6 . C o m p o s i te s s y s te m s a n d En ta n g l e m e n t
6 . 1 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t s p ac e s
6 . 1 . 1 P r o d u c t O p e r a t o r B a s i s
6 . 2 Q u an t u m I n fo r m at i o n P r o c e s s i n g
6 . 3 O p e r at o r s o n t w o Q u b i t s
6 . 4 N o c l o n i n g T h e o r e m
6 . 5 En t an g l e m e n t an d EP R p ar ad o x
6 . 5 . 1 B e l l I n e q u a l i t i e s
6 . 6 T e l e p o r t at i o n ( B e nne t , P e r e s , B r a s s a r d)
6 . 7 D e u t s c h - J o z s a al g o r i t h m
6 . 1 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t sp a c e s
x A A
H H | ) | ) | ) | )
U n t il n o w w e h a v e b e e n c o n c e r n e d w it h t h e d e s c r ip t io n a n d e v o lu t io n o f a s in g le T L S . A lt h o u g h w e h a v e s e e n s o m e e x a m p le s o f h o w it d e s c r ib e s s o m e r e a l p h y s ic a l s y s t e m s , o f c o u r s e m a n y s y s t e m s a r e m o r e c o m p lic a t e d a n d c a n n o t b e d e s c r ib e d b y t h a t f o r m a lis m . W e c o u ld o f c o u r s e s t a r t s t u d y in g h ig h e r d im e n s io n a l s y s t e m s , s u c h a s m o r e g e n e r a l a n g u la r m o m e n t u m w it h d im e n s io n N . H e r e w e f o c u s in s t e a d o n s y s t e m s w it h d im e n s io n N = 2 n ( w it h n in t e g e r ) b e c a u s e w e a r e in t e r e s t e d in s t u d y in g c o m p o s it e ( o r m u lt ip a r t it e ) s y s t e m s , w h e r e t w o o r m o r e T L S s y s t e m s in t e r a c t . L e t ’s c o n s id e r 2 t w o - le v e l H ilb e r t s p a c e s A a n d B , e a c h s p a n n e d b y t h e v e c t o r s : 0 A , 1 A a n d 0 B , 1 B . F o r e a c h s p a c e w e c a n d e fi n e t h e P a u li M a t r ic e s a n d t h e id e n t it y o n t h e s p a c e . T h e y a r e t w o d is t in g u is h a b le H ilb e r t s p a c e ( w e w ill d e a l w it h in d is t in g u is h a b le p a r t ic le s la t e r o n ) . T h e a c t io n o f a P a u li m a t r ix o n t h e v e c t o r o f it s o w n H ilb e r t s p a c e is a s u s u a l ( e .g . σ A | 0 ) = | 1 ) ) . B u t o p e r a t o r s o f t h e A H ilb e r t s p a c e d o n o t a c t o n t h e v e c t o r s o f t h e o t h e r
x B
B
H ilb e r t s p a c e , t h e y le a v e t h e m u n c h a n g e d : σ A | 0 ) = | 0 ) .
H H H ⊗ H ×
W e c a n d e fi n e t h e j o in t s p a c e A B b y a t e n s o r p r o d u c t A B = A B , w h ic h h a s d im e n s io n s N = 2 2 2 2 = 2 4 = 1 6 . W h e n w e c o n s id e r a m a t r ix r e p r e s e n t a t io n o f t h e H ilb e r t s p a c e , t h is c o r r e s p o n d s t o a k r o n e c k e r p r o d u c t . F o r e x a m p le , t h e k r o n e c k e r p r o d u c t o f t w o m a t r ic e s ( o p e r a t o r s ) A a n d B is g iv e n b y :
A ⊗ B =
A 1 1
B A 1 2 B
=
A 1 1
B 2 1
A 1 1
B 2 2
A 1 2
B 2 1
. . .
A 2 1 B 1 1 A 2 1 B 1 2 . . . . . .
A 2 1 B 1 2
×
A 1 1 B 1 1 A 1 1 B 1 2 A 1 2 B 1 1 A 2 2 B 1 1
A 2 1 B A 2 2 B
t h a t is , a 4 4 m a t r ix . In t h e s a m e w a y , t h e v e c t o r s t a t e s o f t h e j o in t H ilb e r t s p a c e a r e d e fi n e d b y t h e k r o n e c k e r p r o d u c t s o f t h e b a s is s t a t e s o f t h e t w o s p a c e s . F o r e x a m p le :
�
0
| 0 ) A ⊗ | 1 ) B = 1
� ⊗ � 1
0
0
= 1
0
x x
�
0
A b a s is s e t f o r a t w o - q u b it s y s t e m ( t w o T L S ) is g iv e n b y t h e f o u r s t a t e s : | 0 0 ) , | 0 1 ) , | 1 0 ) , | 1 1 ) . N o t a t io n - w is e , w e n o r m a lly d o n o t w r it e t h e id e n t it y : σ A ⊗ 1 B = σ A .
x
x x y z z
If o n e s p in s p a c e is s p a n n e d b y 4 m a t r ic e s , t h e j o in t d o m a in A a n d B is s p a n n e d b y 1 6 o p e r a t o r s , w h ic h a r e t h e c o m b in a t io n s o f o p e r a t o r s f r o m t h e t w o s p a c e s : { 1 , σ A , σ B , . . . , σ A σ B , . . . σ A σ B } .
T h e j o in t s p a c e is s t ill a n H ilb e r t s p a c e . If | a ) is a v e c t o r in t h e H A s p a c e a n d | b ) in t h e H B s p a c e , t a k in g a v e c t o r in t h e j o in t s p a c e | a ) ⊗ | b ) it h a s t h e p r o p e r t ie s o f a lin e a r v e c t o r :
( | a 1 ) + | a 2 ) ) ⊗ | b ) = | a 1 ) ⊗ | b ) + | a 2 ) ⊗ | b )
a n d
c ( | a ) ⊗ | b ) ) = c | a ) ⊗ | b ) = | a ) ⊗ c | b )
( n o t ic e t h a t t h e s c a la r c a n b e p u s h e d t r o u g h a s d e s ir e d ) .
j
If A is a n o p e r a t o r in H A a n d B in H B , e a c h o p e r a t o r a c t s o n it s o w n d o m a in : A B ( | a ) ⊗ | b ) ) = ( A | a ) ) ⊗ ( B | b ) ) . If H C = H A B is t h e j o in t H ilb e r t s p a c e , a n y o p e r a t o r in it c a n b e w r it t e n a s a lin e a r c o m b in a t io n o f o p e r a t o r s in t h e t w o s p a c e s : C = i , j c i , j A i B j , w h e r e i a n d j r u n o n t h e t w o d o m a in s a n d { A i } , { B j } f o r m c o m p le t e s e t s ( a b a s is f o r t h e o p e r a t o r s p a c e s ) .
T h e in n e r p r o d u c t o f v e c t o r s in t h e j o in t s p a c e a r e
( � b 1 | ⊗ � a 1 | ) ( | a 2 ) ⊗ | a 2 ) ) = � a 1 | a 2 ) � b 1 | b 2 ) .
| )
A k e t o f a j o in t s p a c e c a n a ls o b e w r it t e n a s a , b , t h a t is , a k e t c a n b e s p e c ifi e d b y a s m a n y q u a n t u m n u m b e r a s r e q u ir e d t o f u lly c h a r a c t e r iz e t h e s t a t e .
6 . 1 . 1 P r o d u c t O p e r a t o r B a s i s
W e c a n g e n e r a liz e t h e s e c o n s id e r a t io n s t o m o r e t h a n t w o T L S ( o r q u b it s o r s p in - 1 ) . W e t h u s d e fi n e a c o m p o s it e
H ilb e r t s p a c e o f d im e n s io n N = 2 n
2
, w h e r e n is t h e n u m b e r o f q u b it s , a s t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e H ilb e r t s p a c e f o r
i = 1
e a c h q u b it : H = ® n H i . A b a s is f o r t h is o p e r a t o r s p a c e is t h e p r o d u c t o p e r a t o r b a s is ( a ls o c a lle d g e n e r a liz e d P a u li
o p e r a t o r s ) . E le m e n t s o f t h is b a s is a r e d e fi n e d a s
P l = n P ,
n
( j )
l
j = 1
w h e r e e a c h P ( j ) is e it h e r a P a u li m a t r ix { σ x , σ y , σ z } o r t h e id e n t it y 1 1 in t h e s p a c e o f t h e q u b it j . N o t ic e t h a t P † = P l
l l
( h e r m it ia n ) a n d T r { P l P l ′ } = N δ l, l ′ ( t h a t is , t h e b a s is is o r t h o g o n a l, b u t n o r n o r m a liz e d ) .
6 . 2 Q u a n t u m I n f o r m a t i o n P r o c e ss i n g
∝ ∝
Q u a n t u m in f o r m a t io n p r o c e s s in g is t h e s t u d y o f in f o r m a t io n p r o c e s s in g t a s k s t h a t c a n b e a c c o m p lis h e d ( o n ly ) u s in g q u a n t u m m e c h a n ic a l s y s t e m s . W h a t d o w e m e a n b y o n l y ? W h a t w e r e f e r s t o a r e t a s k s t h a t c a n b e p o s s ib le o n ly if t h e la w o f q u a n t u m m e c h a n ic s a p p ly t o t h e s y s t e m u s e d f o r p r o c e s s in g t h e in f o r m a t io n o r t h a t a r e a c c o m p lis h e d in a m o r e e ffi c ie n t w a y if p e r f o r m e d b y a q u a n t u m s y s t e m ( in t e r m s o f t im e o r m a t e r ia l r e s o u r c e s ) . F o r e x a m p le , P e t e r S h o r s h o w e d in 1 9 9 4 t h a t it is p o s s ib le t o fi n d t h e p r im e f a c t o r s o f a n u m b e r u s in g a q u a n t u m c o m p u t e r in a n e x p o n e n t ia lly s h o r t e r t im e t h a n in a c la s s ic a l c o m p u t e r . T h e s c a lin g r e f e r s t o t h e f a c t t h a t if w e w a n t t o f a c t o r iz e a n u m b e r r e p r e s e n t e d b y n b it s o f in f o r m a t io n ( e .g . in it s b in a r y r e p r e s e n t a t io n t h e s t r in g is n - c h a r a c t e r lo n g ) it w ill t a k e a t im e T c l 2 n f o r a c la s s ic a l c o m p u t e r t o p e r f o r m t h e c o m p u t a t io n , w h ile o n ly a t im e T q u n t o a q u a n t u m c o m p u t e r . A lt h o u g h f a c t o r in g t h e n u m b e r 1 5 is e a s y 1 4 , f a c t o r in g la r g e n u m b e r s is a v e r y t im e - c o n s u m in g t a s k , s o m u c h t h a t e n c r y p t io n is b a s e d o n n u m b e r f a c t o r in g ( a s t h e r e v e r s e o p e r a t io n , fi n d in g t h e p r o d u c t o f t w o n u m b e r s , is in s t e a d a n e a s y t a s k ) .
1 4 W h y d o I m e n t i o n h e r e 1 5 ? B e c a u s e t h a t i s t h e n u m b e r t h a t h a s b e e n p o s s i b l e t o f a c t o r i z e u n t i l n o w b y a q u a n t u m c o mp u t e r :
L. M . K V a n d e r s y p e n , M . S t e ff e n , G . B r e y t a , C . S . Y a n n o n i , M . H . S h e r w o o d a n d I . L. C h u a n g , Ex p e r i m e n t a l r e a l i z a t i o n o f S h o r ’ s q u a n t u m f a c t o r i n g a l g o r i t h m u s i n g n u c l e a r m a g n e t i c r e s o n a n c e , N a t u r e 4 1 4 8 8 3 - 8 8 7 ( 2 0 0 1 )
W h ile it is s t ill a d e b a t e o f w h e r e t h e p o w e r o f q u a n t u m c o m p u t a t io n c o m e s f r o m , t w o m a in in g r e d ie n t s s e e m s t o h a v e a p r e e m in e n t r o le . Q u a n t u m s u p e r p o s it io n ( in t h e f o r m o f p a r a lle lis m t h a t a llo w s t o c o m p u t e a ll t h e p o s s ib le s o lu t io n s o f a p r o b le m a t o n c e ) a n d in t e r f e r e n c e ( t h a t le a d s t o a lg o r it h m s t h a t s e le c t a c o n s t r u c t iv e in t e r f e r e n c e f o r t h e c o r r e c t s o lu t io n , s o t h a t w e o b t a in t h e r ig h t a n s w e r w it h h ig h p r o b a b ilit y o n c e w e m e a s u r e t h e q u a n t u m s y s t e m a n d c o lla p s e t h e s u p e r p o s it io n s t a t e ) . A s it is im p lie d in t h is la s t s t a t e m e n t , n o t a ll t h e t a s k s c a n b e m a d e m o r e e ffi c ie n t o n a q u a n t u m c o m p u t e r a n d in f a c t it h a s p r o v e n q u it e h a r d t o fi n d q u a n t u m a lg o r it h m s ( a lt h o u g h t h e k n o w n o n e s a r e q u it e p o w e r f u l) .
Q u a n t u m in f o r m a t io n p r o c e s s in g h a s r a m ifi c a t io n s w e ll b e y o n d q u a n t u m c o m p u t a t io n . V e r y a c t iv e a r e a s o f r e s e a r c h
- a n d o f p r a c t ic a l r e s u lt s - a r e q u a n t u m c o m m u n ic a t io n s , s im u la t io n s , s e n s o r s , a n d o f c o u r s e o n t h e t h e o r y s id e , q u a n t u m c o n t r o l, q u a n t u m c o m p le x it y , e n t a n g le m e n t t h e o r y , d e c o h e r e n c e , e t c .
H e r e w e w ill a d o p t s o m e o f t h e la n g u a g e a n d t o o ls o f q u a n t u m in f o r m a t io n t o e x p lo r e id e a s t h a t c o n n e c t t o t h e v e r y f o u n d a t io n o f q u a n t u m t h e o r y . W e w ill s t a r t b y d e s c r ib in g o p e r a t io n s t h a t c a n b e p e r f o r m e d o n a q u a n t u m c o m p u t e r . A s a t it s h e a r t a q u a n t u m c o m p u t e r is j u s t a Q M p h y s ic a l s y s t e m , t h e s e o p e r a t io n s s im p ly d e s c r ib e t h e e v o lu t io n o f t h e s y s t e m it s e lf .
In t h e s a m e w a y a s c la s s ic a l c o m p u t e r a r e p h y s ic a l s y s t e m s , c ir c u it s m a d e o f w ir e s a n d g a t e s , a q u a n t u m c o m p u t e r is a ls o c o m p o s e d o f w ir e s a n d q u a n t u m g a t e s . T h e w ir e s a r e u s e d t o c a r r y t h e in f o r m a t io n a r o u n d , w h ile t h e g a t e s p e r f o r m o p e r a t io n s , m a n ip u la t e t h e in f o r m a t io n . Q u a n t u m g a t e s h o w e v e r h a v e t h e p r o p e r t ie s o f b e in g lin e a r a n d i n v e rt i b l e , a s t h e y r e p r e s e n t t h e u n it a r y e v o lu t io n o f a q u a n t u m s y s t e m ( a c o lle c t io n o f T L S o r q u b it s ) . T h is is d iff e r e n t t h a n u s u a l c la s s ic a l g a t e s , a lt h o u g h in v e r t ib le c la s s ic a l g a t e s w e r e a lr e a d y k n o w n .
6 . 3 O p e r a t o r s o n t w o Q u b i t s
T h e r e a r e s e v e r a l o p e r a t o r s w h ic h a r e n o r m a lly u s e d in q u a n t u m c o m p u t a t io n a n d t h a t d e s c r ib e t h e p o s s ib le e v o lu t io n o f t h e s y s t e m .
- N o t A = σ x ⊗ 1 B ; N o t B = 1 A ⊗ σ x .
A √ B
- H a d a m a r d g a t e : H = ( σ x + σ z ) / 2 .
- C o n t r o lle d N o t : r o t a t e B c o n d it io n a lly o n t h e s t a t e in t h e A s u b s p a c e . In t r o d u c in g t h e id e m p o t e n t s 1 5 ( o r p r o j e c t o r s )
A A B
E + = | 0 ) 0 | a n d E − = | 1 ) 1 | , t h e C N O T is C A N O T B = E + + E − σ x :
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
C A N O T B =
If s o m e b o d y h a s t a k e n s o m e c o m p u t e r s c ie n c e c la s s e s , y o u c a n r e a liz e t h a t t h e t r u t h t a b le o f t h e c n o t g a t e is q u it e s im ila r t o t h a t o f a X O R g a t e . W e c a n a ls o j u s t h a v e g e n e r a l s in g le q u b it g a t e s , U , t h a t d e s c r ib e a n y g e n e r a l r o t a t io n
|
A |
B |
A B |
|
0 |
0 |
0 0 |
|
0 |
1 |
0 1 |
|
1 |
0 |
1 1 |
|
1 |
1 |
1 0 |
T a b l e 2 : T r u t h t a b l e o f t h e C N O T ( 1 s t q u b i t c o n t r o l l e r , 2 n d q u b i t t a r g e t )
o n a s in g le q u b it . If w e c o m b in e t h is s in g le q u b it r o t a t io n s w it h t h e C N O T g a t e s o n a n y p a ir o f q u b it , w e a r e a b le t o b u ild a n y p o s s ib le a lg o r it h m ( o r c o m p u t a t io n ) o n t h e s y s t e m . T h a t a ls o m e a n s t h a t w e a r e a b le t o e n f o r c e a n y p o s s ib le e v o lu t io n o f t h e s y s t e m , b y le t t in g it e v o lv e u n d e r t h e s e t w o t y p e s o f g a t e s . W e s a y s t h a t t h e y a r e u n iv e r s a l g a t e s .
1 5 I d e mp o t e n t s s i n c e t h e y s q u a r e t o t h e ms e l v e s
A . M e a s u r e m e n t i n th e σ x b a s i s
| ) | )
| ) | ) | ) → | ) | ) | ) | ) |− )
A t t h e e n d o f a c ir c u it , t h e q u b it s a r e m e a s u r e d . W h ile u s u a lly it is im p lic it t h a t t h e q u b it s a r e m e a s u r e d in t h e ir c o m p u t a t io n a l b a s is ( 0 , 1 ) , w h ic h c o r r e s p o n d s t o t h e e ig e n v a lu e s o f t h e o p e r a t o r σ z , t h is d o e s n o t a lw a y s h a s t o b e e n t h e c a s e . T h e e ig e n v e c t o r s o f σ x f o r m a n e q u iv a le n t ly g o o d b a s is . W e c o u ld h a v e e x p r e s s e d a s t a t e v e c t o r a s : ψ z = a 0 + b 1 ψ x = c 0 x + d 1 x = c + + d ( t h e la s t e x p r e s s io n is a n o t a t io n e n c o u n t e r e d o f t e n ) . T h e
c o e ffi c ie n t s c a n d d c a n b e c a lc u la t e d w it h a c h a n g e o f b a s is . F ir s t , n o t ic e t h a t t h e e ig e n v e c t o r s o f σ x in t h e z - b a s is
x
a r e g iv e n b y t h e e ig e n v e c t o r s o f t h e m a t r ix
σ = 0 1 ,
1 0
t h a t is :
| + ) = ( | 0 ) + | 1 ) ) / √ 2 |− ) = ( | 0 ) − | 1 ) ) / √ 2
| ) | )
T h e o p e r a t o r t h a t p e r f o r m t h e c h a n g e o f f r a m e is t h e r e f o r e t h e H a d a m a r d m a t r ix : ψ x = H ψ z . T h is is a ls o t h e r e a s o n w h y , in s t e a d o f m e a s u r in g in t h e x - b a s is , w e c a n p e r f o r m a n H a d a m a r d o p e r a t io n t o b r in g b a c k t h e q u b it t o t h e z - b a s is , a n d m e a s u r e in t h is m o r e u s u a l b a s is .
T h e r e p r e s e n t a t io n s o f g a t e s , q u b it s a n d w ir e s is u s u a lly d o n e v ia d ia g r a m s lik e t h e f o llo w in g :
H
•
U
H
×
| 0 ) A
| 0 ) B
F i g . 9 : Q u a n t u m c i r c u i t , s h o w i n g H a d a ma r d , C N o t g a t e a n d a g e n e r a l g a t e U
6 . 4 N o c l o n i n g Th e o r e m
W e a r e g o in g t o s t u d y s o m e p r o p e r t ie s o f q u a n t u m s t a t e s t h a t d is t in g u is h t h e m f r o m c la s s ic a l s t a t e s . O n e p r o p e r t y t h a t h a s b e e n k n o w n f o r a lo n g t im e , w it h o u t s t ir r in g m u c h in t e r e s t b e f o r e it w a s c o n s id e r e d a g a in in t h e o p t ic s o f q u a n t u m c o m p u t a t io n is t h e im p o s s ib ilit y o f c o p y in g a q u a n t u m s t a t e . T h is im p o s s ib ilit ie s s e e m e d t o d o o m q u a n t u m c o m p u t a t io n , b e c a u s e it s e e m e d t o f o r b id c o r r e c t io n c o d e s , b u t q u a n t u m r e s o u r c e s o ff e r o t h e r w a y s t o p e r f o r m e r r o r c o r r e c t io n .
T h e s o - c a lle d N o - c l o n i n g t h e o r e m , s t a t e s t h a t :
□ T h e o r e m: It is im p o s s ib le t o m a k e a p e r f e c t c o p y o f a n u n k n o w n , p u r e s t a t e b y a n u n it a r y o p e r a t io n .
| ) | ) | ) | )
P r o o f : I w a n t t o c o p y a n a r b it r a r y s t a t e ψ = α 0 + β 1 o n t h e b la n k in it ia l s t a t e i u s in g a u n it a r y o p e r a t o r U . T h e fi n a l s t a t e is t h e r e f o r e :
U | ψ ) ⊗ | i ) = ? | ψ ) ⊗ | ψ )
| ) | )
| )
f o r a n y s t a t e ψ in t h e d o m a in o f t h e fi r s t s y s t e m . If I a s s u m e t o b e a b le t o c o p y a n y a r b it r a r y s t a t e , I c a n a s s u m e t h a t I c a n c o p y a t le a s t a n o t h e r s t a t e ϕ , w h ic h is n o t t h e s t a t e ψ a n d n o t o r t h o g o n a l t o it . F o r t h is s e c o n d s t a t e w e h a v e :
U | ϕ ) ⊗ | i ) = | ϕ ) ⊗ | ϕ )
E q u a t in g t h e in n e r p r o d u c t s o f t h e R H S a n d L H S o f t h e t w o e q u a t io n s a b o v e , w e o b t a in :
ϕ , i | U † U | ψ , i ) = ϕ , ϕ | ψ , ψ ) =
ϕ | ψ ) i | i ) = ϕ | ψ ) ϕ | ψ )
ϕ | ψ ) = ϕ | ψ ) 2
| ) | )
T h e la s t e q u a t io n is v e r ifi e d iif ϕ ψ = 1 o r ϕ ψ = 0 . In t h e fi r s t c a s e , t h e t w o s t a t e s a r e in e ff e c t t h e s a m e s t a t e ( u p t o a n o r m a liz a t io n f a c t o r o r a g lo b a l p h a s e , w h ic h a r e n o t im p o r t a n t ) . In t h e s e c o n d c a s e t h e t w o s t a t e s a r e o r t h o g o n a l, in c o n t r a d ic t io n w it h t h e h y p o t h e s is .
A u n it a r y o p e r a t o r c a n n o t c o p y a n a r b it r a r y s t a t e . If w e fi n d a n o p e r a t o r t h a t c a n c lo n e o n e s t a t e , it c a n o n ly c o p y t h a t s t a t e a n d s t a t e s w h ic h a r e o r t h o g o n a l t o it , b u t it c a n n o t c lo n e a ll t h e o t h e r s t a t e s . In a H ilb e r t s p a c e it is t h e r e f o r e p o s s ib le t o d e fi n e a n o p e r a t o r t h a t c lo n e s t h e b a s is s t a t e s , b u t n o t a n a r b it r a r y s u p e r p o s it io n o f t h e m .
E x a m p l e o f ” C l o n i n g ”
| ) | ) | )
| ) | ) | ) | ) | )
| ) | ) | ) | )
C o n s id e r t h e a c t io n o f t h e C N O T g a t e o n t h e s t a t e ψ 0 , w h e r e ψ is t h e s t a t e w e w o u ld lik e t o c lo n e a n d 0 is t h e b la n k b it w e w a n t t o c o p y o n . If ψ = 0 , t h e C N O T g iv e s u s t h e s t a t e 0 0 , if it is 1 w e o b t a in t h e s t a t e : 1 1 . S o it s e e m s t h a t it is p o s s ib le t o c o p y t h e s t a t e o f t h e fi r s t q u b it o n t h e s e c o n d q u b it . B u t n o t ic e t h a t f o r t h e m o m e n t w e h a v e o n ly v e r ifi e d t h a t w e c a n c o p y t w o o r t h o g o n a l s t a t e . If w e h a v e a m o r e g e n e r a l s t a t e : ψ = a 0 + b 1 , t h e a c t io n o f t h e C N O T w ill g iv e u s :
C N O T | ψ , 0 ) = C N O T ( a | 0 0 ) + b | 1 0 ) ) = a | 0 0 ) + b | 1 1 )
= / | ψ , ψ ) = ( a | 0 ) + b | 1 ) ) ( a | 0 ) + b | 1 ) ) .
N o t ic e t h a t a p p r o x im a t e c lo n in g is p o s s ib le 1 6 ( t h a t is , it is p o s s ib le t o o b t a in a n a p p r o x im a t e c o p y o f a n a r b it r a r y s t a t e u p t o a n e r r o r ǫ . T h e e r r o r is u s u a lly m e a s u r e d a s t h e d e v ia t io n f r o m u n it y o f t h e in n e r p r o d u c t o f t h e o r ig in a l a n d ” c lo n e d ” s t a t e : ǫ = 1 − |� ψ | ϕ ) | ) .
1 6 V a l e r i o S c a r a n i , S o f y a n I b l i s d i r , N i c o l a s G i s i n a n d A n t o n i o A c i n , Q u a n t u m c l o n i n g , R e v . M o d . P h y s . 7 7 , 1 2 2 5 - 1 2 5 6 ( 2 0 0 5 ) A b s t r a c t - T h e i mp o s s i b i l i t y o f p e r f e c t l y c o p y i n g ( o r c l o n i n g ) a n u n k n o w n q u a n t u m s t a t e i s o n e o f t h e b a s i c r u l e s g o v e r n i n g t h e p h y s i c s o f q u a n t u m s y s t e ms . T h e p r o c e s s e s t h a t p e r f o r m t h e o p t i ma l a p p r o x i m a t e c l o n i n g h a v e b e e n f o u n d i n ma n y c a s e s . T h e s e ” q u a n t u m c l o n i n g m a c h i n e s ” a r e i m p o r t a n t t o o l s f o r s t u d y i n g a w i d e v a r i e t y o f t a s k s , e . g . , s t a t e e s t i ma t i o n a n d e a v e s d r o p p i n g o n q u a n t u m c r y p t o g r a p h y . T h i s p a p e r p r o v i d e s a c o m p r e h e n s i v e re v i e w o f q u a n t u m c l o n i n g ma c h i n e s b o t h f o r d i s c r e t e - d i me n s i o n a l a n d f o r c o n t i n u o u s - v a r i a b l e q u a n t u m s y s t e ms . I n a d d i t i o n , i t p r e s e n t s t h e r o l e o f c l o n i n g i n q u a n t u m c r y p t o g r a p h y , t h e l i n k b e t w e e n o p t i ma l c l o n i n g a n d l i g h t a mp l i fi c a t i o n v i a s t i m u l a t e d e m i s s i o n , a n d t h e e x p e r i m e n t a l d e mo n s t r a t i o n s o f o p t i ma l q u a n t u m c l o n i n g .
6 . 5 E n t a n g l e m e n t a n d E P R p a r a d o x
It is n e a r ly 7 0 y e a r s a g o t h a t S c h r ¨ o d in g e r g a v e t h e n a m e V e r s c h r a e n k u n g t o a c o r r e la t io n o f q u a n t u m n a t u r e . T h is t e r m w a s t h e n r a t h e r lo o s e ly t r a n s la t e d t o e n t a n g l e m e n t . O v e r t h e d e c a d e s t h e m e a n in g o f t h e w o r d e n t a n g l e m e n t h a s c h a n g e d it s fl a v o r , g o in g f r o m a n e g a t iv e s t a t e m e n t b y E in s t e in a n d c o w o r k e r s “ A n e n t a n g l e d w a v e f u n c t i o n d o e s n o t d e s c r i b e t h e p h y s i c a l r e a l i t y i n a c o m p l e t e w a y ” , t o m o r e q u a n t it a t iv e d e fi n it io n s ( B e ll, “ A c o rr e l a t i o n t h a t i s s t r o n g e r t h a n a n y c l a s s i c a l c o r r e l a t i o n ” ) t o m o r e p r a c t ic a l o n e s ( C . B e n n e t t : “ A r e s o u r c e t h a t e n a b l e s q u a n t u m t e l e p o r t a t i o n ” , P . S h o r : “ t h a t a l l o w s f o r f a s t e r a l g o r i t h m s ” ) .
A s im p le d e fi n it io n o f e n t a n g le m e n t is p o s s ib le f o r p u r e , b ip a r t it e s y s t e m s ( i.e . c o m p o s e d o f t w o s u b s y s t e m s ) .
D : E n t a n g l e m e n t A p u r e s t a t e | ψ ) is c a lle d s e p a r a b le iff it c a n b e w r it t e n a s | ψ ) = | ϕ ) 1 ⊗ | ϕ ) 2 , o t h e r w is e it is e n t a n g le d . A n e x a m p le f o r a p u r e s e p a r a b le s t a t e is | 0 0 ) ; e x a m p le s f o r p u r e e n t a n g le d s t a t e s a r e t h e B e ll s t a t e s
Φ ± ) = ( | 0 0 ) ± | 1 1 ) ) / √ 2
)
Ψ ± = ( | 0 1 ) ± | 1 0 ) ) / √ 2
W e w ill s e e s o m e m e a s u r e o f e n t a n g le m e n t a n d a ls o s o m e d iffi c u lt ie s a r is in g f o r e x a m p le in d e fi n in g a n d m e a s u r in g e n t a n g le m e n t f o r m o r e c o m p le x s y s t e m s .
W h y is e n t a n g le m e n t a d iffi c u lt p r o p e r t y t o q u a n t if y a n d m o r e im p o r t a n t ly , t o g r a s p it s m e a n in g ?
W e w ill r e v ie w t h e s o - c a lle d E P R p a r a d o x w h ic h m a k e s it m a n if e s t s o m e o f t h e w e ir d n e s s o f Q M a s a s s o c ia t e d t o e n t a n g le m e n t .
In 1 9 3 5 E in s t e in p u b lis h e d a p a p e r w it h s o m e c o w o r k e r s t h a t a s k e d :
C a n Q u a n t u m - M e c h a n i c a l D e s c r i p t i o n o f P h y s i c a l R e a l i t y B e C o n s i d e r e d C o m p l e t e ? 1 7
W e w ill r e p h r a s e t h e ir r e s u lt in a s lig h t ly d iff e r e n t w a y ( d u e t o B o h m ) a n d f o llo w in g t h e p r e s e n t a t io n in B a lle n t in e ’s b o o k 1 8 .
6 . 5 . 1 B e l l I n e q u a l i t i e s
| ) | ) − | )
L e t u s s u p p o s e t h a t w e a r e c a p a b le o f m a k in g a s t a t e ψ = ( 0 1 1 0 ) / √ 2 o f t w o id e n t ic a l s p in - 1 / 2 p a r t ic le s , w it h t h e t w o p a r t ic le s t r a v e lin g w it h e q u a l m o m e n t a in o p p o s it e d ir e c t io n s . F o r e x a m p le , t h e y c o u ld o r ig in a t e in t h e d e c a y o f a n u n s t a b le p a r t ic le o f z e r o s p in a n d z e r o m o m e n t u m , in w h ic h c a s e m o m e n t u m c o n s e r v a t io n im p lie s t h a t t h e p a r t ic le s m o v e in o p p o s it e d ir e c t io n s a n d h a v e s p in w it h z e r o s u m .
T w o e x p e r im e n t a lis t s , c o n v e n t io n a lly n a m e d A lic e a n d B o b ( A ,B ) , m e a s u r e t h e s p in c o m p o n e n t o f e a c h p a r t ic le a lo n g a c e r t a in a x is w h e n t h e p a r t ic le s a r e v e r y f a r a p a r t c o m p a r e d w it h t h e r a n g e o f a n y f o r c e o f m u t u a l in t e r a c t io n a n d w h e n t h e y h a v e n o t in t e r a c t e d w it h e a c h o t h e r f o r a lo n g t im e .
A lic e m e a s u r e s t h e s p in c o m p o n e n t o n t h e a ˆ a x is f o r t h e p a r t ic le t r a v e lin g t o t h e le f t , p a r t ic le a , w h ile B o b m e a s u r e s t h e c o m p o n e n t a lo n g t h e ˆ b a x is o f t h e p a r t ic le t r a v e lin g t o t h e r ig h t , p a r t ic le b . L e t u s fi r s t s t u d y t h e c a s e w h e r e A lic e a n d B o b b o t h u s e t h e z - a x is , a ˆ = ˆ b = z ˆ . F o r t h e m o m e n t w e c a n j u s t t h in k o f t h e s p in s a s a p r o p e r t y o f t h e p a r t ic le s , a s it c o u ld b e e .g . t h e c o lo r o f a b a ll.
z
2
z
A lic e m e a s u r e s t h e z c o m p o n e n t o f t h e s p in o f p a r t ic le a , S a , w it h t h e r e s u lt ± 1 , a n d B o b m e a s u r e s S b . T h e y
—
o b t a in a s e r ie s o f r a n d o m r e s u lt s , w h e n t h e y r e p e a t t h e e x p e r im e n t . A f t e r t h e s e r ie s o f m e a s u r e m e n t s h a s b e e n c o m p le t e d , A lic e a n d B o b m e e t a n d c o m p a r e t h e ir r e s u lt s . T h e y c o n c lu d e t h a t t h e r e s u lt s f o r e a c h p a ir e x h ib it a p e r f e c t ( a n t i- ) c o r r e la t io n . W h e n A lic e h a s m e a s u r e d + 1 / 2 f o r p a r t ic le a , B o b h a s m e a s u r e d 1 / 2 f o r p a r t ic le b a n d v ic e v e r s a .
U p o n r e fl e c t io n , t h is r e s u lt is n o t v e r y s u r p r is in g . It c a n o c c u r a ls o f o r c la s s ic a l p a r t ic le s ( o r t r a v e le r s !) . T w o t r a v e le r s a a n d b , e a c h c a r r y in g a s u it c a s e , d e p a r t in o p p o s it e d ir e c t io n s f r o m t h e o r ig in a n d e v e n t u a lly a r e c h e c k e d b y t w o c u s t o m s in s p e c t o r s A lic e a n d B o b . O n e o f t h e s u it c a s e s c o n t a in s a r e d b a ll a n d t h e o t h e r a g r e e n b a ll, b u t t h e t r a v e le r s h a v e p ic k e d u p t h e ir c lo s e d s u it c a s e s a t r a n d o m a n d d o n o t k n o w w h a t c o lo r t h e b a ll in s id e is . If A lic e c h e c k s t h e s u it c a s e o f t r a v e le r A , s h e h a s a 5 0 % c h a n c e o f fi n d in g a g r e e n b a ll. B u t if in f a c t s h e fi n d s a g r e e n b a ll, c le a r ly B o b
1 7 A . E i n s t e i n , B . P o d o l s k y , a n d N . R o s e n , P h y s . R e v . 4 7 , 7 7 7 - 7 8 0 ( 1 9 3 5 )
1 8 L. E . B a l l e n t i n e , Q u a n t u m M e c h a n i c s A M o d e r n D e v e l o p m e n t , W o r l d S c i e n t i fi c P u b l i s h i n g ( 1 9 9 8 )
w ill fi n d a r e d b a ll w it h 1 0 0 % p r o b a b ilit y . C o r r e la t io n s b e t w e e n t h e t w o s u it c a s e s w e r e in t r o d u c e d a t t h e t im e o f d e p a r t u r e , a n d t h e s e c o r r e la t io n s r e a p p e a r a s a c o r r e la t io n b e t w e e n t h e r e s u lt s o f A lic e a n d B o b .
H o w e v e r , t h e s it u a t io n b e c o m e s w e ir d e r if A lic e a n d B o b d e c id e t o u s e t h e x a x is in s t e a d o f t h e z a x is f o r a n o t h e r s e r ie s o f m e a s u r e m e n t s . In t h e c la s s ic a l c a s e , t h is w o u ld c o r r e s p o n d t o t h e f a c t t h e b a ll h id d e n in t h e s u it c a s e s p o s s e s s a n o t h e r p r o p e r t y ( f o r e x a m p le t h e y a r e s h in y o r m a t t e ) . A g a in , o n e w o u ld o b t a in t h e s a m e r e s u lt o f p e r f e c t a n t i- c o r r e la t io n o f t h e r e s u lt s ( t r y e .g . e x p r e s s in g t h e B e ll s t a t e in t h e x b a s is ) .
In t h e u s u a l c la s s ic a l p ic t u r e o f t h e w o r ld , o n e w o u ld a s s u m e – a s s t a t e d b y E in s t e in – t h e h y p o t h e s is o f L o c a l i t y
a n d R e a l i s m ( b o t h o f t h e s e h y p o t h e s is s h o u ld b e t r u e a t t h e s a m e t im e ) . W h a t d o t h e s e h y p o t h e s e s e n t a il?
1 . R e a lis m : A t p r e p a r a t io n , p a r t ic le s a a n d b p o s s e s s b o t h t h e p r o p e r t ie s ( c o lo r a n d g lo s s f o r t h e c la s s ic a l b a lls a n d
σ x , σ z , w it h σ x , z = x ( z ) = ± 1 f o r t h e q u a n t u m p a r t ic le s ) .
2 . L o c a lit y : W h e n I m e a s u r e p a r t ic le a I c a n n o t m o d if y in s t a n t a n e o u s ly t h e r e s u lt o f m e a s u r in g p a r t ic le b , s in c e b
a lr e a d y h a d it s o w n p r o p e r t ie s a n d t h e r e is n o a c t io n a t d is t a n c e ( f a s t e r t h a n lig h t ) .
In t h e E P R p a p e r , t h e a u t h o r s a r g u e t h a t s in c e Q M d o e s n o t g iv e a d e s c r ip t io n c o h e r e n t w it h t h e s e h y p o t h e s e s , t h e r e m u s t b e a m o r e c o m p le t e t h e o r y a b le t o f u lly d e s c r ib e r e a lit y w h ile r e s p e c t in g t h e s e h y p o t h e s e s .
T h e s e a r c h f o r a t h e o r y o f h i d d e n v a ri a b l e s is s t ill o p e n , b u t it h a s b e e n s h o w n a lr e a d y t h a t lo c a l r e a lis m is in c o n fl ic t w it h e x p e r im e n t .
T h e B e ll in e q u a lit ie s w a n t t o s h o w t h a t t h e s e t w o h y p o t h e s e s c a n n o t b e t r u e t o g e t h e r f o r q u a n t u m m e c h a n ic s . T h e y d e s c r ib e a m o r e g e n e r a l e x p e r im e n t t o w h a t d o n e u n t il n o w .
r e s u lt s o f t h e m e a s u r e m e n t s a r e
σ A
= a a n d
σ B
= b a n d w e a r e in t e r e s t e d in t h e c o r r e la t io n a b ) . T h is is g iv e n
I - A s s u m e t h a t A m e a s u r e h e r ( p a r t ) ic le s a lo n g ( t h e ) a x is a a = a z w h ile B a lo n g t h e a x is a b s u c h t h a t a b · a z = c o s ϑ . T h e
z b
b y
z b
2
z b z b z b z b
( σ A σ B ) = 1 ( ⟨ 0 1 | σ A σ B | 0 1 ) + ⟨ 0 1 | σ A σ B | 1 0 ) + ⟨ 1 0 | σ A σ B | 0 1 ) + ⟨ 1 0 | σ A σ B | 1 0 )
2
z
b
z | 1 )
b
z
b
z | 0 ) b
= 1 ( ⟨ 0 | σ A | 0 ) ⟨ 1 | σ B | 1 ) + ✘ ⟨ 0 | ✘ σ A ✘ ✘ 1 | σ B | 0 ) + ⟨ 1 | σ A | 1 ) ⟨ 0 | σ B | 0 ) + ✘ ⟨ 1 | ✘ σ A ✘ ✘ 0 | σ B | 1 ) )
2
b
b
= 1 ( ⟨ 1 | σ B | 1 ) − ⟨ 0 | σ B | 0 ) ) = − c o s ϑ
w h e r e t h e la s t e q u a t io n c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t σ B = c o s ϑ σ B + s in ϑ σ B .
b z ⊥
I I - N o w w e c h o o s e t w o o t h e r d ir e c t io n s a a ′ a n d a b ′ e a c h r o t a t e d b y s o m e a n g le ϕ w it h r e s p e c t t o t h e o r ig in a l d ir e c t io n s .
⟨ ) ⟨ ) −
T h e n w h a t w e h a v e d o n e is a c o lle c t iv e r o t a t io n o f t h e c o o r d in a t e f r a m e , b u t w e h a v e s e e n a lr e a d y t h a t t h e B e ll s t a t e is u n c h a n g e d b y s u c h a r o t a t io n . T h u s b y r e p e a t in g t h e s a m e a n a ly s is w e w ill fi n d t h a t a ′ b ′ = a b = c o s ϑ .
I I I - C o n s id e r t h e n t h e f o llo w in g e x p e r im e n t :
A c a n m e a s u r e e it h e r a a o r a a ′
B c a n m e a s u r e e it h e r a b o r a b ′
a n d w e w a n t t o lo o k a t t h e c o r r e la t io n o f t h e o u t c o m e s ⟨ a b ) , ⟨ a ′ b ) , ⟨ a b ′ ) a n d ⟨ a ′ b ′ ) . T h e q u a n t it y w e a r e in t e r e s t e d in is a c t u a lly ⟨ S ) = ⟨ a b ) + ⟨ a ′ b ′ ) + ⟨ a b ′ ) − ⟨ a ′ b ) . T h e r e a r e t w o p o s s ib le s t r a t e g ie s :
a ) O n e c a n m e a s u r e e a c h c o r r e la t io n in s e p a r a t e e x p e r im e n t s ( i.e . w e m e a s u r e s e p a r a t e ly ⟨ a b ) e t c .) . W e t h e n e x p e c t t h e r e s u lt s ⟨ a b ) = − c o s ϑ ab , ⟨ a ′ b ) = − c o s ϑ a ′ b e t c . a n d
S ) = − ( c o s ϑ ab + c o s ϑ a ′ b ′ + c o s ϑ ab ′ − c o s ϑ a ′ b )
j
k
a b
k
a ′
b ′
k
a b ′
k
a ′
b
k
b ) O n e c a n lo o k a t t h e o u t c o m e o f t h e q u a n t it y S = ( σ A σ B ) + ( σ A σ B ) + ( σ A σ B ) − ( σ A σ B ) a t e a c h k t h e x p e r im e n t .
a z ′
N k
T h e n t h e e x p e c t a t io n v a lu e is S ) = lim N → ∞ 1 S k . N o t ic e t h a t t h is d e fi n it io n o f t h e q u a n t it y S k im p lie s t h a t e v e n in e x p e r im e n t s w e r e w e m e a s u r e e .g . a lo n g a a ( i.e . w e m e a s u r e σ A a n d n o t a a ′ , σ A s t ill h a s a w e ll- d e fi n e d v a lu e
( r e a lis m ) . W e c a n r e w r it e S k a s
S k = σ A ( σ B + σ B ) k − σ A ( σ B − σ B ) k
±
b b ′
± ± ±
b b ′ b b ′ b b ′
{ − } ± −
±
a
b
b ′
a ′
b
b ′
In e a c h m e a s u r e m e n t , t h e p o s s ib le r e s u lt s f o r σ B a r e 1 ( a n d t h e s a m e f o r σ B ) s o t h a t t h e p o s s ib le o u t c o m e s f o r σ B + σ B a r e 0 , + 2 , 2 a n d t h e s a m e f o r t h e d iff e r e n c e . W h e n e v e r σ B + σ B = 2 w e h a v e h o w e v e r t h a t σ B σ B = 0 a n d v ic e - v e r s a . T h u s t h e p o s s ib le o u t c o m e s f o r S k a r e 2 σ a o r 2 σ a ′ o r fi n a lly S k = 2 ( s in c e o u t c o m e s f o r σ a a r e 1 a n d w e a s s u m e t h a t t h e a c t o f m e a s u r in g B d o e s n o t c h a n g e t h e o u t c o m e o f A ) . T h e n , t h e e x p e c t a t io n v a lu e f o r
a n y p o s s ib le c h o ic e o f t h e a x is d ir e c t io n is b o u n d e d b y
− 2 < ⟨ S ) < + 2
If w e n o w g o b a c k t o t h e fi r s t s t r a t e g y a ) a n d c h o o s e a s t h e m e a s u r e m e n t a x e s
w e fi n d :
a a = a z , a a ′ = a x ,
√
a b = a z − a x ,
′ ′
a b ′ = a z + a x
√
w h ic h y ie ld s
⟨ a b ) = − c o s ϑ ab = − 1 / 2
⟨ a b ′ ) = − c o s ϑ ab ′ = − 1 / √ 2
⟨ a b ) = − c o s ϑ ab = − 1 / 2
⟨ a ′ b ) = − c o s ϑ ab = 1 / √ 2
′ ′ ′ ′ 4 √
⟨ S ) = ⟨ a b ) + ⟨ a b ) + ⟨ a b ) − ⟨ a b ) = − √ 2 = − 2 2 < − 2
— ⟨ )
T h u s t h e t w o h y p o t h e s is t h a t w e a s s u m e d in b ) t o a r r iv e a t t h e c o n c lu s io n 2 < S < + 2 m u s t b e w r o n g ( o r a t le a s t o n e o f t h e m : w h ic h o n e ? )
R e f e r e nc e s
•
A . E in s t e in , B . P o d o ls k y , a n d N . R o s e n , C a n Q u a n t u m - M e c h a n i c a l D e s c r i p t i o n o f P h y s i c a l R e a l i t y B e C o n s i d e r e d C o m p l e t e ? P h y s . R e v . 4 7 , 7 7 7 - 7 8 0 ( 1 9 3 5 )
A b s t r a c t – In a c o m p le t e t h e o r y t h e r e is a n e le m e n t c o r r e s p o n d in g t o e a c h e le m e n t o f r e a lit y . A s u ffi c ie n t c o n d it io n f o r t h e r e a lit y o f a p h y s ic a l q u a n t it y is t h e p o s s ib ilit y o f p r e d ic t in g it w it h c e r t a in t y , w it h o u t d is t u r b in g t h e s y s t e m . In q u a n t u m m e c h a n ic s in t h e c a s e o f t w o p h y s ic a l q u a n t it ie s d e s c r ib e d b y n o n - c o m m u t in g o p e r a t o r s , t h e k n o w le d g e o f o n e p r e c lu d e s t h e k n o w le d g e o f t h e o t h e r . T h e n e it h e r ( 1 ) t h e d e s c r ip t io n o f r e a lit y g iv e n b y t h e w a v e f u n c t io n in q u a n t u m m e c h a n ic s is n o t c o m p le t e o r ( 2 ) t h e s e t w o q u a n t it ie s c a n n o t h a v e s im u lt a n e o u s r e a lit y . C o n s id e r a t io n o f t h e p r o b le m o f m a k in g p r e d ic t io n s c o n c e r n in g a s y s t e m o n t h e b a s is o f m e a s u r e m e n t s m a d e o n a n o t h e r s y s t e m t h a t h a d p r e v io u s ly in t e r a c t e d w it h it le a d s t o t h e r e s u lt t h a t if ( 1 ) is f a ls e t h e n ( 2 ) is a ls o f a ls e . O n e is t h u s le d t o c o n c lu d e t h a t t h e d e s c r ip t io n o f r e a lit y a s g iv e n b y a w a v e f u n c t io n is n o t c o m p le t e .
• J . S . B e ll, O n t h e E i n s t e i n P o d o l s k y R o s e n P a r a d o x , P h y s ic s 1 , 1 9 5 - 2 0 0 ( 1 9 6 4 )
•
N .D . M e r m in B r i n g i n g h o m e t h e a t o m i c w o rl d : Q u a n t u m m y s t e r i e s f o r a n y b o d y A m e r ic a n J o u r n a l o f P h y s ic s , 4 9
( 1 0 ) , 9 4 0 - 9 4 3 ( 1 9 8 1 )
A b s t r a c t – A s im p le d e v ic e is d e s c r ib e d , b a s e d o n a v e r s io n o f B e ll’s in e q u a lit y , w h o s e o p e r a t io n d ir e c t ly d e m o n s t r a t e s s o m e o f t h e m o s t p e c u lia r b e h a v io r t o b e f o u n d in t h e a t o m ic w o r ld . T o u n d e r s t a n d t h e d e s ig n o f t h e d e v ic e o n e h a s t o k n o w s o m e p h y s ic s , b u t t h e e x t r a o r d in a r y im p lic a t io n s o f it s b e h a v io r s h o u ld b e e v id e n t t o a n y o n e . E x c e p t f o r a p r e f a c e a n d a p p e n d ix f o r p h y s ic is t s , t h e p a p e r is a d d r e s s e d t o t h e g e n e r a l r e a d e r .
•
A la in A s p e c t , P h ilip p e G r a n g ie r , a n d G e r a r d R o g e r , E x p e r i m e n t a l T e s t s o f R e a l i s t i c L o c a l T h e o r i e s v i a B e l l ’ s T h e o r e m , P h y s . R e v . L e t t . 4 7 , 4 6 0 - 4 6 3 ( 1 9 8 1 )
A b s t r a c t – W e h a v e m e a s u r e d t h e lin e a r p o la r iz a t io n c o r r e la t io n o f t h e p h o t o n s e m it t e d in a r a d ia t iv e a t o m ic c a s c a d e o f c a lc iu m . A h ig h - e ffi c ie n c y s o u r c e p r o v id e d a n im p r o v e d s t a t is t ic a l a c c u r a c y a n d a n a b ilit y t o p e r f o r m n e w t e s t s . O u r r e s u lt s , in e x c e lle n t a g r e e m e n t w it h t h e q u a n t u m m e c h a n ic a l p r e d ic t io n s , s t r o n g ly v io la t e t h e g e n e r a liz e d B e ll’s in e q u a lit ie s , a n d r u le o u t t h e w h o le c la s s o f r e a lis t ic lo c a l t h e o r ie s . N o s ig n ifi c a n t c h a n g e in r e s u lt s w a s o b s e r v e d w it h s o u r c e - p o la r iz e r s e p a r a t io n s o f u p t o 6 .5 m .
•
A la in A s p e c t , P h ilip p e G r a n g ie r , a n d G e r a r d R o g e r , E x p e r i m e n t a l R e a l i z a t i o n o f E i n s t e i n - P o d o l s k y - R o s e n - B o h m G e d a n k e n e x p e r i m e n t : A N e w V i o l a t i o n o f B e l l ’ s In e q u a l i t i e s , P h y s . R e v . L e t t . 4 9 , 9 1 - 9 4 ( 1 9 8 2 )
A b s t r a c t – T h e lin e a r - p o la r iz a t io n c o r r e la t io n o f p a ir s o f p h o t o n s e m it t e d in a r a d ia t iv e c a s c a d e o f c a lc iu m h a s b e e n m e a s u r e d . T h e n e w e x p e r im e n t a l s c h e m e , u s in g t w o - c h a n n e l p o la r iz e r s ( i.e ., o p t ic a l a n a lo g s o f S t e r n - G e r la c h fi lt e r s ) , is a s t r a ig h t f o r w a r d t r a n s p o s it io n o f E in s t e in - P o d o ls k y - R o s e n - B o h m g e d a n k e n e x p e r im e n t . T h e p r e s e n t r e s u lt s , in e x c e lle n t a g r e e m e n t w it h t h e q u a n t u m m e c h a n ic a l p r e d ic t io n s , le a d t o t h e g r e a t e s t v io la t io n o f g e n e r a liz e d B e ll’s in e q u a lit ie s e v e r a c h ie v e d .
6 . 6 T e l e p o r t a t i o n ( B e n n e t , P e r e s , B r a s sa r d )
| ) | ) | )
| ) | ) | )
T w o p a r t ie s - A lic e a n d B o b - w a n t t o t r a n s f e r a n u n k n o w q u a n t u m s t a t e . T h e y s h a r e a r e s o u r c e p r io r t o t h e t r a n s f e r , a p a ir o f q u b it in o n e o f t h e B e ll S t a t e s , le t s a y Φ + = ( 0 0 + 1 1 ) / 2 . A lic e p o s s e s s e s a ls o a n o t h e r q u b it in a n u n k n o w p u r e s t a t e ψ = a 0 + b 1 , t h a t s h e w is h e s t o s e n d t o B o b . T h e c ir c u it b e lo w s h o w s t h e s t e p s in t h e t e le p o r t a t io n a lg o r it h m , s t a r t in g w it h t h e g a t e s t h a t c r e a t e t h e B e ll S t a t e o n t h e a n c illa q u b it s .
•
H
•
H
• ×
•
×
X
Z
| ψ ) C
| 0 ) A
| 0 ) B | ψ ) B
F i g . 1 0 : C i r c u i t f o r t e l e p o r t a t i o n : t h e q u b i t | ψ � C ( i n i t i a l l y i n A l i c e ’ s h a n d s ) i s t e l e p o r t e d t o B o b ( | ψ � B ) b y u s i n g t w o q u b i t s i n
A B
a B e l l p a i r | Φ � + .
|
if | 0 0 ) |
→ |
d o n o t h in g |
|
if | 0 1 ) |
→ |
σ x |
|
if | 1 0 ) |
→ |
σ z |
|
if | 1 1 ) |
→ |
σ x σ z |
A lic e t h e n t r a n s f o r m s h e r u n k n o w n q u b it a n d h e r p a r t o f t h e s h a r e d p a ir t o t h e B e ll S t a t e b a s is b y a c n o t a n d a h a d a m a r d g a t e . S h e t h e n m e a s u r e s t h e m in t h is n e w b a s is a n d v ia a c la s s ic a l c o m m u n ic a t io n c h a n n e l, t e lls t h e r e s u lt o f t h e m e a s u r e m e n t t o B o b . B o b p e r f o r m s t h e n a n o p e r a t io n o n h is q u b it ( t h e s e c o n d h a lf o f t h e e n t a n g le d p a ir ) b a s e d o n w h a t e v e r t h e m e a s u r e m e n t r e s u lt w a s :
T h is o p e r a t io n le a v e s B o b ’s q u b it in t h e s a m e s t a t e o f t h e o n e in it ia lly o w n e d b y A lic e . N o t ic e t h a t n o s u p e r lu m in a l s p e e d o f in f o r m a t io n t r a n s m is s io n is p r o v e n b y q u a n t u m t e le p o r t a t io n , s in c e c la s s ic a l c o m m u n ic a t io n is n e e d e d . A ls o , n o c lo n in g o f a n u n k n o w n , a r b it r a r y s t a t e is h a p p e n in g ( w h ic h is f o r b id d e n b y q u a n t u m m e c h a n ic s ) , s in c e t h e o r ig in a l s t a t e is d e s t r o y e d in t h e p r o c e s s .
T h e s t a t e o f t h e 3 q u b it s a t e a c h s t e p is a s f o llo w s :
1 . | ψ 0 0 ) − H → A ( | ψ 0 0 ) + | ψ 1 0 ) ) / √ 2 ( w it h | ψ ) = a | 0 ) + b | 1 ) )
2 . C A − N → O T B ( | ψ 0 0 ) + | ψ 1 1 ) ) / √ 2 = | ψ ) | Φ ) +
3 . C B − N → O T A ( a | 0 0 0 ) + b | 1 1 0 ) + a | 0 1 1 ) + b | 1 0 1 ) ) / √ 2
4 . − H → C [ | 0 0 ) ( a | 0 ) + b | 1 ) ) + | 0 1 ) ( a | 1 ) + b | 0 ) ) + | 1 0 ) ( a | 0 ) − b | 1 ) ) + | 1 1 ) ( a | 1 ) − b | 0 ) ) ] / 2
B
5 . M e − a s → . + U C | ψ )
= a | 0 ) + b | 1 )
R e f e r e nc e s
•
A . F e d r iz z i, R . U r s in , T . H e r b s t , M . N e s p o li, R . P r e v e d e l, T . S c h e id l, F . T ie f e n b a c h e r , T . J e n n e w e in & A . Z e ilin g e r , H i g h - fi d e l i t y t r a n s m i s s i o n o f e n t a n g l e m e n t o v e r a h i g h - l o s s f r e e - s p a c e c h a n n e l , N a t u r e P h y s ic s 5 , 3 8 9 - 3 9 2 ( 2 0 0 9 ) A b s t r a c t – Q u a n t u m e n t a n g le m e n t e n a b le s t a s k s n o t p o s s ib le in c la s s ic a l p h y s ic s . M a n y q u a n t u m c o m m u n ic a t io n p r o t o c o ls 1 r e q u ir e t h e d is t r ib u t io n o f e n t a n g le d s t a t e s b e t w e e n d is t a n t p a r t ie s . H e r e , w e e x p e r im e n t a lly d e m o n s t r a t e t h e s u c c e s s f u l t r a n s m is s io n o f a n e n t a n g le d p h o t o n p a ir o v e r a 1 4 4 k m f r e e - s p a c e lin k . T h e r e c e iv e d e n t a n g le d s t a t e s h a v e e x c e lle n t , n o is e - lim it e d fi d e lit y , e v e n t h o u g h t h e y a r e e x p o s e d t o e x t r e m e a t t e n u a t io n d o m in a t e d b y t u r b u le n t a t m o s p h e r ic e ff e c t s . T h e t o t a l c h a n n e l lo s s o f 6 4 d B c o r r e s p o n d s t o t h e e s t im a t e d a t t e n u a t io n r e g im e f o r a t w o - p h o t o n s a t e llit e c o m m u n ic a t io n s c e n a r io . W e c o n fi r m t h a t t h e r e c e iv e d t w o - p h o t o n s t a t e s a r e s t ill h ig h ly e n t a n g le d
b y v io la t in g t h e C la u s e r - H o r n e - S h im o n y - H o lt in e q u a lit y b y m o r e t h a n fi v e s t a n d a r d d e v ia t io n s . F r o m a f u n d a m e n t a l p o in t o f v ie w , o u r r e s u lt s s h o w t h a t t h e p h o t o n s a r e s u b j e c t t o v ir t u a lly n o d e c o h e r e n c e d u r in g t h e ir 0 .5 - m s - lo n g fl ig h t t h r o u g h a ir , w h ic h is e n c o u r a g in g f o r f u t u r e w o r ld w id e q u a n t u m c o m m u n ic a t io n s c e n a r io s .
B u ild in g o n w o r k d o n e in :
•
R . U r s in , e t a l ( & A . Z e ilin g e r ) , E n t a n g l e m e n t - b a s e d q u a n t u m c o m m u n i c a t i o n o v e r 1 4 4 k m , N a t u r e P h y s ic s 3 , 4 8 1
- 4 8 6 ( 2 0 0 7 )
A b s t r a c t – Q u a n t u m e n t a n g le m e n t is t h e m a in r e s o u r c e t o e n d o w t h e fi e ld o f q u a n t u m in f o r m a t io n p r o c e s s in g w it h p o w e r s t h a t e x c e e d t h o s e o f c la s s ic a l c o m m u n ic a t io n a n d c o m p u t a t io n . In v ie w o f a p p lic a t io n s s u c h a s q u a n t u m c r y p t o g r a p h y o r q u a n t u m t e le p o r t a t io n , e x t e n s io n o f q u a n t u m - e n t a n g le m e n t - b a s e d p r o t o c o ls t o g lo b a l d is t a n c e s is o f c o n s id e r a b le p r a c t ic a l in t e r e s t . H e r e w e e x p e r im e n t a lly d e m o n s t r a t e e n t a n g le m e n t - b a s e d q u a n t u m k e y d is t r ib u t io n o v e r 1 4 4 k m . O n e p h o t o n is m e a s u r e d lo c a lly a t t h e C a n a r y Is la n d o f L a P a lm a , w h e r e a s t h e o t h e r is s e n t o v e r a n o p t ic a l f r e e - s p a c e lin k t o T e n e r if e , w h e r e t h e O p t ic a l G r o u n d S t a t io n o f t h e E u r o p e a n S p a c e A g e n c y a c t s a s t h e r e c e iv e r . T h is e x c e e d s p r e v io u s f r e e - s p a c e e x p e r im e n t s b y m o r e t h a n a n o r d e r o f m a g n it u d e in d is t a n c e , a n d is a n e s s e n t ia l s t e p t o w a r d s f u t u r e s a t e llit e - b a s e d q u a n t u m c o m m u n ic a t io n a n d e x p e r im e n t a l t e s t s o n q u a n t u m p h y s ic s in s p a c e .
•
T . S c h m it t - M a n d e r b a c h , e t a l E x p e r i m e n t a l D e m o n s t r a t i o n o f F r e e - S p a c e D e c o y - S t a t e Q u a n t u m K e y D i s t r i b u t i o n o v e r 1 4 4 k m P h y s . R e v . L e t t . 9 8 , 0 1 0 5 0 4 ( 2 0 0 7 )
6 . 7 D e u t s c h - J o z sa a l g o r i t h m
T o illu s t r a t e t h e p o w e r o f q u a n t u m c o m p u t a t io n , w e p r e s e n t o n e o f t h e s im p le s t q u a n t u m a lg o r it h m , t h e D e u t s c h - J o s z a a lg o r it h m . T h e a lg o r it h m ’s g o a l is t o d e c id e w h e t h e r a g iv e n f u n c t io n f ( x ) is c o n s t a n t f o r a ll v a lu e s o f x o r b a l a n c e d , t h a t is , e q u a l t o 1 f o r h a lf o f t h e v a lu e s o f x a n d t o 0 f o r t h e o t h e r h a lf . T h e g o a l is t o m a k e t h is d e c is io n w it h t h e m in im u m p o s s ib le n u m b e r o f e v a lu a t io n s o f t h e f u n c t io n v a lu e o n t r ia l x a n d w it h a g iv e n p r o b a b ilit y o f a r r iv in g a t t h e c o r r e c t a n s w e r .
2
| ) | ) | ⊕ ) ⊕
n
If t h e f u n c t io n f is d e fi n e d o n a s p a c e o f d im e n s io n 2 n ( i.e . x c a n b e s t o r e d in a n - b it s t r in g ) , t h e c la s s ic a l a lg o r it h m c a n d e c id e t h e f u n c t io n w it h a t le a s t 2 + 1 q u e r ie s , w h ile t h e q u a n t u m o n e o n ly n e e d s o n e q u e r y . T h e s t e p s o f t h e a lg o r it h m a r e illu s t r a t e d in t h e f o llo w in g p ic t u r e , w h e r e H is t h e H a d a m a r d g a t e a n d U f is a u n it a r y g a t e w h ic h t r a n s f o r m t h e s t a t e x , y t o U f x , y = x , y f ( x ) ( in d ic a t e s t h e a d d it io n m o d u lo 2 ) .
In t h e c a s e w h e r e f is a f u n c t io n f r o m 1 b it t o 1 b it , t h e r e a r e o n ly 4 p o s s ib le f , t w o c o n s t a n t a n d t w o b a la n c e d
n
H
H
U f
y f (x) ➀ y
x
x
H
|0 〉
|1 〉
F i g . 1 1 : C i r c u i t i m p l e m e n t i n g t h e D e u t s c h - J o s z a a l g o r i t h m.
⊕
( f 1 ( x ) = 1 , f 2 ( x ) = 0 , f 3 ( x ) = x , f 4 ( x ) = x ¯ = N O T x ) . S in c e U f g iv e s t h e s u m y x , t h e s e f u n c t io n s c o r r e s p o n d t o t h e f o llo w in g U i :
f 1 → U 1 = 1 x ⊗ U N o t , y
f 2 → U 2 = 1 x ⊗ 1 y ( 2 )
f 3 → U 3 = U C N o t
f 4 → U 4 = U C N o t U N o t , y
D e u t s c h ’s a lg o r it h m is a p e r f e c t illu s t r a t io n o f a ll t h a t is m ir a c u lo u s , s u b t le , a n d d is a p p o in t in g a b o u t q u a n t u m c o m p u t e r s . It c a lc u la t e s a s o lu t io n t o a p r o b le m f a s t e r t h a n a n y c la s s ic a l c o m p u t e r e v e r c a n . It illu s t r a t e s t h e s u b t le in t e r a c t io n o f s u p e r p o s it io n , p h a s e - k ic k b a c k , a n d in t e r f e r e n c e . F in a lly , u n f o r t u n a t e ly , is s o lv e s a c o m p le t e ly p o in t le s s p r o b le m .
W e b e g in b y illu s t r a t in g h o w s u p e r p o s it io n o f q u a n t u m s t a t e c r e a t e s q u a n t u m p a r a l l e l i s m o r t h e a b ilit y t o c o m p u t e o n m a n y s t a t e s s im u lt a n e o u s ly .
| ⊕ ) ⊕
{ } → { } | )
G iv e n a f u n c t io n f ( x ) : 0 , 1 0 , 1 u s in g a q u a n t u m c o m p u t e r , u s e t w o q u b it s x , y a n d t r a n s f o r m t h e m in t o x , y f ( x ) ( w h e r e r e p r e s e n t s a d d it io n m o d u la r t w o ) . W e u s e t w o q u b it s s in c e w e w is h t o le a v e t h e in p u t x o r t h e q u e r y r e g is t e r , “ u n - c h a n g e d ” . T h e s e c o n d q u b it , y , a c t s a s a r e s u lt r e g is t e r . L e t U f b e t h e u n it a r y t r a n s f o r m t h a t im p le m e n t s t h is .
S u p p o s e w e w is h t o c a lc u la t e f ( 0 ) , t h e n w e c o u ld in p u t x a s | 0 ) , a n d y , o u r o u t p u t r e g is t e r , a s | 0 ) a n d a p p ly t h e U f
t r a n s f o r m , t o o b t a in | 0 ) ⊗ | 0 ) = | 0 , 0 ) → | 0 , 0 ⊕ f ( 0 ) ) . If in s t e a d w e w a n t t o c a lc u la t e f ( 1 ) , t h e n w e c o u ld in p u t x a s
| 1 ) , y ie ld in g t h e t r a n s f o r m a t io n : | 1 ) ⊗ | 0 ) = | 1 , 0 ) → | 1 , 0 ⊕ f ( 1 ) ) . In a q u a n t u m c o m p u t e r w e √ c a n a c t u a lly q u e r y t h e
r e s u lt s o f 0 a n d 1 s im u lt a n e o u s ly u s in g q u a n t u m p a r a lle lis m . F o r t h is , le t x e q u a l ( | 0 ) + | 1 ) ) / 2 a n d y e q u a l 0 . F r o m
|
√ 2
√ 2
t h e in p u t ψ 1 ) = | 0 , 0 ) + | 1 , 0 ) w e o b t a in t h e o u t p u t | ψ 2 ) = | 0 , f ( 0 ) ) + | 1 , f ( 1 ) ) . U f is a p p lie d t o | 0 ) a n d | 1 ) s im u lt a n e o u s ly .
| )
| )
T h is is k n o w n a s q u a n t u m p a r a lle lis m b u t t h e r e is s t ill a p r o b le m s in c e m e a s u r e m e n t p r o d u c e s e it h e r 0 , f ( 0 ) o r 1 , f ( 1 ) . H e n c e w e n e e d t o b e c le v e r a b o u t w h a t t y p e o f q u e s t io n w e a s k , a n d h o w w e g o a b o u t e x t r a c t in g t h e a n s w e r . F o r t h is w e u s e t h e c ir c u it in t h e fi g u r e , w h ic h e x p lo it s a n o t h e r q u a n t u m m e c h a n ic a l p r o p e r t y : i n t e r f e r e n c e .
T h e in it ia l s t a t e is | ψ 0 ) = | 0 , 1 ) . W e t h e n a p p ly t h e H g a t e t o t h e q u e r y a n d r e s u lt r e g is t e r s t o o b t a in : | ψ 1 ) =
2
2
√ 1 ( | 0 ) + | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) )
N o w , le t ’s e x a m in e y ⊕ f ( x ) : 1 1
S u p p o s e f ( x ) = 0 . T h e n y ⊕ f ( x ) = y ⊕ 0 = √ 2 ( | 0 ⊕ 0 ) − | 1 ⊕ 0 ) ) = √ 2 ( | 0 ) − | 1 ) )
2
2
S u p p o s e f ( x ) = 1 . T h e n y ⊕ f ( x ) = y ⊕ 1 = √ 1 ( | 0 ⊕ 1 ) − | 1 ⊕ 1 ) ) = √ 1 ( − | 0 ) + | 1 ) )
2
W e c a n c o m p a c t ly d e s c r ib e t h is b e h a v io r a s y ⊕ f ( x ) = ( − 1 ) f ( x ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) ) .
2
2
T h u s , U f t r a n s f o r m s | x ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) ) in t o : ( − 1 ) f ( x ) | x ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) )
O r w e c a n s a y t h a t :
2
2
2
U f [ √ 1
( | 0 ) + | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) ) ] = 1 [ ( − 1 ) f ( 0 ) | 0 ) ( | 0 ) − | 1 ) ) + ( − 1 ) f ( 1 ) | 1 ) ( | 0 ) − | 1 ) ) ]
S u p p o s e f is c o n s t a n t , t h a t is f ( 0 ) = f ( 1 ) , t h e n :
2
U f [ √ 1
( | 0 ) + | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) ) ] = ± √ 1 ( | 0 ) + | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) )
2 2
2
√ 1
( | 0 ) + | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) ) = = ± √ 1
( | 0 ) − | 1 ) ) √ 1 ( | 0 ) − | 1 ) )
S u p [ p o s e in s t e a d t h a t f is b a la n ] c e d , t h a t is f ( 0 ) = / f ( 1 ) , t h e n :
U f
2 2
2
2
N o w a p p ly t h e H a d a m a r d g a t e t o t h e fi r s t q u b it . J u s t b e f o r e t h e m e a s u r e m e n t t h e s y s t e m is in t h e s t a t e
| ψ f ) =
2
± √ 1 | 1 ) ( | 0 ) − | 1 ) ) if f ( 0 ) / = f ( 1 )
± √ 1 | 0 ) ( | 0 ) − | 1 ) ) if f ( 0 ) = f ( 1 )
2
√ 2
S in c e in o u r c a s e f ( 0 ) ⊕ f ( 1 ) = 0 ⇔ f ( 0 ) = f ( 1 ) w e c a n w r it e t h is a s | ψ f ) = ± | f ( 0 ) ⊕ f ( 1 ) ) [ | 0 ) + | 1 ) ] H e n c e it is
⊕
p o s s ib le t o m e a s u r e t h e fi r s t q u b it t o fi n d f ( 0 ) f ( 1 ) .
{
T h e D e u t s c h - J o z s a a lg o r it h m is a g e n e r a liz a t io n o f D e u t s c h ’s a lg o r it h m t o a f u n c t io n f ( x ) : 2 n e it h e r c o n s t a n t o r b a la n c e d . T h e a lg o r it h m j u s t g e n e r a liz e t o a la r g e r n u m b e r o f q u b it s .
} → { 0 , 1 } t h a t f is
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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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