , t h e s t a t e o p e r a t o r f o r a p u r e s t a t e is t h e o u t e r p r o d u c t o f t h e p u r e s t a t e v e c t o r a n d it s d u a l: ρ = ψ ψ . T h e e x p e c t a t io n v a lu e o f a n o b s e r v a b le is t h e r e f o r e X = T r ψ ψ X = T r ψ X ψ s in c e t h e t r a c e is in v a r ia n t u n d e r p e r m u t a t io n . W e fi n d t h e k n o w n r e s u lt : X = ψ X ψ .
Im a g in e w e h a v e t w o s t a t e o p e r a t o r s in t h e s a m e H ilb e r t s p a c e . W e h a v e :
0 ≤ T r { ρ 1 ρ 2 } ≤ 1
t h e e q u a lit y T r { ρ 1 ρ 2 } = 1 is r e a c h e d o n ly if t h e t w o s t a t e o p e r a t o r a r e e q u a l a n d p u r e .
7 . 2 D y n a m i c s o f m i x e d s t a t e s a n d o p e r a t o r s
F o r a p u r e s t a t e , t h e e v o lu t io n is d ic t a t e d b y t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n :
d t
i d | ψ ) = H | ψ )
| ) | )
w h ic h h a s f o r m a l s o lu t io n : ψ ( t ) = U ( t, 0 ) ψ ( 0 ) . T h e u n it a r y o p e r a t o r U ( t h e p r o p a g a t o r ) t h a t g iv e s t h e e v o lu t io n is t h e s o lu t io n o f t h e e q u a t io n :
d U
i d t = H U ( t, 0 )
If t h e H a m ilt o n ia n is t im e - in d e p e n d e n t , t h e p r o p a g a t o r h a s t h e f o r m : U ( t, 0 ) = e − i H t . T h e d y n a m ic s o f a p u r e s t a t e in s t a t e o p e r a t o r f o r m ( ρ = | ψ ) ( ψ | ) is s im p ly g iv e n b y :
ρ ( t ) = | ψ ( t ) ) ( ψ ( t ) | = U ( t, 0 ) | ψ ( 0 ) ) ( ψ ( 0 ) | U † ( 0 ) = U ( t, 0 ) ρ ( 0 ) U † ( t, 0 ) T h e e q u iv a le n t o f t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n f o r t h e s t a t e o p e r a t o r s is t h e L io u v ille e q u a t io n :
d ρ
d t = − i [ H , ρ ] ,
w h ic h c a n b e e a s ily d e r iv e d f r o m t h e e v o lu t io n o f v e c t o r s t a t e s d e s c r ib e d b y S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n .
? Q u e s t i o n : D e r i v e t h e Li o u v i l l e e q u a t i o n .
Σ
G i v e n t h e d e fi n i t i o n o f d e n s i t y m a t r i x a s a c o n v e x s u m o f p u r e s t a t e s :
ρ = p α | ψ α ) ( ψ α |
α
w h e r e e a c h v e c t o r s t a t e o b e y s S c h r ¨ o d i n g e r e q u a t i o n :
i n | ψ ˙ ) = H | ψ )
w e o b t a i n , b y t a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f t h e fi r s t e q u a t i o n a n d i n s e r t i n g t h e s e c o n d o n e :
=
α p α ( H | ψ α ) ( ψ α | + | ψ α ) ( ψ α | H ) = [ H , ρ ]
i n ρ ˙ Σ = i n Σ α p α ( | ψ ˙ α ) ( ψ α | + | ψ α ) ( ψ ˙ α | )
T h e s o lu t io n o f t h e L io u v ille e q u a t io n is :
ρ ( t ) = U ( t ) ρ ( 0 ) U † ( t )
7 . 2 . 1 H e i s e n b e r g p i c t u r e
{ }
A s t h e L io u v ille e q u a t io n is m o r e g e n e r a l t h a n t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n , w e w o u ld lik e t o r e f o r m u la t e t h e Q M d y n a m ic s s t a r t in g f r o m it . W e a r e t h u s in t e r e s t e d in o b t a in in g t h e e v o lu t io n o f t h e o b s e r v a b le s in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e s t a r t in g f r o m t h e L io u v ille e q u a t io n .
{ }
T h e e x p e c t a t io n v a lu e o f a n o b s e r v a b le O a t t im e t is g iv e n b y t h e t r a c e : ( O ( t ) ) = T r { ρ ( t ) O } = T r U ( t, 0 ) ρ ( 0 ) U † O =
T r
ρ ( 0 ) U † O U
. N o t ic e t h a t u s in g t h e in v a r ia n c e o f t h e t r a c e u n d e r c y c lic p e r m u t a t io n it is p o s s ib le t o a s s ig n t h e
t im e d e p e n d e n c e e it h e r t o t h e s t a t e o p e r a t o r ( S c r h o ¨ d in g e r p ic t u r e ) o r t o t h e o p e r a t o r ( H e is e n b e r p ic t u r e ) . In t h e fi r s t
—
o n e , t h e s t a t e e v o lv e s f o r w a r d in t im e w h ile t h e o b s e r v a b le o p e r a t o r is t im e - in d e p e n d e n t . In t h e H e is e n b e r g p ic t u r e in s t e a d , t h e o b s e r v a b le e v o lv e s ” b a c k w a r d ” ( s in c e a s w e s a w U † = U ( t ) , a t le a s t f o r t im e - in d e p e n d e n t h a m ilt o n ia n ) a n d t h e s t a t e o p e r a t o r is fi x e d . W it h t h is la s t p ic t u r e w e c a n f o llo w t h e e v o lu t io n o f t h e o b s e r v a b le w it h o u t h a v in g t o e s t a b lis h a s t a t e o p e r a t o r , t h a t is , w e c a n g e n e r a liz e t h is e v o lu t io n t o a c la s s o f s t a t e o p e r a t o r s .
)
T h e o p e r a t o r in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e a t t im e t is g iv e n b y : O H ( t ) = U † ( t, 0 ) O U ( t, 0 ) a n d it e v o lv e s f o llo w in g t h e e q u a t io n :
d O H
d t
= i [ H ( t ) , O H
( t ) ] + ∂ O
∂ t
H
{ } { H }
T h e o b s e r v a b le e x p e c t a t io n v a lu e m u s t b e t h e s a m e in t h e t w o p ic t u r e s :
a n d :
d ( O ( t ) ) = T r d ρ O + ρ ∂ O = T r i ρ ( t ) [ , O ] + ρ ( t ) ∂ O d t d t ∂ t ∂ t
d t d t
H
∂ t
d ( O ( t ) ) = T r { ρ ( 0 ) d O H } = T r { i ρ ( 0 ) [ H , O ] + ρ ( 0 ) ∂ O ) }
H
7 . 2 . 2 I n t e r a c t i o n p i c t u r e
H H H
W e r e v is it t h e in t e r a c t io n p ic t u r e a ls o in t h e c o n t e x t o f t h e L io u v ille e q u a t io n . A s s u m e t h a t t h e o v e r a ll H a m ilt o n ia n o f t h e s y s t e m c a n b e w r it t e n a s = 0 + V ( w h e r e w e s e p a r a t e t h e k n o w n , t r iv ia l p a r t 0 f r o m t h e in t e r e s t in g o n e , V ) . T h e t r a n s f o r m a t io n t o t h e in t e r a c t io n p ic t u r e is o p e r a t e d b y t h e p r o p a g a t o r U I ( t ) = e − i H 0 t , s u c h t h a t
| ψ ) I = U I † | ψ ) a n d A I = U I † A U I .
T h e e v o lu t io n o f t h e d e n s it y m a t r ix in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e ρ I = U I † ρ U I , is t h e n :
˙ † † † ˙
i ρ ˙ I = i U I ρ ( t ) U I + i U I ρ ˙ U I + i U I ρ ( t ) U I
w it h
W e o b t a in t h e r e f o r e :
w h e r e H I = U I † ( t ) V U I ( t ) .
i U ˙ † I = − H 0 U I † ( t ) a n d i U ˙ I = U I ( t ) H 0
− H 0 U † ρ ( t ) U + U † [ H , ρ ( t ) ] U + U † ρ ( t ) U H 0
= − [ H 0 , ρ I ( t ) ] + [ U † ( t ) H ( t ) U ( t ) , ρ I ( t ) ]
= [ H I , ρ I ( t ) ]
A . E x a m p l e : r f H a m i l to n i a n i n th e r o ta ti n g w a v e a p p r o x i m a ti o n
H
H H
T h e in t e r a c t io n p ic t u r e is p a r t ic u la r ly u s e f u l w h e n t h e H a m ilt o n ia n is c o m p o s e d b y a la r g e p a r t t im e in d e p e n d e n t ( 0 ) a n d a s m a ll, t im e - d e p e n d e n t p a r t 1 ( t ) . T h e in t e r a c t io n p ic t u r e is d e fi n e d b y t h e o p e r a t o r U ( t ) I = e − i H 0 t , w h ic h w o u ld g iv e t h e e v o lu t io n o f t h e s t a t e o p e r a t o r if 1 w e r e z e r o . T h e in t e r a c t io n p ic t u r e a llo w s t o m a k e m o r e e v id e n t t h e e ff e c t o f t h e p e r t u r b a t io n o n t h e s y s t e m , b y is o la t in g it a n d o f t e n b y s im p lif y in g t h e c a lc u la t io n s .
L e t f o r e x a m p le c o n s id e r t h e f o llo w in g H a m ilt o n ia n a c t in g o n a t w o le v e l s y s t e m 1 9 :
� � � x � � � x
H = ω 0 σ z + ω 1 e − i ω 0 t σ z σ x e i ω 0 t σ z , ω 0 ≫ ω 1 , ρ ( 0 ) = ( 1 1 + ǫ σ z ) / 2
H 0 H 1
H
S in c e [ 0 , σ z ] = 0 , in t h e a b s e n c e o f t h e p e r t u r b a t io n t h e s y s t e m d o e s n o t e v o lv e , it is a c o n s t a n t o f t h e m o t io n . L e t u s d e fi n e a n u n it a r y o p e r a t o r R = e − i ω 0 t σ z t h a t o p e r a t e s t h e t r a n s f o r m a t io n t o t h e in t e r a c t io n p ic t u r e . W e c a n
r e w r it e t h e H a m ilt o n ia n a s : H = ω 0 σ z + R ω 1 σ x R † . †
T h e s t a t e o p e r a t o r in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e is g iv e n b y : ρ ( t ) I = R ( t ) ρ ( t ) R ( t ) . It s e v o lu t io n is t h e r e f o r e :
d ρ I = d R † ρ R ( t ) + R † ( t ) d ρ R + R † ( t ) ρ d R d t d t d t d t
N o t ic e t h a t d R = − i ω σ
a n d d R † = i ω σ . W e o b t a in :
d t 0 z
d t 0 z
d ρ I = i [ ω σ , ρ ] + R † ( t ) d ρ R ( t )
d t 0 z d t
a n d u s in g L io u v ille e q u a t io n w e h a v e :
d t
0
z
1
1
x
d t
1
x
d ρ I = i [ ω σ , ρ ] − i R † � H , ρ ] R = − i R † [ H , ρ ] R = ω [ R † ( R σ R † ) R , R † ρ R � ⇒ d ρ I = − i [ ω σ
I
ρ ( t ) ]
N o t ic e t h a t t h is is t r u e in g e n e r a l:
d t
1
I
I
1
I
d ρ I = − i � H ˜ , ρ , � , H ˜ = U † ( t ) H ( t ) U ( t )
7 . 3 P a r t i a l T r a c e
W e d e fi n e t h e p a r t ia l t r a c e o f a b ip a r t it e s y s t e m o n H A B = H A ⊗ H B a s a lin e a r m a p T r B { ·} f r o m H A B → H A ( o r
H B ) t h a t is d e t e r m in e d b y t h e e q u a t io n
T r B { A ⊗ B } = A T r { B }
H H
( w h e r e A , B a r e o p e r a t o r s o n A , B r e s p e c t iv e ly ) . T h is c a n b e e x t e n d e d t o m o r e g e n e r a l c o m p o s it e ( m u lt ip a r t it e ) s y s t e m s . A s f o r t h e t r a c e , t h e p a r t ia l t r a c e is in d e p e n d e n t o f t h e b a s is .
W h y d o w e d e fi n e t h e p a r t i a l t r a c e ? C o n s id e r a c o m p o s it e s y s t e m c o m p o s e d o f t w o p a r t s , A a n d B , a n d a n o b s e r v a b le o f t h e fi r s t s y s t e m o n ly O A . T h e e x p e c t a t io n v a lu e o f t h e o b s e r v a b le o n t h e s y s t e m A a lo n e is g iv e n b y :
1 9 I t c o u l d b e a n u c l e a r s p i n i n a ma g n e t i c fi e l d u n d e r t h e a c t i o n o f a w e a k e r r f fi e l d
( ) { { } }
( ) { } ( ) { ⊗ }
O A = T r O A ρ A a n d o n t h e c o m p o s it e s y s t e m : O A = T r ( O A 1 1 B ) ρ A B . W e c a n r e w r it e t h is la s t e q u a t io n a s O A = = T r A O A T r B ρ A B w h e r e T r B d e n o t e t h e p a r t ia l t r a c e o n t h e B s y s t e m . T h u s , t o o b t a in in f o r m a t io n a b o u t o b s e r v a b le s o f a s u b s y s t e m w e c a n fi r s t t a k e t h e p a r t ia l t r a c e o f t h e s t a t e d e n s it y o p e r a t o r a n d t h e n u s e t h a t t o c a lc u la t e t h e e x p e c t a t io n v a lu e .
Σ
W e u s e a ls o t h e p a r t ia l t r a c e t o r e d u c e t h e d im e n s io n a lit y o f t h e s y s t e m : ρ A = T r B { ρ A B } .
T o c a lc u la t e t h e p a r t ia l t r a c e , w r it e ρ a s a s u m o f t e n s o r p r o d u c t s ρ = i j k h m i j k h | a i ) ( a j | ⊗ | b k ) ( b h | 2 0
t e r m w e h a v e : T r B { | a i ) ( a j | ⊗ | b k ) ( b h |} = | a i ) ( a j | T r { | b k ) ( b h |} .
a n d f o r e a c h
W e a r e o f t e n in t e r e s t e d in d e s c r ib in g a p a r t ic u la r s y s t e m in s id e a la r g e r s p a c e a n d w e w o u ld lik e t o j u s t d e s c r ib e t h e s t a t e o f t h is s y s t e m ρ S w it h o u t h a v in g t o d e s c r ib e o r k n o w t h e o v e r a ll s y s t e m . T h e la r g e r s y s t e m c o n t a in in g t h e s u b s y s t e m w h ic h w e a r e in t e r e s t e d in , c a n b e t h e e n v ir o n m e n t , a c a v it y , a fi e ld . B y d o in g a p a r t ia l t r a c e o v e r t h e e n v ir o n m e n t d e g r e e s o f f r e e d o m w e d is c a r d t h e k n o w le d g e a b o u t t h e m . In g e n e r a l w e w ill o b t a in a s t a t e o p e r a t o r t h a t d e s c r ib e s a m ix e d s t a t e ( t h a t a s w e s a w , d e s c r ib e s o m e la c k o f k n o w le d g e o n t h e s y s t e m ) . T h e s t a t e o p e r a t o r c a n t h u s b e s e e n a s r e s u lt in g f r o m t h e r e d u c t io n o f a la r g e r s y s t e m t o a s m a lle r o n e , v ia t h e p a r t ia l t r a c e . If t h e in it ia l m u lt ip a r t it e s y s t e m w a s e n t a n g le d , t h e r e d u c e d s y s t e m is le f t in a m ix e d s t a t e , s in c e s o m e in f o r m a t io n w a s lo s t . T h e p a r t ia l t r a c e r e v e a ls t h e le v e l o f e n t a n g le m e n t o f a s t a t e .
7 . 3 . 1 E x a m p l e s
r
1 ) P u r e p r o d u c t s t a t e ( s e p a r a b le ) : ρ A B = ρ A ⊗ ρ B . T h e r e d u c e d d e n s it y m a t r ix is t h e r e f o r e : ρ A = T r B { ρ A B } = ρ A .
N o in f o r m a t io n is lo s t a b o u t t h e A s t a t e .
r
| ) ( | | ) ( |
{ }
| ) | ) ⊗ ( | ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( | | ) ( |
2 ) P u r e e n t a n g le d s t a t e : B e ll S t a t e . ρ = ( 0 0 + 1 1 ) ( 0 0 + 1 1 ) / 2 = ( 0 0 0 0 + 0 0 1 1 + 1 1 0 0 + 1 1 1 1 ) / 2 . T h e p a r t ia l t r a c e o v e r B p ic k s u p o n ly t h e d ia g o n a l t e r m s a n d it g iv e s t h e r e d u c e d m a t r ix : ρ A = T r B ρ = ( 0 0 + 1 1 ) / 2 . A ll t h e in f o r m a t io n a b o u t t h e s y s t e m A is n o w lo s t , s in c e it is n o w in t h e m a x im a lly m ix e d s t a t e ( t h e id e n t it y ) .
7 . 4 E n t a n g l e m e n t m e a s u r e m e n t
| ) | ) ⊗ | )
W e h a v e s e e n e x a m p le s o f e n t a n g le d s t a t e s , b u t w e h a v e n ’t g iv e n a f o r m a l d e fi n it io n o f e n t a n g le m e n t y e t . T h is is b e c a u s e it is n o t e a s y t o g iv e s u c h a d e fi n it io n in t h e m o s t g e n e r a l c a s e . It is h o w e v e r p o s s ib le t o d o s o in t h e s im p le s t c a s e o f b ip a r t it e p u r e s y s t e m s . In t h a t c a s e w e s a y t h a t a s t a t e is e n t a n g le d if it c a n n o t b e w r it t e n a s ψ = a b . If s u c h a d e c o m p o s it io n e x is t s , t h e s t a t e is c a lle d a s e p a r a b l e o r p r o d u c t s t a t e . T h e Sc hm i dt d e c o m p o s it io n c a n b e u s e d t o c h e c k if t h e s t a t e is s e p a r a b le .
m
i
i
i = 1
i
i
e a c h s p a c e { u 1 } , { u 2 } s u c h t h a t v c a n b e w r it t e n a s v =
a i u 1 ⊗ u 2 w it h a i n o n - n e g a t iv e .
□ T h e o r e m: F o r a n y v e c t o r v o n t h e t e n s o r p r o d u c t H 1 ⊗ Σ H 2 o f t w o H ilb e r t s p a c e s , t h e r e e x is t o r t h o n o r m a l s e t s o n
T h e p r o o f is o b t a in e d f r o m t h e s in g u la r v a lu e d e c o m p o s it io n 2 1 .
i
T h e n u m b e r m o f t h e v e c t o r s n e e d e d f o r t h e d e c o m p o s it io n is c a lle d t h e S c h m i d t r a n k a n d t h e a i a r e t h e S c h m id t c o e ffi c ie n t s . If t h e S c h m id t r a n k o f a v e c t o r is o n e , t h e a s s o c ia t e s t a t e is s e p a r a b le . N o t e t h a t a 2 a r e t h e e ig e n v a lu e s o f t h e r e d u c e d d e n s it y m a t r ix o b t a in e d b y t a k in g t h e p a r t ia l t r a c e o v e r t h e o t h e r s y s t e m . A s s u c h , t h e r a n k is e a s ily c a lc u la t e d b y t a k in g t h e p a r t ia l t r a c e .
T h e S c h m id t r a n k is s o m e t im e s u s e d t o q u a n t if y e n t a n g le m e n t f o r p u r e , b ip a r t it e s y s t e m s . T h e r e e x is t s m a n y o t h e r m e a s u r e o f e n t a n g le m e n t , h o w e v e r t h e y c o in c id e a t le a s t f o r t h is s im p le s t c a s e . F o r m o r e c o m p le x c a s e s , m u lt i- p a r t it e , m ix e d s t a t e s , t h e m e a s u r e s a r e n o t e q u iv a le n t a n d s o m e t im e s ill- d e fi n e d .
A . C o n c u r r e n c e
O n e o f t h e m o s t u s e d m e t r ic s f o r p u r e b ip a r t it e s t a t e s is t h e c o n c u r r e n c e . It c a n b e o p e r a t iv e ly d e fi n e d a s : C = 2 | α δ − β γ | , w h e r e t h e 4 c o e ffi c ie n t s a r e d e fi n e d a s : | ψ ) = α | 0 0 ) + β | 0 1 ) + γ | 1 0 ) + δ | 1 1 ) . T h is m e t r ic h a s t h e f o llo w in g
p r o p e r t ie s :
2 0 N o t i c e t h a t b y t h e S c h m i d t t h e o r e m ( s e e l a t e r ) w e c a n a l w a y s fi n d s u c h d e c o m p o s i t i o n .
2 1 T h e p r o o f i s p r e s e n t e d i n M . N i e l s e n & I . L. C h u a n g , Q u a n t u m c o m p u t a t i o n a n d q u a n t u m i n f o r m a t i o n C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ( 2 0 0 0 ) .
≤ ≤
1 . T h e c o n c u r r e n c e is b o u n d e d b y 0 a n d 1 : 0 C 1 .
2 . C = 0 iif t h e s t a t e is s e p a r a b le .
3 . C = 1 f o r a n y m a x im a lly e n t a n g le d s t a t e .
T h e f o u r B e ll S t a t e s a r e m a x im a lly e n t a n g le d s t a t e s . T h e y c o r r e s p o n d t o t h e t r ip le t a n d s in g le t m a n if o ld s :
| ϕ + ) = ( | 0 0 ) + | 1 1 ) ) / 2 | ϕ − ) = ( | 0 0 ) − | 1 1 ) ) / 2
| ψ + ) = ( | 0 1 ) + | 1 0 ) ) / 2 | ψ − ) = ( | 0 1 ) − | 1 0 ) ) / 2
x
| ) | )
W e c a n g o f r o m o n e o f t h e B e ll S t a t e t o a n o t h e r w it h s im p le lo c a l o p e r a t io n s ( e .g . σ 1 ϕ + = ψ + ) , b u t lo c a l o p e r a t io n s ( t h a t is , o p e r a t io n s o n s in g le q u b it ) c a n n o t c h a n g e t h e d e g r e e o f e n t a n g le m e n t .
� � � �
T h e c o n c u r r e n c e c a n b e u s e d t o c a lc u la t e t h e e n t a n g le m e n t e v e n f o r a m ix e d s t a t e o f t w o q u b it s . F o r m ix e d q u b it , a n e q u iv a le n t ( m o r e g e n e r a l) d e fi n it io n is g iv e n b y
C ( ρ ) ≡ m a x ( 0 , λ 1 − λ 2 − λ 3 − λ 4 ) in w h ic h λ 1 , ..., λ 4 a r e t h e e ig e n v a lu e s o f
Λ = ρ ( σ y ⊗ σ y ) ρ ∗ ( σ y ⊗ σ y ) in d e c r e a s in g o r d e r ( ρ ∗ is t h e c o m p le x c o n j u g a t e o f t h e d e n s it y m a t r ix ) .
B . E n tr o p y
T h e v o n N e u m a n n e n t r o p y is d e fi n e d a s
S ( ρ ) = − T r { ρ lo g ρ }
T h e e n t r o p y o f t h e r e d u c e d d e n s it y m a t r ix is a g o o d m e a s u r e o f e n t a n g le m e n t :
E → S ( ρ A ) = − T r { ρ A lo g ρ A }
{ }
w h e r e ρ A = T r B ρ . W e c a n p r o v e t h a t t h is q u a n t it y is t h e s a m e in d e p e n d e n t ly o f w h ic h s u b s y s t e m w e t r a c e o v e r fi r s t .
C . Pu r i t y
W e c a n a ls o c o n s id e r t h e p u r it y o f t h e r e d u c e d s t a t e a s a m e a s u r e o f e n t a n g le m e n t
A
E → P u r ( ρ A ) = − T r { ρ 2 } .
R e f e r e n c e
D a g m a r B r u s s , C h a r a c t e r i z i n g e n t a n g l e m e n t , J o u r n a l o f M a t h e m a t ic a l P h y s ic s , 4 3 , 9 ( 2 0 0 2 )
7 . 5 M i x e d S t a t e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e d e n s i t y m a t r i x
W e h a v e s e e n h o w a m ix e d s t a t e e m e r g e d n a t u r a lly f r o m t r a c in g o v e r o n e p a r t o f a c o m p o s it e s y s t e m , w h e n t h e t w o p a r t s w e r e e n t a n g le d . N o w w e c a n a ls o in t r o d u c e a d e n s it y o p e r a t o r a s a p r o b a b ilis t ic d e s c r ip t io n o f a s y s t e m , in s t e a d o f t h e r e d u c e d s y s t e m o f a la r g e r o n e . W e c o n s id e r a n e n s e m b le o f s y s t e m s : t h is e n s e m b le c a n a r is e e it h e r b e c a u s e t h e r e a r e m a n y c o p ie s o f t h e s a m e s y s t e m ( a s f o r e x a m p le in N M R , w h e r e t h e r e a r e 1 0 1 8 m o le c u le s in t h e s a m p le ) o r b e c a u s e w e a r e m a k in g m a n y e x p e r im e n t s o n t h e s a m e s y s t e m ( f o r e x a m p le in a p h o t o n c o u n t in g e x p e r im e n t f r o m t h e s a m e m o le c u le ) . In t h is la s t c a s e w e h a v e a n e n s e m b le o v e r t h e t im e . T h e r e q u ir e m e n t s o n t h e e n s e m b le a r e
1 . t h a t t h e e le m e n t s o f t h e e n s e m b le d o n o t in t e r a c t w it h e a c h o t h e r ( fi r s t t y p e o f e n s e m b le ) , a n d
2 . t h a t t h e s y s t e m d o e s n o t h a v e m e m o r y ( e n s e m b le o v e r t im e ) .
W it h t h e s e r e q u ir e m e n t s , t h e p h y s ic a l e n s e m b le s w e a r e c o n s id e r in g a r e e q u iv a le n t t o a m o r e a b s t r a c t c o n c e p t o f e n s e m b le , a s s e e n a t t h e b e g in n in g o f t h e c h a p t e r .
7 . 5 . 1 C l a s s i c a l M a c r o - st a t e s
In c la s s ic a l s t a t is t ic a l m e c h a n ic s , e q u ilib r iu m p r o p e r t ie s o f m a c r o s c o p ic b o d ie s a r e p h e n o m e n o lo g ic a lly d e s c r ib e d b y t h e la w s o f t h e r m o d y n a m ic s 2 2 . T h e m a c r o - s t a t e M d e p e n d s o n a r e la t iv e ly s m a ll n u m b e r o f t h e r m o d y n a m ic c o o r d in a t e s . T o p r o v id e a m o r e f u n d a m e n t a l d e r iv a t io n o f t h e s e t h e r m o d y n a m ic p r o p e r t ie s , w e c a n e x a m in e t h e d y n a m ic s o f t h e m a n y d e g r e e s o f f r e e d o m N , c o m p r is in g a m a c r o s c o p ic b o d y . D e s c r ip t io n o f e a c h m ic r o - s t a t e µ , r e q u ir e s a n e n o r m o u s a m o u n t o f in f o r m a t io n , a n d t h e c o r r e s p o n d in g t im e e v o lu t io n is u s u a lly q u it e c o m p lic a t e d . R a t h e r t h a n f o llo w in g t h e e v o lu t io n o f a n in d iv id u a l ( p u r e ) m ic r o - s t a t e , s t a t is t ic a l m e c h a n ic s e x a m in e s a n e n s e m b le o f m ic r o - s t a t e s c o r r e s p o n d in g t o a g iv e n ( m ix e d ) m a c r o - s t a t e . It a im s a t p r o v id in g t h e p r o b a b ilit ie s p M ( µ ) , f o r t h e e q u ilib r iu m e n s e m b le .
A . M i c r o c a n o n i c a l e n s e m b l e
O u r s t a r t in g p o in t in t h e r m o d y n a m ic s is a m e c h a n ic a lly a n d a d ia b a t ic a lly is o la t e d s y s t e m . In t h e a b s e n c e o f h e a t o r w o r k in p u t t o t h e s y s t e m , t h e in t e r n a l e n e r g y E , a n d t h e g e n e r a liz e d c o o r d in a t e s x , a r e fi x e d , s p e c if y in g a m a c r o - s t a t e M = ( E , x ) . T h e c o r r e s p o n d in g s e t o f in d iv id u a l m ic r o - s t a t e s f o r m t h e m i c r o c a no ni c a l e n s e m b le . A ll m ic r o - s t a t e s a r e c o n fi n e d t o t h e s u r f a c e H ( µ ) = E in p h a s e s p a c e . T h e p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n f u n c t io n f o r a m ic r o s t a t e µ o f H a m ilt o n ia n H is t h u s j u s t g iv e n b y t h e n u m b e r o f a c c e s s ib le s t a t e s Ω ( E ) a t t h e fi x e d e n e r g y E :
1
p E ( µ ) = Ω ( E , x ) δ ( H ( µ ) − E )
B . C a n o n i c a l e n s e m b l e
In s t e a d o f fi x in g t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m , w e c a n c o n s id e r a n e n s e m b le in w h ic h t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s y s t e m is s p e c ifi e d a n d it s in t e r n a l e n e r g y is t h e n d e d u c e d . T h is is a c h ie v e d in t h e c a n o n ic a l e n s e m b le w h e r e t h e m a c r o - s t a t e s , s p e c ifi e d b y M = ( T , x ) , a llo w t h e in p u t o f h e a t in t o t h e s y s t e m , b u t n o e x t e r n a l w o r k . T h e s y s t e m S is m a in t a in e d a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e t h r o u g h c o n t a c t w it h a r e s e r v o ir R . T h e r e s e r v o ir is a n o t h e r m a c r o s c o p ic s y s t e m t h a t is s u ffi c ie n t ly la r g e s o t h a t it s t e m p e r a t u r e is n o t c h a n g e d d u e t o in t e r a c t io n s w it h S . T h e p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n f u n c t io n ( p .d .f .) f o r a m ic r o s t a t e µ o f H a m ilt o n ia n H in t h e c a n o n ic a l e n s e m b le is
e − β H ( µ )
p T ( µ ) =
,
Z ( T , x )
Σ
w h e r e t h e n o r m a liz a t io n Z ( T , x ) = { µ } e − β H ( µ ) is t h e p a r t it io n f u n c t io n a n d β = 1 / k b T ( w it h k b t h e B o lt z m a n n f a c t o r ) . U n lik e in a m ic r o c a n o n ic a l e n s e m b le , t h e e n e r g y o f a s y s t e m e x c h a n g in g h e a t w it h a r e s e r v o ir is a r a n d o m v a r ia b le , a n d it is e .g . p o s s ib le t o d e fi n e a p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n f o r t he e n e r g y it s e lf ( b y c h a n g in g v a r ia b le s f r o m µ t o H ( µ ) in t h e p .d .f . a b o v e .)
C . G i b b s a n d G r a n d - c a n o n i c a l e n s e m b l e
A g e n e r a liz a t io n o f t h e c a n o n ic a l e n s e m b le is t o a llo w t h e e n e r g y t o v a r y b y b o t h t h e a d d it io n o f h e a t a n d w o r k . T h e G ib b s c a n o n ic a l e n s e m b le d e s c r ib e s a s y s t e m w h e r e ( m e c h a n ic a l) w o r k is d o n e ( w h ic h c h a n g e s t h e in t e r n a l v a r ia b le s x ) . In t h e G r a n d - c a n o n ic a l e n s e m b le in s t e a d c h e m ic a l w o r k is p e r f o r m e d ( w h ic h v a r ie s t h e n u m b e r o f p a r t ic le s ) . T h u s t h e c h e m ic a l p o t e n t ia l µ c is fi x e d a n d N c a n v a r y .
[T h e c h e m ic a l p o t e n t ia l o f a t h e r m o d y n a m ic s y s t e m is t h e a m o u n t b y w h ic h t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m w o u ld c h a n g e if a n a d d it io n a l p a r t ic le w e r e in t r o d u c e d , w it h t h e e n t r o p y a n d v o lu m e h e ld fi x e d . T h e c h e m ic a l p o t e n t ia l is a f u n d a m e n t a l p a r a m e t e r in t h e r m o d y n a m ic s a n d it is c o n j u g a t e t o t h e p a r t ic le n u m b e r .]
2 2 ( N o t e : t h i s s e c t i o n a n d t h e n e x t o n e i s t a k e n f r o m P r o f . K a r d a r 8 . 3 3 3 “ S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s I ” n o t e s a s a v a i l a b l e o n O C W , i n s o me p o i n t s w i t h o n l y s ma l l c h a n g e s ) .
D . E n tr o p y
Σ
G iv e n a p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n , w e c a n d e fi n e t h e e n t r o p y S a s
S = − k b p a lo g ( p a )
a
( w it h t h e c o n v e n t io n t h a t x lo g ( x ) → 0 f o r x → 0 ) w h e r e p a d e s c r ib e t h e p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n ( 0 ≤ p a ≤ 1 ,
a p a = 1 ) . It is a m e a s u r e o f o u r k n o w le d g e a b o u t t h e s t a t e o f t h e s y s t e m .
F o r e x a m p le , if p j = 1 , p i = 0 , ∀ i / = / j , S = 0 ( m in im u m e n t r o p y , m a x im u m k n o w le d g e ) . If in s t e a d w e h a v e a u n if o r m
d is t r ib u t io n p i = 1 / N , ∀ i , S is m a x im u m :
b N N
i
S = − k
1 Σ lo g � 1 ) = k
lo g ( N ) .
Σ | ) ( | − Σ
— { }
b
In t h e e n s e m b le in t e r p r e t a t io n o f t h e d e n s it y m a t r ix , t h e e n t r o p y S ( ρ ) = k b T r ρ lo g ρ c a n b e s e e n t o h a v e t h e s a m e m e a n in g a s in c la s s ic a l s t a t is t ic s , s in c e w e g iv e a p r o b a b ilis t ic m e a n in g t o t h e d e n s it y m a t r ix . G iv e n t h e d e c o m p o s it io n in t o p u r e s t a t e s : ρ = p i ψ i ψ i w e o b t a in t h a t S ( ρ ) = k b i p i lo g ( p i ) . In p a r t ic u la r t h e e n t r o p y is m a x im iz e d
f o r t h e id e n t it y s t a t e .
T h e e n t r o p y S d e s c r ib e s t h e la c k o f k n o w le d g e in t h e s y s t e m a n d it c a n a ls o b e u s e d t o q u a n t if y s u b j e c t iv e e s t im a t e s o f p r o b a b ilit ie s . In t h e a b s e n c e o f a n y in f o r m a t io n , t h e b e s t u n b ia s e d e s t im a t e is t h a t a ll N o u t c o m e s a r e e q u a lly lik e ly . T h is is t h e d is t r ib u t io n o f m a x im u m e n t r o p y . If a d d it io n a l in f o r m a t io n is a v a ila b le , t h e u n b ia s e d e s t im a t e is o b t a in e d b y m a x i m i z i n g t h e e n t r o p y s u b j e c t t o t h e c o n s t r a in t s im p o s e d b y t h is in f o r m a t io n . T h e e n t r o p y m a x im iz a t io n m e t h o d c o r r e s p o n d s t o fi n d in g t h e b e s t u n b ia s e d e s t im a t e b y m in im iz in g t h e a m o u n t o f in f o r m a t io n t h a t w e in t r o d u c e in t h e e s t im a t e ( g iv e n w h a t w e k n o w a b o u t t h e d is t r ib u t io n ) .
F o r e x a m p le , in t h e c a n o n ic a l e n s e m b le , w e m a x im iz e t h e e n t r o p y g iv e n a fi x e d a v e r a g e e n e r g y . T h e c a n o n ic a l e n s e m b le c a n in f a c t e x c h a n g e e n e r g y w it h a la r g e h e a t h b a t h , s o t h a t t h e s y s t e m is t h e r m a liz e d a n d t h e e n e r g y k e p t fi x e d . T h e m ic r o c a n o n ic a l e n s e m b le in s t e a d d e s c r ib e s a n is o la t e d s y s t e m , w h e r e t h e p o s s ib le s t a t e s o f t h e s y s t e m h a v e t h e s a m e e n e r g y a n d t h e p r o b a b ilit y f o r t h e s y s t e m t o b e in a n y g iv e n s t a t e is t h e s a m e .
7 . 5 . 2 Q u a n t u m M a c r o - s t a t e s
| ) ( ) ( | | )
W e c a n a s w e ll f o r m u la t e a s t a t is t ic a l t h e o r y f o r Q M . In Q M w e h a v e s e e n a lr e a d y t h a t m ic r o - s t a t e s a r e d e s c r ib e d b y v e c t o r s in H ilb e r t s p a c e s , e v o lv in g u n it a r ily a c c o r d in g t o t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n . U n lik e in c la s s ic a l m e c h a n ic s , t h e v a lu e o f a n o p e r a t o r O is n o t u n iq u e ly d e t e r m in e d f o r a p a r t ic u la r m ic r o - s t a t e . It is in s t e a d a r a n d o m v a r ia b le , w h o s e a v e r a g e in a s t a t e ψ is g iv e n b y O = ψ O ψ .
A s in t h e c la s s ic a l c a s e , w e c a n d e fi n e q u a n t u m m a c r o - s t a t e s d e s c r ib in g e n s e m b le s o f m ic r o - s t a t e s . M a c r o - s t a t e s o f t h e s y s t e m d e p e n d o n o n ly a f e w t h e r m o d y n a m ic f u n c t io n s . W e c a n f o r m a n e n s e m b le o f a la r g e n u m b e r N o f m ic r o s t a t e s µ a c o r r e s p o n d in g t o a g iv e n m a c r o s t a t e . T h e d iff e r e n t m ic r o - s t a t e s o c c u r w it h p r o b a b ilit ie s p a . ( F o r e x a m p le p a = 1 / N in t h e a b s e n c e o f a n y o t h e r in f o r m a t io n .) W h e n w e n o lo n g e r h a v e e x a c t k n o w le d g e o f t h e m ic r o s t a t e , it is s a id t o b e in a m ix e d s t a t e .
Σ Σ Σ
{ | ) } { }
A m ix e d q u a n t u m s t a t e is o b t a in e d f r o m a s e t o f p o s s ib le s t a t e s ψ a , w it h p r o b a b ilit ie s p a . T h e e n s e m b le a v e r a g e o f t h e q u a n t u m m e c h a n ic a l e x p e c t a t io n v a lu e o f a n o b s e r v a b le O is t h u s
( O ) = p a ( ψ a | O | ψ a ) = p a ( ψ a | n ) ( n | O | m ) ( m | ψ a ) = ( m | ψ a ) p a ( ψ a | n ) ( n | O | m ) = T r { ρ O }
a m , n , a m , n , a
Σ
w h e r e w e d e fi n e d t h e d e n s it y m a t r ix :
p a | ψ a ) ( ψ a |
a
w it h t h e p r o p e r t ie s s e e n a b o v e ( t r a c e n o r m a liz a t io n t o 1 , h e r m it ic it y , p o s it iv it y ) . W e h a v e a ls o a lr e a d y s e e n t h a t t h e d e n s it y m a t r ix o b e y s t h e L io u v ille e q u a t io n :
H
i n d ρ = [ , ρ ] d t
d t
H H H
H
E q u ilib r iu m r e q u ir e s t im e in d e p e n d e n t a v e r a g e s , a n d s u g g e s t s d ρ = 0 . T h is c o n d it io n is s a t is fi e d b y c h o o s in g ρ = ρ ( ) , s o t h a t [ ρ ( ) , ] = 0 . ρ m a y a ls o d e p e n d o n c o n s e r v e d q u a n t it ie s s u c h t h a t [ , L ] = 0 . V a r io u s e q u ilib r iu m q u a n t u m d e n s it y m a t r ic e s c a n n o w b e c o n s t r u c t e d in a n a lo g y t o c la s s ic a l s t a t is t ic a l m e c h a n ic s . F o r e x a m p le , it is p o s s ib le t o u s e t h is m in im iz a t io n o f t h e e n t r o p y t o c a lc u la t e t h e d e n s it y m a t r ix d e s c r ib in g a m ix e d s t a t e .
A . M i c r o c a n o n i c a l e n s e m b l e :
A s t h e in t e r n a l e n e r g y h a s a fi x e d v a lu e E , a d e n s it y m a t r ix t h a t in c lu d e s t h is c o n s t r a in t is
ρ ( E ) = δ ( H − E )
Ω ( E )
In t h e m a t r ix r e p r e s e n t a t io n t h is c a n b e w r it t e n a s
n , m
a
a
a
Ω
n
ρ = ( n | ρ | m ) = Σ p ( m | ψ ) ( ψ | n ) = 1 δ ( E
a
— E ) δ ,
Σ
|( | ) |
n , m
w h e r e H | n ) = E n | n ) . T h u s , o n ly e ig e n s t a t e s o f t h e c o r r e c t e n e r g y c a n a p p e a r in t h e q u a n t u m w a v e - f u n c t io n a n d ( f o r p a = 1 / N ) s u c h s t a t e s o n a v e r a g e h a v e t h e s a m e a m p lit u d e , n ψ a 2 = 1 / Ω . T h is is e q u iv a le n t t o t h e c la s s ic a l p o s t u la t e o f e q u a l a p r io r i e q u ilib r iu m p r o b a b ilit ie s . T h e Ω e ig e n s t a t e s o f e n e r g y E a r e c o m b in e d in a t y p ic a l m ic r o s t a t e w it h in d e p e n d e n t r a n d o m p h a s e s . N o t e t h a t t h e n o r m a liz a t io n c o n d it io n T r { ρ } = 1 , im p lie s t h a t Ω ( E ) =
— H
n δ ( E E n ) is t h e n u m b e r o f e ig e n s t a t e s o f w it h e n e r g y E .
N o t ic e t h a t w e c a n a ls o o b t a in t h e s a m e r e s u lt b y u s in g t h e m a x im iz a t io n o f t h e e n t r o p y m e t h o d . F o r a m ic r o c a n o n ic a l
{ }
{
e n s e m b le , w e h a v e n o o t h e r k n o w le d g e o n t h e s y s t e m t h a n t h e n o r m a liz a t io n c o n s t r a in t ( T r ρ = 1 ) . W e t h u s w a n t t o fi n d a n u n b ia s e d e s t im a t e t h a t r e fl e c t s t h is m in im u m k n o w le d g e b y m a x im iz in g t h e e n t r o p y . W e t h u s c a lc u la t e t h e d e n s it y m a t r ix b y p o s in g :
m a x ( S ) T r { ρ } = 1
L − { } −
W e c a n u s e t h e L a g r a n g ia n m u lt ip lie r m e t h o d t o s o lv e t h is p r o b le m . D e fi n e a f u n c t io n = S λ [T r ρ 1 ] , w h e r e
λ is a c o e ffi c ie n t t h a t m u lt ip ly t h e c o n s t r a in t c o n d it io n . T h e c o n s t r a in e d m a x im u m is f o u n d a t t h e m a x im u m o f t h e
2
1
1
f u n c t io n L :
{ d L = 0 → − k T r { lo g
ρ + 1 } − λ T r { 1 } = 0
d λ
d ρ
b
d L = 0 → T r { ρ } = 1
∝ ∝
W e t h e r e f o r e fi n d ρ 1 1 , s in c e lo g ( ρ ) 1 1 f r o m t h e fi r s t e q u a t io n . F r o m t h e n o r m a liz a t io n c o n d it io n w e o b t a in : ρ i i = 1 / N , w h e r e N is t h e d im e n s io n o f t h e H ilb e r t s p a c e . T h is e x p r e s s e s t h e s a m e c o n d it io n a s a b o v e ( a lt h o u g h f o r a d is c r e t e s y s t e m ) .
B . C a n o n i c a l e n s e m b l e :
A c a n o n ic a l e n s e m b le d e s c r ib e s a s y s t e m w it h a fi x e d t e m p e r a t u r e . A fi x e d t e m p e r a t u r e T = 1 / ( k B β ) c a n b e a c h ie v e d b y p u t t in g t h e s y s t e m in c o n t a c t w it h a r e s e r v o ir . T h e c a n o n ic a l d e n s it y m a t r ix is t h e n o b t a in e d b y m a x im iz in g t h e s y s t e m e n t r o p y u n d e r t h e c o n s t r a in o f a g iv e n a v e r a g e e n e r g y .
If t h e a v e r a g e e n e r g y is fi x e d w e h a v e a n o t h e r c o n d it io n , ( E ) = T r { H ρ } in a d d it io n t o n o r m a liz a t io n . T h e r e f o r e :
L = − k B T r { ρ lo g 2 ρ } − λ 1 [T r { ρ H } − ( E ) ] − λ 2 [T r { ρ } − 1 ] W e c a n n o w c a lc u la t e t h e m a x im u m o f L :
k b T r { lo g 2 ρ + 1 } − λ 1 T r { H } − λ 2 T r { 1 1 } = 0 → lo g 2 ρ = − λ 1 H + K 1 1
T h e d e n s it y m a t r ix is t h e r e f o r e a n e x p o n e n t ia l: ρ = e − β H / Z , w h e r e β = 1 / ( k B T ) a n d Z is t h e p a r t it io n f u n c t io n , d e t e r m in e d b y t h e n o r m a liz a t io n c o n d it io n :
Z = T r { e − β H } = Σ e − β E n
n
( w h e r e t h e la s t e x p r e s s io n is c a lc u la t e d in t h e e n e r g y e ig e n b a s is ) . W e c a n c a lc u la t e t h e a v e r a g e e n e r g y a n d t h e e n t r o p y :
( ) { H β } −
∂
E = T r e − H / Z =
∂ β
( ln Z )
S = − k B T r { ρ lo g 2 ρ } = k B β ( E ) + k B ln Z
In g e n e r a l, a n y m a c r o s c o p ic o b s e r v a b le c a n b e c a lc u la t e d f r o m t h e p a r t it io n f u n c t io n .
C . G r a n d C a n o n i c a l e n s e m b l e
In t h e G r a n d C a n o n ic a l e n s e m b le t h e n u m b e r o f p a r t ic le s N , is n o lo n g e r fi x e d . Q u a n t u m m ic r o - s t a t e s w it h in d e fi n it e p a r t ic le n u m b e r s p a n a s p a c e c a lle d F o c k s p a c e ( w e w ill c o m e b a c k t o t h is c o n c e p t w h e n s t u d y in g t h e e .m . fi e ld ) . T h e d e n s it y m a t r ix c a n b e o b t a in e d a s b e f o r e , w h e r e w e m a x im iz e t h e e n t r o p y , s u b j e c t e d n o w t o c o n d it io n s o n t h e e n e r g y a n d t h e p a r t ic le n u m b e r . It c a n b e s h o w n ( a lt h o u g h w e o n ly m e n t io n it h e r e ) t h a t
e − β H + β µ N
ρ ( β , µ ) = ,
Q
w h e r e t h e n o r m a liz a t io n is :
{ β + β N } Σ β N
∞
Q ( β , µ ) = T r e − H µ = = e µ Z N ( β )
N = 0
2
7 . 5 . 3 E x a m p l e : S p i n - 1
l
C o n s id e r a s p in - 1 s y s t e m in a m a g n e t ic fi e ld a lo n g z . T h e H a m ilt o n ia n is t h e n H = γ B σ = n ω σ . A t t h e r m a l
2 2 z z
e q u ilib r iu m , t h e d e n s it y m a t r ix is
e − β l ω σ z / 2 { }
ρ = , Z = T r e − β l ω σ z / 2 Z
W e fi n d Z = e − β l ω / 2 + e β l ω / 2 a n d t h e e x p e c t a t io n v a lu e s :
n
x
y
z
( S ) = ( S ) = 0 . ( S ) = − t a n h
β n ω )
2 2
In t h e h ig h t e m p e r a t u r e a p p r o x im a t io n , w e c a n e x p a n d t h e e x p o n e n t ia l t o fi n d ρ = 1 1 + β l ω σ . T h is is t h e e x p r e s s io n
t h a t is u s e d f o r e x a m p le in N M R .
2 2 z
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu
22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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