5 . T i m e e v o l u ti o n
5 . 1 T h e S c h r o ¨ d i n g e r an d H e i s e n b e r g p i c t u r e s
5 . 2 I n t e r ac t i o n P i c t u r e
5 . 2 . 1 D y s o n T i m e - o r d e r i n g o p e r a t o r
5 . 2 . 2 S o m e u s e f u l a p p r o x i m a t e f o r m u l a s
5 . 3 S p i n - 1 p r e c e s s i o n
5 . 4 Ex am p l e s : R e s o n an c e o f a T w o - L e v e l S y s t e m
5 . 4 . 1 D r e s s e d s t a t e s a n d A C S t a r k s h i f t
5 . 5 T h e w a v e - fu n c t i o n
5 . 5 . 1 P o s i t i o n r e p r e s e n t a t i o n
5 . 5 . 2 M o m e n t u m r e p r e s e n t a t i o n
5 . 5 . 3 S c h r ¨ o d i n g e r e q u a t i o n f o r t h e w a v e f u n c t i o n
5 . 6 F e y n m an ’ s p at h - i n t e g r al
| ) | )
In a p r e v io u s le c t u r e w e c h a r a c t e r iz e d t h e t im e e v o lu t io n o f c lo s e d q u a n t u m s y s t e m s a s u n i t a r y , ψ ( t ) = U ( t, 0 ) ψ ( 0 ) a n d t h e s t a t e e v o lu t io n a s g iv e n b y S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n :
d t
i i d | ψ ) = H | ψ )
E q u iv a le n t ly , w e c a n fi n d a d iff e r e n t ia l e q u a t io n f o r t h e d y n a m ic s o f t h e p r o p a g a t o r :
H
i i ∂ U = U
∂ t
T h is e q u a t io n is v a lid a ls o w h e n t h e H a m ilt o n ia n is t im e - d e p e n d e n t .
L L
—
A s t h e H a m ilt o n ia n r e p r e s e n t s t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m , it s s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n is d e fi n e d in t e r m s o f t h e e n e r g y e ig e n v a lu e s ǫ k , w it h c o r r e s p o n d in g e ig e n v e c t o r s | k ) : H = k ǫ k | k ) ( k | . T h e e v o lu t io n o p e r a t o r is t h e n : U = k e − i ǫ k t | k ) ( k | . T h e e ig e n v a lu e s o f U a r e t h e r e f o r e s im p ly e − i ǫ k t , a n d it is c o m m o n t o t a lk in t e r m s o f e ig e n p h a s e s ϕ k ( t ) = ǫ k t . If t h e H a m ilt o n ia n is t im e - in d e p e n d e n t w e h a v e a ls o U † = U ( t ) , it is p o s s ib le t o o b t a in a n
e ff e c t iv e in v e r s io n o f t h e t im e a r r o w .
? Q u e s t i o n : W h a t i s t h e e v o l u t i o n o f a n e n e r g y e i g e n v e c t o r | k ) ?
F i r s t c o n s i d e r t h e i n fi n i t e s i m a l e v o l u t i o n : | k ( t + d t ) ) = U ( t + d t , t ) | k ( t ) ) = ( 1 1 − i H d t ) | k ( t ) ) = ( 1 − i ǫ k d t ) | k ( t ) ) . T h u s w e h a v e
t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e e n e r g y e i g e n k e t : d | k ) = − i ǫ k | k ) , s o t h a t | k ( t ) ) = e − i ǫ k t | k ( 0 ) ) .
dt
W e c a n a l s o u s e t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n o f U : | k ( t ) ) = U ( t , 0 ) | k ( 0 ) ) = (
L h e
− i ǫ h t
| h ) ( h | ) | k ( 0 ) ) = e
− i ǫ k t
| k ( 0 ) ) .
N o t ic e t h a t if a s y s t e m is in a s t a t e g iv e n b y a n e ig e n v e c t o r o f t h e H a m ilt o n ia n , t h e n t h e s y s t e m d o e s n o t e v o lv e . T h is is b e c a u s e t h e s t a t e w ill o n ly a c q u ir e a g lo b a l p h a s e t h a t , a s s e e n , d o e s n o t c h a n g e it s p r o p e r t ie s . O f c o u r s e , s u p e r p o s it io n o f e n e r g y e ig e n k e t s d o e v o lv e .
5 . 1 Th e S c h r o ¨ d i n g e r a n d H e i s e n b e r g p i c t u r e s
U n t il n o w w e d e s c r ib e d t h e d y n a m ic s o f q u a n t u m m e c h a n ic s b y lo o k in g a t t h e t im e e v o lu t io n o f t h e s t a t e v e c t o r s . T h is a p p r o a c h t o q u a n t u m d y n a m ic s is c a lle d t h e S c h r ¨ o d in g e r p ic t u r e . W e c a n e a s ily s e e t h a t t h e e v o lu t io n o f t h e
s t a t e v e c t o r le a d s t o a n e v o lu t io n f o r t h e e x p e c t a t io n v a lu e s o f t h e o b s e r v a b le s ( w h ic h a r e t h e r e le v a n t p h y s ic a l q u a n t it ie s w e a r e in t e r e s t e d in a n d h a v e a c c e s s t o ) .
| ) → | ) | )
F r o m t h e e v o lu t io n la w f o r a s t a t e , ψ ψ ′ = U ψ , w e o b t a in t h e f o llo w in g r e la t io n , w h e n e x p r e s s in g t h e s t a t e in t h e H a m ilt o n ia n e ig e n b a s is :
| ψ ) = Σ c k | ǫ k ) → | ψ ′ ) = e − i H t | ψ ) = Σ c k e − i ǫ k t | ǫ k )
k k
T h e n t h e e x p e c t a t io n v a lu e o f a n o b s e r v a b le A e v o lv e s a s :
Σ Σ
� A ) = c ∗ k c j � ǫ k | A | ǫ j ) → c ∗ k c j � ǫ k | A | ǫ j ) e − i ( ǫ j − ǫ k ) t k , j k , j
Q u it e g e n e r a lly , w e c a n a ls o w r it e � A ( t ) ) = � ψ ( t ) | A | ψ ( t ) ) = � ( U ψ ) | A | U ψ ) . B y t h e a s s o c ia t iv e p r o p e r t y w e t h e n
� ) � | | )
w r it e A ( t ) = ψ ( U † A U ) ψ .
It w o u ld t h a n s e e m n a t u r a l t o d e fi n e a n ” e v o lv e d ” o b s e r v a b le A ( t ) = U † A U , f r o m w h ic h w e c a n o b t a in e x p e c t a t io n
| )
v a lu e s c o n s id e r in g s t a t e s t h a t a r e fi x e d in t im e , ψ . T h is is a n a p p r o a c h k n o w n a s H e i s e n b e r g pi c t ur e . O b s e r v a b le s in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e a r e d e fi n e d in t e r m s o f o b s e r v a b le s in t h e S c h r ¨ o d in g e r p ic t u r e a s
A H ( t ) = U † ( t ) A S U ( t ) , A H ( 0 ) = A S
| ) | )
T h e s t a t e k e t s c o in c id e a t t = 0 : ψ H = ψ ( t = 0 ) S a n d t h e y r e m a in in d e p e n d e n t o f t im e . A n a lo g o u s ly t o t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n w e c a n d e fi n e t h e H e is e n b e r g e q u a t io n o f m o t io n f o r t h e o b s e r v a b le s :
d A H d t
= − i [ A H
, H ]
? Q u e s t i o n : D e r i v e t h e H e i s e n b e r g e q u a t i o n f r o m t h e S c h r ¨ o d i n g e r e q u a t i o n .
dA H
= d ( U † A S U )
= ∂ U † A S U + U † A S ∂ U = i ( U † H ) A S U + U † A S ( − i H U ) . I n s e r t i n g t h e i d e n t i t y 1 1 = U U † w e h a v e =
dt dt ∂ t ∂ t
dt
i ( U † H U U † A S U − U † A S U U † H U ) . W e d e fi n e H H = U † H U . T h e n w e o b t a i n dA H
= − i [ A H , H H ] . U a n d H a l w a y s c o m
m u t e f o r t i me - i n d e p e n d e n t H , t h u s H H = H .
5 . 2 I n t e r a c t i o n P i c t u r e
W e n o w c o n s id e r y e t a n o t h e r ” p ic t u r e ” t h a t s im p lifi e s t h e d e s c r ip t io n o f t h e s y s t e m e v o lu t io n in s o m e s p e c ia l c a s e s . In p a r t ic u la r , w e c o n s id e r a s y s t e m w it h a n H a m ilt o n ia n
H = H 0 + V
H
w h e r e 0 is a ” s o lv a b le ” H a m ilt o n ia n ( o f w h ic h w e a lr e a d y k n o w t h e e ig e n - d e c o m p o s it io n , s o t h a t it is e a s y t o c a lc u la t e e .g . U 0 = e − i H 0 t ) a n d V is a p e r t u r b a t io n t h a t d r iv e s a n in t e r e s t in g ( a lt h o u g h u n k n o w n ) d y n a m ic s . In t h e s o - c a lle d in t e r a c t io n p ic t u r e t h e s t a t e is r e p r e s e n t e d b y
| ψ ) I = U 0 ( t ) † | ψ ) S = e i H 0 t | ψ ) S
w h e r e t h e s u b s c r ip t I , S in d ic a t e t h e in t e r a c t io n a n d S c h r ¨ o d in g e r p ic t u r e r e s p e c t iv e ly . F o r t h e o b s e r v a b le o p e r a t o r s w e c a n d e fi n e t h e c o r r e s p o n d in g in t e r a c t io n p ic t u r e o p e r a t o r s a s :
A I ( t ) = U 0 † A S U 0 → V I ( t ) = U 0 † V U 0
W e c a n n o w d e r iv e t h e d iff e r e n t ia l e q u a t io n g o v e r n in g t h e e v o lu t io n o f t h e s t a t e in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e ( w e n o w d r o p t h e s u b s c r ip t S f o r t h e u s u a l S c h r ¨ o d in g e r p ic t u r e ) :
∂ t ∂ t ∂ t
0 ∂ t
0
0
0
0
i ∂ | ψ ) I = i ∂ ( U 0 † | ψ ) ) = i ( ∂ U † | ψ ) + U † ∂ | ψ ) ) = − U † H | ψ ) + U † ( H
0
+ V ) | ψ ) = U † V | ψ ) .
In s e r t in g t h e id e n t it y 1 1 = U 0 U 0 † , w e o b t a in
∂ t
0 0 0
I
I
i ∂ | ψ ⟩ I = U † V U U † | ψ ⟩ = V | ψ ⟩ .
H
d t
H
T h is is a S c h r ¨ o d in g e r - lik e e q u a t io n f o r t h e v e c t o r in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e , e v o lv in g u n d e r t h e a c t io n o f t h e o p e r a t o r V I o n ly . H o w e v e r , in c o n t r a s t t o t h e u s u a l S c h r ¨ o d in g e r p ic t u r e , e v e n t h e o b s e r v a b le s in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e e v o lv e in t im e . F r o m t h e ir d e fi n it io n A I ( t ) = U 0 † A S U 0 , w e h a v e t h e d iff e r e n t ia l e q u a t io n d A I = i [ 0 , A I ], w h ic h is a n H e is e n b e r g - lik e e q u a t io n f o r t h e o b s e r v a b le , w it h t h e t o t a l H a m ilt o n ia n r e p la c e d b y 0 . T h e in t e r a c t io n p ic t u r e is t h u s a n in t e r m e d ia t e p ic t u r e b e t w e e n t h e t w o o t h e r p ic t u r e s .
|
S |
H |
I |
|
|
| ψ ⟩ |
C |
× |
C |
|
A |
× |
C |
C |
T a b l e 1 : T i m e d e p e n d e n c e o f s t a t e s a n d o p e r a t o r s i n t h e t h r e e p i c t u r e s
5 . 2 . 1 D y so n T i m e - o r d e r i n g o p e r a t o r
/
If w e n o w w a n t t o s o lv e t h e s t a t e - v e c t o r d iff e r e n t ia l e q u a t io n in t e r m s o f a p r o p a g a t o r | ψ ( t ) ⟩ I = U I ( t ) | ψ ⟩ I , w e e n c o u n t e r t h e p r o b le m t h a t t h e o p e r a t o r V I is u s u a lly t im e - d e p e n d e n t s in c e V I ( t ) = U 0 † V U 0 , t h u s in g e n e r a l U I =
e − i V I t . W e c a n s t ill w r it e a n e q u a t io n f o r t h e p r o p a g a t o r in t h e in t e r a c t io n p ic t u r e
i d U I = V ( t ) U
d t I I
w it h in it ia l c o n d it io n U I ( 0 ) = 1 1 . W h e n V I is t im e d e p e n d e n t a n d V I ( t ) d o e s n o t c o m m u t e a t d iff e r e n t t im e , it is n o lo n g e r p o s s ib le t o fi n d a s im p le e x p lic it e x p r e s s io n f o r U I ( t ) . In d e e d w e c o u ld b e t e m p t e d t o w r it e U I ( t ) =
0
e − i J t V I ( t ′ ) d t ′ . H o w e v e r in g e n e r a l
e A e B = /
e A + B
if [ A , B ] / = 0 ,
t h u s f o r e x a m p le , a lt h o u g h w e k n o w t h a t U I ( t ) c a n b e w r it t e n a s U I ( t, 0 ) = U I ( t, t ⋆ ) U I ( t ⋆ , 0 ) ( 6 0 < t ⋆ < t ) w e h a v e
t h a t J t ⋆
′ ′ J t ′ ′
J t ′ ′ J t ⋆ ′ ′
e − i 0
V I ( t ) d t − i t ⋆ V I ( t ) d t = /
e − i
t ⋆ V I ( t ) d t e − i 0
V I ( t ) d t . T h u s w e c a n n o t fi n d a n e x p lic it s o lu t io n in t e r m s o f a n
in t e g r a l.
W e c a n h o w e v e r fi n d a p p r o x im a t e s o lu t io n s o r f o r m a l s o lu t io n t o t h e e v o lu t io n . T h e d iff e r e n t ia l e q u a t io n is e q u iv a le n t t o t h e in t e g r a l e q u a t io n
U I ( t ) = 1 1 — i
V I ( t ) U I ( t ) d t
1 t ′ ′ ′
0
B y it e r a t in g , w e c a n fi n d a f o r m a l s o lu t io n t o t h is e q u a t io n :
1
t
U I ( t ) = 1 1 — i
t
1
d t ′ V I ( t ′ ) + ( — i ) 2
d t ′
1 t ′
d t ′ V I ( t ′ ) V I ( t ′ ′ ) + . . .
0 0 0
1 1
t t ( n − 1 )
—
+ ( i ) n d t ′ . . . d t ( n ) V I ( t ′ ) . . . V I ( t ( n ) ) + . . .
0 0
T h is s e r ie s is c a lle d t h e D y s o n s e r ie s .
f
N o t e t h a t in t h e e x p a n s io n t h e o p e r a t o r s a r e t im e - o r d e r e d , s o t h a t in t h e p r o d u c t t h e o p e r a t o r s a t e a r lie r t im e s a r e a t t h e le f t o f o p e r a t o r s a t la t e r t im e s . W e t h e n d e fi n e a n o p e r a t o r s u c h t h a t w h e n a p p lie d t o a p r o d u c t o f t w o o p e r a t o r s it w ill r e t u r n t h e ir t im e - o r d e r e d p r o d u c t :
f ( A ( t ) B ( t ′ ) ) = {
A ( t ) B ( t ′ ) , if t < t ′
B ( t ′ ) A ( t ) , if t ′ < t
{ }
N o w w e c a n r e w r it e t h e e x p r e s s io n a b o v e in a m o r e c o m p a c t w a y . W e r e p la c e t h e lim it s o f e a c h in t e r v a ls s o t h a t t h e y s p a n t h e w h o le d u r a t io n 0 , t a n d w e d iv id e b y n ! t o t a k e in t o a c c o u n t t h a t w e in t e g r a t e o v e r a la r g e r in t e r v a l. T h e n w e c a n w r it e t h e p r o d u c t s o f in t e g r a ls a s p o w e r s a n d u s e t h e t im e - o r d e r in g o p e r a t o r t o t a k e t h is c h a n g e in t o
a c c o u n t . W e t h e n h a v e :
U I ( t ) = f
d t ′ V I ( t ′ )
Σ ∞ ( — i ) n ( 1 t ) n
n = 0
n !
0
w h e r e w e r e c o g n iz e t h e e x p r e s s io n f o r a n e x p o n e n t ia l
U I ( t ) = f e x p — i d t V I ( t )
{ ( 1 t ′
0
′ ) }
N o t e t h a t t h e t im e - o r d e r in g o p e r a t o r is e s s e n t ia l f o r t h is e x p r e s s io n t o b e c o r r e c t .
0 0
I
I
n ! 0
I
? Q u e s t i o n : P r o v e t h a t I t d t ′ . . . I t ( n − 1 ) d t ( n ) V ( t ′ ) . . . V ( t ( n ) = 1 T { ( I t d t ′ V ( t ′ ) ) n } f o r n = 2 .
5 . 2 . 2 S o m e u s e f u l a p p r o x i m a t e f o r m u l a s
B e s id e s t h e f o r m a l s o lu t io n f o u n d a b o v e a n d t h e D y s o n s e r ie s f o r m u la , t h e r e a r e o t h e r a p p r o x im a t e f o r m u la s t h a t c a n h e lp in c a lc u la t in g a p p r o x im a t io n s t o t h e t im e e v o lu t io n p r o p a g a t o r .
A . B a k e r - C a m p b e l l - H a u s d o r ff f o r m u l a
T h e B a k e r - C a m p b e ll- H a u s d o r ff f o r m u la g iv e s a n e x p r e s s io n f o r C = lo g ( e A e B ) , w h e n A , B d o n o t c o m m u t e . T h a t is , w e w a n t C s u c h t h a t e C = e A e B . W e h a v e 1 0
— —
1 1 1
C = A + B + [ A , B ] + ( [ A , [ A , B ]] [ B , [ A , B ]]) [ B , [ A , [ A , B ]]] . . .
2 1 2 2 4
T h e H a d a m a r d s e r ie s is t h e s o lu t io n t o f ( s ) = e s A B e − s A . T o fi n d t h is , d iff e r e n t ia t e t h e e q u a t io n :
f ′ ( s ) = e s A A B e − s A — e s A B A e − s A = e s A [ A , B ] e − s A
f ′ ′ ( s ) = e s A A [ A , B ] e − s A — e s A [ A , B ] A e − s A = e s A [ A , [ A , B ]] e − s A f ′ ′ ′ ( s ) = e s A [ A , [ A , [ A , B ]]] e − s A
e t c . a n d t h e n c o n s t r u c t t h e T a y lo r s e r ie s f o r f ( s ) :
f ( s ) = f ( 0 ) + s f ′ ( 0 ) + 1 s 2 f ′ ′ ( 0 ) + 1 s 3 f
′ ′ ( 0 ) + ...
2 3 !
t o o b t a in
e s A B e − s A
1 2 1 [ A , [ A , [ A , B ]]] s 3 + . . .
= B + [ A , B ] s + [ A , [ A , B ]] s +
2 3 !
H
W it h s = i t a n d A = , t h is f o r m u la c a n b e u s e f u l in c a lc u la t in g t h e e v o lu t io n o f a n o p e r a t o r ( e it h e r in t h e H e is e n b e r g o r in t e r a c t io n r e p r e s e n t a t io n o r f o r t h e d e n s it y o p e r a t o r ) .
1 0 S e e e . g . w i k i p e d i a f o r m o r e t e r m s a n d ma t h w o r l d f o r c a l c u l a t i n g t h e s e r i e s .
B . S u zu k i - T r o tte r e x p a n s i o n
A n o t h e r u s e f u l a p p r o x im a t io n is t h e S u z u k i- T r o t t e r e x p a n s io n 1 1 . T o fi r s t o r d e r t h is r e a d s :
e A + B = lim ( e A /n e B /n ) n
n → ∞
S u z u k i- T r o t t e r e x p a n s io n o f t h e s e c o n d o r d e r :
e A + B = lim ( e A / ( 2 n ) e B /n e A / ( 2 n ) ) n
n → ∞
In g e n e r a l w e c a n a p p r o x im a t e t h e e v o lu t io n u n d e r a t im e - v a r y in g H a m ilt o n ia n b y a p ie c e w is e c o n s t a n t H a m ilt o n ia n in s m a ll e n o u g h t im e in t e r v a ls :
U ( t, t 0 ) = U ( t, t n − 1 ) . . . U ( t 2 , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) , t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t n − 1 < t,
— H
w h e r e w e u s u a lly t a k e t k t k − 1 = δ t a n d c o n s id e r t h e H a m ilt o n ia n t o b e c o n s t a n t d u r in g e a c h o f t h e s m a ll t im e in t e r v a l δ t .
C . M a g n u s e x p a n s i o n
T h e M a g n u s e x p a n s io n is a p e r t u r b a t iv e s o lu t io n t o t h e e x p o n e n t ia l o f a t im e - v a r y in g o p e r a t o r ( f o r e x a m p le t h e p r o p a g a t o r o f a t im e - v a r y in g H a m ilt o n ia n ) . T h e id e a is t o d e fi n e a n e ff e c t iv e t im e - in d e p e n d e n t H a m ilt o n ia n b y
0
f ≡
t a k in g : U = e − i J t d t ′ H ( t ′ ) e − i t H . T h e e ff e c t iv e H a m ilt o n ia n is t h e n e x p a n d e d in a s e r ie s o f t e r m s o f in c r e a s in g
( 0 ) ( 1 ) ( 2 )
o r d e r in t im e H = H + H + H + . . . , s o t h a t
( 0 ) ( 1 ) ( 2 )
U = e x p { — i t [ H + H + H + . . . ] }
− i J t d t ′ H ( t ′ )
w h e r e t h e t e r m s c a n b e f o u n d b y e x p a n d in g f e 0
a n d e q u a t in g t e r m s o f t h e s a m e t im e p o w e r . In o r d e r t o
k e e p t h e t im e o r d e r , c o m m u t a t o r s a r e t h e n in t r o d u c e d . T h e lo w e s t o r d e r t e r m s a r e
�
t 0 ′
H ( 0 ) = 1 t H ( t ′ ) d t ′
2 t 0
′ 0
H = 1 � t d t ′ � t d t ′ ′ � t
d t ′ ′ ′ { [[ H ( t ′ ) , H ( t ′ ′ ) ] , H ( t ′ ′ ′ ) ] + [[ H ( t ′ ′ ′ ) , H ( t ′ ′ ) ] , H ( t ′ ) ] }
H ( 1 ) = — i � t d t ′ � t d t ′ ′ [ H ( t ′ ) , H ( t ′ ′ ) ]
( 2 )
′ ′
6 t 0 0 0
T h e c o n v e r g e n c e o f t h e e x p a n s io n is e n s u r e d o n ly if H t ≪ 1 .
1 1 S e e : M . S u z u k i , G e n e r a l i z e d T r o t t e r ’ s f o r m u l a a n d s y s t e m a t i c a p p r o x i m a n t s o f e x p o n e n t i a l o p e r a t o r s a n d i n n e r d e r i v a t i o n s wi t h a p p l i c a t i o n s t o m a n y - b o d y p r o b l e m s , C o m m. M a t h . P h y s . 5 1 , 1 8 3 - 1 9 0 ( 1 9 7 6 )
2
5 . 3 S p i n - 1
p r e c e ss i o n
· H
W e c o n s id e r t h e s e m i- c la s s ic a l p r o b le m o f a s p in - 1 / 2 p a r t ic le in a c la s s ic a l m a g n e t ic fi e ld . T o e a c h s p in w it h s p in a n g u la r m o m e n t u m J is a s s o c ia t e d a m a g n e t ic m o m e n t µ = γ S w h e r e γ is c a lle d t h e g y r o m a g n e t ic r a t io , a p r o p e r t y o f e a c h s p in - c a r r y in g p a r t ic le ( n u c le u s , e le c t r o n , e t c .) . T h e e n e r g y o f t h e s y s t e m in a n e x t e r n a l m a n g e t ic fi e ld is ( c la s s ic a lly ) g iv e n b y µ B , w h e r e B is o f c o u r s e t h e fi e ld . T h u s , t h e s y s t e m H a m ilt o n ia n is s im p ly = γ B z S z = ω S z , w h e r e w e t a k e t h e z a x is t o p o in t a lo n g t h e e x t e r n a l fi e ld f o r s im p lic it y a n d w e d e fi n e d t h e L a r m o r f r e q u e n c y f o r t h e g iv e n s y s t e m .
| ⟩
If t h e s p in is in it ia lly in t h e s t a t e 0 , t h e s y s t e m d o e s n o t e v o lv e ( a s it is a n e ig e n s t a t e o f t h e H a m ilt o n ia n ) . If in s t e a d it is p r e p a r e d in a s u p e r p o s it io n s t a t e , it w ill u n d e r g o a n e v o lu t io n .
| ψ 0 ⟩ = α 0 | 0 ⟩ + β 0 | 1 ⟩ → | ψ ( t ) ⟩ = α ( t ) | 0 ⟩ + β ( t ) | 1 ⟩
? Q u e s t i o n : W h a t a r e t h e f u n c t i o n s α ( t ) , β ( t ) ?
| ) | ) ±
− i H t − i ω S z t
1 . A s 0 , 1 a r e e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n w i t h e i g e n v a l u e s ω / 2 , w e k n o w t h a t t h e i r e v o l u t i o n i s j u s t a p h a s e e ± i ω t / 2 , s o t h a t α ( t ) = α 0 e − i ω t / 2 a n d β ( t ) = β 0 e + i ω t / 2 .
2 . | ψ ( t ) ) = U ( t ) | ψ ( 0 ) ) , w i t h U = e = e = 1 1 c o s ( ω t / 2 ) − i s i n ( ω t / 2 ) 2 S z . T h e n U ( t ) | 0 ) = ( c o s ω t / 2 − i s i n ω t / 2 ) | 0 ) =
e − i ω t / 2 | 0 ) a n d w e fi n d t h e s a m e r e s u l t .
? Q u e s t i o n : W h a t i s t h e p r o b a b i l i t y o f fi n d i n g t h e s p i n b a c k t o i t s i n i t i a l s t a t e ?
| ) | ) | ) | ) | )
Le t ’ s w r i t e t h e i n i t i a l s t a t e a s ψ 0 = c o s ( ϑ / 2 ) 0 + e i ϕ / 2 s i n ( ϑ / 2 ) 1 . T h e n t h e e v o l u t i o n i s e i ω t / 2 c o s ( ϑ / 2 ) 0 + e i ( ω t + ϕ ) / 2 s i n ( ϑ / 2 ) 1 a n d t h e p r o b a b i l i t y p = c o s 2 ( ω t / 2 ) + c o s ϑ 2 s i n 2 ( ω t / 2 ) I n p a r t i c u l a r , f o r ϑ = π / 4 w e h a v e c o s 2 ( ω t / 2 ) ( n o t i c e t h a t t h i s i s a n e i g e n s t a t e o f t h e S x o p e r a t o r ) .
C os ( Θ ) = 0
C os ( Θ ) = Π / 4
C os ( Θ ) = Π / 2
Probability of initial state
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
time
F i g . 4 : S p i n p r e c e s s i o n : p ro b a b i l i t y o f b e i n g i n t h e i n i t i a l s t a t e
? Q u e s t i o n : W h a t i s t h e e v o l u t i o n o f t h e ma g n e t i z a t i o n i n t h e x d i r e c t i o n ?
ω
ω
W e w a n t t o c a l c u l a t e ( S x ( t ) ) . W e c a n u s e t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e , a n d c a l c u l a t e U † S x U = S x c o s ( ω t ) − S y s i n ( ω t ) . T h u s w e s e e t h a t t h e p e r i o d i c i t y i s T = 2 π w h i l e i t w a s 4 π f o r t h e s p i n s t a t e ( s p i n o r b e h a v i o r ) . T h e n w e k n o w t h a t ( S x ) = c o s ( ϕ / 2 ) s i n ( ϑ )
a n d ( S y ) = s i n ( ϕ / 2 ) s i n ( ϑ ) f r o m w h i c h w e fi n d ( S x ( t ) ) = c o s ( ϕ / 2 + ω t ) s i n ( ϑ )
N u c l e a r M a g n e ti c R e s o n a n c e
T h e e v o lu t io n o f t h e m a g n e t iz a t io n is w h a t is u s u a lly d e t e c t e d in N M R . T h e p r e c e s s io n o f t h e s p in in a la r g e s t a t ic m a g n e t ic fi e ld c r e a t e s a n o s c illa t in g m a g n e t ic fi e ld t h a t in t u r n s g e n e r a t e a c u r r e n t / v o lt a g e in a p ic k u p c o il. F o u r ie r t r a n s f o r m o f t h e s ig n a l g iv e s s p e c t r o s c o p ic in f o r m a t io n r e g a r d in g t h e L a r m o r f r e q u e n c y ; lo c a l m o d ifi c a t io n o f t h e m a g n e t ic fi e ld ( d u e e .g . t o e le c t r o n ic fi e ld ) in d u c e s a v a r ia t io n o n t h e L a r m o r f r e q u e n c y o f e a c h n u c le a r s p in in a m o le c u le , t h u s p r o v id in g a w a y t o in v e s t ig a t e t h e s t r u c t u r e o f t h e m o le c u le it s e lf . B e f o r e w e c a n h a v e a f u ll v is io n o f a ( s im p le ) N M R e x p e r im e n t , w e s t ill n e e d t o a n s w e r t h e q u e s t io n o n h o w w e fi r s t p r e p a r e t h e s p in in a s u p e r p o s it io n s t a t e ( e .g . in a S x e ig e n s t a t e ) . W e w ill b e a b le t o a n s w e r t h is q u e s t io n in a m in u t e .
5 . 4 E x a m p l e s : R e so n a n c e o f a Tw o - L e v e l S y s t e m
W e h a v e lo o k e d a t t h e p r e c e s s io n o f t h e s p in a t t h e L a r m o r f r e q u e n c y , w h ic h h a p p e n s if t h e s p in is in it ia lly in a s u p e r p o s it io n s t a t e . H o w e v e r , t h e q u e s t io n r e m a in e d o n h o w w e r o t a t e in it ia lly t h e s p in a w a y f r o m it s e q u ilib r iu m s t a t e p o in t in g a lo n g t h e la r g e e x t e r n a l m a g n e t ic fi e ld . C o n s id e r t h e n a m o r e g e n e r a l p r o b le m in w h ic h w e a d d a ( s m a ll) t im e - d e p e n d e n t m a g n e t ic fi e ld a lo n g t h e t r a n s v e r s e d ir e c t io n ( e .g . x - a x is ) :
B B ( t ) = B z z ˆ + 2 B 1 c o s ( ω t ) x ˆ = B z z ˆ + B 1 [( c o s ( ω t ) x ˆ + s in ( ω t ) y ˆ ) + ( c o s ( ω t ) x ˆ — s in ( ω t ) y ˆ ) ] ,
w h e r e B 1 is t h e s t r e n g t h o f t h e r a d io - f r e q u e n c y ( f o r n u c le i) o r m ic r o w a v e ( f o r e le c t r o n ) fi e ld . T h e H a m ilt o n ia n o f t h e s y s t e m H = H 0 + H 1 ( t ) + H 1 ′ ( t ) is t h e n :
ω 0 ω 1 ω 1
H = 2 σ z + 2 [c o s ( ω t ) σ x + s in ( ω t ) σ y ] + 2 [c o s ( ω t ) σ x — s in ( ω t ) σ y ] ,
H | ⟩ | ⟩
w h e r e w e d e fi n e d t h e r f f r e q u e n c y ω 1 . W e a lr e a d y k n o w t h e e ig e n s t a t e s o f 0 ( 0 a n d 1 ) . T h u s w e u s e t h e in t e r a c t io n p ic t u r e t o s im p lif y t h e H a m ilt o n ia n , w it h U 0 = e − i ω σ z / 2 d e fi n in g a f r a m e r o t a t in g a b o u t t h e z - a x is
a t a f r e q u e n c y ω : t h is is t h e s o - c a lle d r o t a t i n g f r a m e . R e m e m b e r in g t h a t U 0 σ x U 0 †
= c o s ( ω t ) σ x + s in ( ω t ) σ y , it ’s
2
e a s y t o s e e t h a t t h e p e r t u r b a t io n H a m ilt o n ia n in t h e in t e r a c t io n f r a m e is H 1 I = U 0 † H 1 U 0 = ω 1 σ x . W e a ls o h a v e
2
H H — ≪
1 ′ I = U 0 † 1 ′ U 0 = ω 1 ( c o s ( 2 ω t ) σ x s in ( 2 ω t ) σ y ) . U n d e r t h e a s s u m p t io n s t h a t ω 1 ω , t h is is a s m a ll, f a s t o s c illa t in g t e r m , t h a t q u ic k ly a v e r a g e s o u t d u r in g t h e e v o lu t io n o f t h e s y s t e m a n d t h u s c a n b e n e g le c t e d . T h is a p p r o x im a t io n is c a lle d t h e r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n ( R W A ) . U n d e r t h e R W A , t h e H a m ilt o n ia n in t h e r o t a t in g f r a m e s im p lifi e s t o
∆ ω ω 1
H I = 2 σ z + 2 σ x
| ⟩ | ⟩ — | ⟩ √
| ⟩
~
H ≈
— ≫
w h e r e ∆ ω = ω 0 ω . N o t ic e t h a t if ∆ ω is la r g e ( ω 1 ) , w e e x p e c t t h a t t h e e ig e n s t a t e s o f t h e s y s t e m s a r e s t ill g o in g t o b e c lo s e t o t h e e ig e n s t a t e s o f 0 a n d t h e s m a ll p e r t u r b a t io n h a s a lm o s t n o e ff e c t . O n ly w h e n ω ω 0 w e w ill s e e a c h a n g e : t h is is t h e r e s o n a n c e c o n d it io n . In p a r t ic u la r , f o r ∆ ω = 0 t h e n e w H a m ilt o n ia n σ x w ill c a u s e a s p in in it ia lly in , s a y , 0 t o r o t a t e a w a y f r o m t h e z a x is a n d t o w a r d t h e y a x is . T h is is h o w a ” p u ls e ” is g e n e r a t e d e .g . in N M R o r E S R p u ls e d s p e c t r o s c o p y . F o r e x a m p le , if t h e B 1 fi e ld is t u r n e d o n f o r a t im e t π / 2 = π / 2 ω 1 w e p r e p a r e t h e
s t a t e ψ = ( 0 i 1 ) / 2 t h a t w ill t h e n p r e c e s s a t t h e L a r m o r f r e q u e n c y , g iv in g a s p e c t r o s c o p ic s ig n a t u r e in t h e r e c o r d e d s ig n a l.
( )
W e w a n t t o s t u d y t h e H a m ilt o n ia n in t h e g e n e r a l c a s e . G iv e n t h e m a t r ix r e p r e s e n t a t io n
= 1
1 ∆ ω ω
H I 2 ω 1 — ∆ ω
w e c a n fi n d t h e e ig e n v a lu e s :
I
2
1
ω = ± ∆ ω V 1 + ( ω / ∆ ω ) 2 .
T h e r e a r e t w o in t e r e s t in g lim it s , o n r e s o n a n c e ( ∆ ω = 0 ) w h e r e ω I = ω 1 a n d f a r o ff r e s o n a n c e ( ∆ ω ≫ ω 1 ) w h e r e
ω I ≈ ∆ ω ∼ ω 0 . T h e e ig e n s t a t e s a r e f o u n d ( e .g . v ia a r o t a t io n o f t h e H a m ilt o n ia n ) t o b e
| + ⟩ I = c o s ϑ | 0 ⟩ + s in ϑ | 1 ⟩
|— ⟩ I = c o s ϑ | 1 ⟩ — s in ϑ | 0 ⟩ ,
w it h
V V
s in ϑ = ω I — ∆ ω , c o s ϑ = ω I + ∆ ω 2 ω I 2 ω I
C o n s id e r t h e e v o lu t io n o f t h e s t a t e | 0 ⟩ u n d e r t h e r o t a t in g f r a m e H a m ilt o n ia n . A t t im e t = 0 t h e t w o f r a m e c o in c id e , s o | ψ ⟩ I = | ψ ⟩ = | 0 ⟩ . T h e s t a t e t h e n e v o lv e s a s
I 2 Ω 2 Ω 2
| ψ ( t ) ⟩ = c o s ( Ω t ) — i ∆ ω s in ( Ω t ) | 0 ⟩ — i ω 1 s in ( Ω t ) | 1 ⟩
1
w h e r e w e d e fi n e d Ω = V ∆ ω 2 + ω 2 . T h e p r o b a b ilit y o f fl i p p i n g t h e s p in ( t h a t is , o f fi n d in g t h e s p in in t h e | 1 ⟩ s t a t e )
ω
2 ( )
1
is t h e n p ( 1 ) = s in 2 Ω t . N o t ic e t h a t o n ly if ∆ ω = 0 w e c a n h a v e p e r f e c t in v e r s io n ( i.e . p ( 1 ) = 1 f o r t = π / ω .
1
∆ ω 2 + ω 2 2 1
N o t ic e t h a t w e h a v e d e fi n e d a ll t h e e v o lu t io n s a s in t h e r o t a t in g f r a m e .
1.0
)
Δω=0
ω 2 / ( Δω 2 +ω 2 )
1
1
0.8
0.6
Δω=ω 1 /2
0.4
Δω=ω 1
0.2
P 1 ( t
0 2 4 6 8
t/ω 1
F i g . 5 : R ab i o s c i l l at i o n . P r o b a b i l i t y o f b e i n g i n t h e | 1 ) s t a t e f o r d i ff e r e n t v a l u e s o f t h e r a t i o ω 1 / ∆ ω
5 . 4 . 1 D r e ss e d s t a t e s a n d A C S t a r k s h i f t
T h is H a m ilt o n ia n is a ls o u s e d in A t o m ic p h y s ic s t o d e s c r ib e t h e g r o u n d a n d ( o n e ) e x c it e d le v e ls c o u p le d b y a n e x t e r n a l e .m . fi e ld ( f o r e x a m p le in t h e v is ib le s p e c t r u m ) . T h e e v o lu t io n o f a n a t o m in a n e .m . fi e ld ( h e r e w e a r e c o n s id e r in g a c la s s ic a l e .m . fi e ld , b u t w e w ill s e e t h a t w e c a n a ls o c o n s id e r t h e q u a n t iz e d v e r s io n ) is u s u a lly d e s c r ib e d w it h t h e d r e s s e d a t o m p ic t u r e . T h is p ic t u r e ( d u e t o C o h e n - T a n n o u d j i) d e s c r ib e s t h e a t o m a s d r e s s e d b y a c lo u d o f v ir t u a l p h o t o n s , w it h w h ic h it in t e r a c t s .
V
| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩ —
T h is a t o m ic T L S h a s ( u n p e r t u r b e d ) e ig e n s t a t e s e = 0 a n d g = 1 w it h e n e r g ie s E 0 E 1 = ∆ ω , w h ic h a r e c o u p le d t h r o u g h a n in t e r a c t io n ω 1 / 2 . W h e n w e c o n s id e r t h e o p t ic a l t r a n s it io n o f a n a t o m w e u s u a lly c a ll ω 1 t h e R a b i f r e q u e n c y .
2
T h e c o u p lin g m ix e s t h e s e s t a t e s , g iv in g t w o n e w e ig e n s t a t e s a s s e e n b e f o r e w it h e n e r g ie s ± ω I = ± ∆ ω 1 + ( ω 1 / ∆ ω ) 2 ,
w h ic h is c a lle d t h e e ff e c t iv e R a b i f r e q u e n c y .
F i g . 6 : E n e r g y s h i f t f o r s ma l l c o u p l i n g p e r t u r b a t i o n
If t h e c o u p lin g is s m a ll, w e c a n t r e a t it a s a p e r t u r b a t io n , a n d t h e e n e r g ie s a r e j u s t s h if t e d b y a n a m o u n t δ E =
2
ω
.
1
4 ∆ ω
T h a t is , t h e n e w e n e r g ie s a r e E ′ = ∆ ω ( 1 +
2
ω
1 ) . T h is s h if t in t h e c o n t e x t o f a t w o - le v e l a t o m d r e s s e d b y t h e e .m .
0 2 2 ∆ ω 2
fi e ld is c a lle d t h e A C S t a r k s h i f t . It is a q u a d r a t ic e ff e c t t h a t c a n b e s e e n a ls o a s a r is in g ( in a m o r e g e n e r a l c o n t e x t )
f r o m s e c o n d o r d e r p e r t u r b a t io n t h e o r y .
±
T h e p e r t u r b e d e n e r g ie s a r e s h o w n in t h e f o llo w in g d ia g r a m . H e r e w e e x p lo r e t h e r a n g e o f t h e e ig e n v a lu e s ω I = f o u n d b e f o r e , g iv e n a fi x e d v a lu e o f t h e c o u p lin g ω 1 a n d a v a r y in g s p lit t in g ∆ ω b e t w e e n t h e t w o le v e ls . In r e d a r e t h e t w o p e r t u r b e d e n e r g ie s , w h ile t h e d a s h e d lin e s f o llo w t h e u n p e r t u r b e d e n e r g ie s . F o r ∆ ω = 0 , in t h e a b s e n c e o f a c o u p lin g t e r m , t h e t w o e ig e n s t a t e a r e d e g e n e r a t e . T h e p e r t u r b a t io n lif t s t h is d e g e n e r a c y , g iv in g r is e t o a n a v o i d e d c r o s s i n g . T h e e ig e n s t a t e s a r e a c o m p le t e m ix o f t h e u n p e r t u r b e d s t a t e s , y e t r e m a in s p lit in e n e r g y b y t h e s t r e n g t h o f in t e r a c t io n ω 1 .
1. 5
1. 0
0. 5
-3
-2
-1
1
2
3
-0. 5
-1. 0
-1. 5
F i g . 7 : D r e s s e d a t o m e n e r g i e s a s a f u n c t i o n o f t h e s p l i t t i n g ∆ω s h o w i n g t h e a v o i d e d c r o s s i n g
5 . 5 Th e w a v e - f u n c t i o n
W e h a v e s o f a r c o n s id e r e d s y s t e m s a s s o c ia t e d t o o b s e r v a b le s w it h a d is c r e t e s p e c t r u m . T h a t is , t h e s y s t e m c a n a s s u m e o n ly a d is c r e t e n u m b e r o f s t a t e s ( f o r e x a m p le 2 , f o r t h e T L S ) a n d t h e p o s s ib le o u t c o m e s o f a n e x p e r im e n t s a r e a d is c r e t e s e t o f v a lu e s . A lt h o u g h f o r t h e fi r s t p a r t o f t h e c la s s t h is is a ll t h a t w e ’ll n e e d , it ’s im p o r t a n t t o in t r o d u c e a s w e ll s y s t e m s w it h a c o n t in u o u s s e t o f s t a t e s , a s t h e y le a d t o t h e c o n c e p t o f a p a r t ic le ’s w a v e f u n c t io n 1 2 . T h is is a n e s s e n t ia l c o n c e p t in n o n - r e la t iv is t ic Q M t h a t y o u m ig h t h a s s e e n b e f o r e ( a n d p r o b a b ly a s o n e o f t h e v e r y fi r s t t o p ic s in Q M ) .
5 . 5 . 1 P o s i t i o n r e p r e se n t a t i o n
| ⟩
T h e s t a t e ψ o f a p o in t - lik e p a r t ic le is n a t u r a lly e x p a n d e d o n t o t h e b a s is m a d e o f t h e e ig e n s t a t e s o f t h e p a r t ic le ’s p o s it io n v e c t o r o p e r a t o r R . O f c o u r s e t h e p o s it io n o f a p o in t p a r t ic le is a c o n t in u o u s v a r ia b le ( m o r e p r e c is e ly a v e c t o r w h o s e c o m p o n e n t s a r e t h e t h r e e c o m m u t in g c o o r d in a t e o p e r a t o r s X , Y a n d Z ) . T h e r ig o r o u s m a t h e m a t ic s d e fi n it io n o f t h e s e c o n t in u o u s b a s is s t a t e s is s o m e w h a t c o m p le x , s o w e w ill s k ip s o m e o f t h e d e t a ils t o in s t e a d o b t a in a p r a c t ic a l d e s c r ip t io n o f t h e w a v e f u n c t io n . T h e b a s is s t a t e s | r ⟩ s a t is f y t h e r e la t io n s g e n e r a liz in g t h e o r t h o n o r m a lit y c o n d it io n s :
� r | r ′ ⟩ = δ ( r — r ′ ) , 1 d 3 r | r ⟩ � r | = 1 1
w h e r e δ ( r — r ′ ) is t h e t h r e e - d im e n s io n a l D ir a c f u n c t io n . D e v e lo p in g | ψ ⟩ in t h e | r ⟩ b a s is y ie ld s :
| ψ ⟩ = 1 d 3 r | r ⟩ � r | ψ ⟩
w h e r e w e d e fi n e t h e w a v e f u n c t io n ( in t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n )
ψ ( r ) = � r | ψ ⟩
T h e s h a p e o f t h e w a v e f u n c t io n d e p e n d s u p o n t h e p h y s ic a l s it u a t io n u n d e r c o n s id e r a t io n . w e m a y s a y t h a t t h e w a v e f u n c t io n d e s c r ib e s t h e s t a t e o f t h e p a r t ic le s u s p e n d e d , b e f o r e m e a s u r e m e n t , in a c o n t in u o u s s u p e r p o s it io n o f a n in fi n it e n u m b e r o f p o s s ib le p o s it io n s . U p o n m e a s u r e m e n t o f R p e r f o r m e d w it h a lin e a r p r e c is io n δ r , t h is s u p e r p o s it io n c o lla p s e s in t o a s m a ll w a v e p a c k e t o f v o lu m e ( δ r ) 3 a r o u n d a r a n d o m p o s it io n r , w it h t h e p r o b a b ilit y p ( r ) = | � r | ψ ⟩ | 2 ( δ r ) 3 .
5 . 5 . 2 M o m e n t u m r e p r e s e n t a t i o n
T h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n is s u it e d f o r m e a s u r e m e n t s o f t h e p a r t ic le ’s p o s it io n . If o n e is in t e r e s t e d in t h e p a r t ic le m o m e n t u m P o r v e lo c it y V = P / m ( w h e r e m is t h e p a r t ic le m a s s ) it is a p p r o p r ia t e t o c h o o s e t h e m o m e n t u m
1 2 F o r a n i c e i n t r o d u c t i o n t o t h e s e c o n c e p t s , s e e S . H a r o c h e , J . - M . R a i mo n d , Ex p l o r i n g t h e q u a n t u m : a t o m s , c a v i t i e s a n d p h o t o n s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s ( 2 0 0 6 ) . I n t h i s s e c t i o n w e f o l l o w t h e i r p r e s e n t a t i o n c l o s e l y .
r e p r e s e n t a t io n a n d t o e x p a n d | ψ ⟩ o v e r t h e c o n t in u o u s b a s is o f t h e m o m e n t u m e ig e n s t a t e s | p ⟩ :
| ψ ⟩ = 1 d 3 p | p ⟩ � p | ψ ⟩
w h e r e w e d e fi n e t h e w a v e f u n c t io n ( in t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n )
�
ψ ( p ) = � p | ψ ⟩
� �
| ⟩ | ⟩ � | ⟩
A s im p le s y s t e m c o u ld b e d e s c r ib in g a s in g le p a r t ic le w it h a w e ll d e fi n e d m o m e n t u m . T h e s t a t e is t h e n | ψ ⟩ = | p ⟩ . In t h e m o m e n t u m r e p r e s e n t a t io n , w e o b t a in t h e w a v e f u n c t io n ψ ( p ) = δ ( p ) . W e c a n a s w e ll d e s c r ib e t h is s t a t e in t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n , p = d 3 r r r p . F o llo w in g d e B r o g lie ’s h y p o t h e s is w h ic h a s s o c ia t e s t o a p a r t ic le
o f m o m e n t u m p a p la n e w a v e o f w a v e le n g t h λ = h / p , t h e m o m e n t u m e ig e n s t a t e s a r e p la n e w a v e s in t h e p o s it io n
r e p r e s e n t a t io n
ψ ( r ) = � r | p ⟩ = 1 e i p · r / k .
p ( 2 π n ) 3 / 2
W e c a n t a k e t h is a s t h e d e fi n it io n it s e lf o f t h e m o m e n t u m e ig e n s t a t e s ; f r o m t h is d e fi n it io n t h e w e ll- k n o w n c o m m u t a t io n r e la t io n s h ip b e t w e e n p o s it io n a n d m o m e n t u m f o llo w . O t h e r w is e o n e c o u ld s t a t e t h e c o m m u t a t io n r e la t io n s h ip a s a n a x io m a n d d e r iv e t h e f o r m o f t h e m o m e n t u m e ig e n s t a t e s in t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n .
i
j
i j
p
( 2 π k ) 3 / 2
? Q u e s t i o n : S h o w h o w [ r , p ] = i n δ ⇔ ψ ( r ) = e i p · r / n
i ) H i n t : S h o w t h a t t h e mo me n t u m g e n e r a t e s t ra n s l a t i o n s i n x a n d c o n s i d e r a n i n fi n i t e s i m a l t r a n s l a t i o n .
i i ) H i n t : S h o w t h a t [ P x , f ( x ) ] = − i n ∂ x f ( x ) .
1 ) W e s t a r t f r o m ( p | x ) = e − i p x x / n . T h e n w e h a v e f o r a n y t r a n s l a t i o n a
x ( 2 π k ) 1 / 2
− i p x ( x + a ) / − i p x a /
k k
( p x | x + a ) ∝ e = e ( p x | x )
W e t h u s r e c o g n i z e d p a s t h e g e n e ra t o r o f t r a n s l a t i o n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p a g a t o r U ( a ) = e − i p x a / k . I n t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e , w e c a n t h u s s h o w U ( a ) † x U ( a ) = x + a 1 1 , s i n c e ∀ | ψ ) w e h a v e
†
( ψ | U ( a ) x U ( a ) | ψ ) = ( ψ + a | x | ψ + a ) = ( x ) + a .
≈ −
N o w w e c o n s i d e r a n i n fi n i t e s i ma l t r a n s l a t i o n δ a . T h e p r o p a g a t o r t h e n b e c o me s U ( δ a ) 1 1 i p x δ a / n . C a l c u l a t i n g a g a i n
U ( δ a ) † x U ( δ a ) = x + δ a 1 1 , w e o b t a i n :
x + δ a 1 1 = ( 1 1 + i p x δ a / n ) x ( 1 1 − i p x δ a / n ) = x +
n ( p x − x p ) + n 2 = x − n [ x , p ] + O ( δ a )
N e g l e c t i n g t e r ms i n δ a 2 w e t h u s p r o v e d t h e c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s h i p [ x , p ] = i n 1 1 .
2 ) N o w w e s t a r t f r o m t h e c o mm u t a t i o n r e l a t i o n s h i p [ x , p ] = i n a n d w e c a l c u l a t e [ x n , p ] . W e s t a r t f r o m t h e l o w e r p o w e r s : [ x 2 , p ] = x [ x , p ] + [ x , p ] x = 2 i n x ; [ x 3 , p ] = x [ x 2 , p ] + [ x , p ] x 2 = 3 i n x 2 ; [ x n , p ] = n i n x n − 1
Le t ’ s n o w c o n s i d e r a n y f u n c t i o n o f x a n d i t s c o m m u t a t o r w i t h p . S i n c e b y d e fi n i t i o n w e c a n e x p a n d t h e f u n c t i o n i n a p o w e r s e r i e s , i t i s e a s y t o c a l c u l a t e t h e c o mm u t a t o r :
Σ Σ
[ f ( x ) , p ] = f ( n ) ( 0 ) / n ! [ x n , p ] = f ( n ) ( 0 ) n i n x n − 1 = i n ∂ f ( x )
n ! ∂ x
n n
x
( 2 π k ) 1 / 2
N o t i c e t h a t t h i s i s a l s o t ru e f o r t h e w a v e f u n c t i o n : [ p ˆ x , ψ p ( x ) ] = − i n ∂ x ψ p ( x ) = p ˆ ( x | p ) − ( x | p ) p ˆ = p ψ p ( x ) f r o m w h i c h , s o l v i n g t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n , ( p | x ) = e − i p x x / n ( w h e r e t h e d e n o m i n a t o r i s c h o s e n t o h a v e a n o r m a l i z e d f u n c t i o n ) .
5 . 5 . 3 S c h r o ¨ d i n g e r e q u a t i o n f o r t h e w a v e f u n c t i o n
H
W e h a v e s t u d ie d a lr e a d y t h e la w g o v e r n in g t h e e v o lu t io n o f a q u a n t u m s y s t e m . W e s a w t h a t t h e d y n a m ic s o f t h e s y s t e m is g e n e r a t e d b y t h e s y s t e m H a m ilt o n ia n ( t h e o b s e r v a b le c o r r e s p o n d in g t o t h e t o t a l e n e r g y o f t h e s y s t e m ) , a s d e s c r ib e d b y S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n :
d t
i n d | ψ ⟩ = H | ψ ⟩
2 m
W e c a n e x p r e s s t h is s a m e e q u a t io n in t h e p o s it io n r e p r e s e n t a t io n . W e w a n t t o d e s c r ib e t h e e v o lu t io n o f a p o in t p a r t ic le in a p o t e n t ia l V ( r ) a n d w it h k in e t ic e n e r g y T = P 2 . T h e H a m ilt o n ia n o f t h is s im p le s y s t e m is t h u s g iv e n b y
p
2
H = V ( r ) + 2 m . B y m u lt ip ly in g t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n w it h t h e b r a � r | w e o b t a in :
2
i n d � r | ψ ⟩ = i n ∂ ψ ( r ) = P
U s in g t h e r e la t io n s h ip
d t t
2 2
� r | H | ψ ⟩ = � r | V ( r ) | ψ ⟩ + � r | 2 m | ψ ⟩
2 2 ∂ 2 ψ ( x , t )
w e o b t a in
� x | P x | ψ ⟩ = ( P x ψ ) ( x , t ) = ( — i n ∂ x ) ψ ( x , t ) = — n ∂ x ,
i n ∂ ψ ( r , t ) n 2
∂ t
( w h e r e ∆ is t h e L a p la c ia n o p e r a t o r in 3 D ) .
5 . 6 F e y n m a n ’ s p a t h - i n t e g r a l
= — 2 m ∆ ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t )
T h e f o r m a l s o lu t io n o f t h e S c h r ¨ o d in g e r � e q u a t io n a b o v e c a n b e w r it t e n a s | ψ ( t ) ⟩ = U ( t, 0 ) | ψ ( 0 ) ⟩ . U s in g t h e p o s it io n
r e p r e s e n t a t io n a n d t h e c lo s u r e r e la t io n
d 3 r | r ⟩ � r | = 1 1 w e c a n w r it e
ψ ( r , t ) = 1 d 3 r ′ � r | U ( t, 0 ) | r ′ ⟩ ψ ( r ′ , 0 ) ,
� | | ⟩
w h e r e U ( t, 0 ) = e − i H t / k a n d t h e m a t r ix e le m e n t r U ( t, 0 ) r ′ is t h e G r e e n f u n c t io n d e s c r ib in g h o w a lo c a liz e d w a v e p a c k e t c e n t e r e d a t r ′ a t t im e t = 0 p r o p a g a t e s a t a la t e r t im e in t h e p o t e n t ia l V ( r ) . T h is e q u a t io n r e p r e s e n t s t h e w a v e f u n c t io n o f a s in g le p a r t ic le ψ ( r , t ) a s a s u m o f p a r t ia l w a v e s p r o p a g a t in g f r o m r ′ a t t im e 0 t o r a t t im e t ; it is t h u s t h e s u p e r p o s it io n o f m a n y d iff e r e n t p a t h s t a k e n b y t h e p a r t ic le d u r in g it s e v o lu t io n . T h e p r o b a b ilit y o f fi n d in g t h e p a r t ic le a t r r e s u lt s f r o m a m u lt ip le - p a t h in t e r f e r e n c e p r o c e s s .
T h is p ic t u r e o f t h e w a v e f u n c t io n p r o p a g a t io n c a n b e u s e d t o g iv e a q u a lit a t iv e in t r o d u c t io n o f F e y n m a n ’s p a t h - in t e g r a l a p p r o a c h t o q u a n t u m p h y s ic s . W e d o n o t a im h e r e f o r a r ig o r o u s d e r iv a t io n o f t h a t t h e o r y , o n ly t h e m a in c o n c e p t s w ill b e p r e s e n t e d 1 3 .
� | | ⟩
W e s t a r t b y e x p r e s s in g t h e p r o b a b ilit y a m p lit u d e t h a t a p a r t ic le , in it ia lly p r e p a r e d a t p o in t x i , w ill p a s s a t im e t la t e r a t p o in t x f a s t h e m a t r ix e le m e n t b e t w e e n t h e in it ia l a n d t h e fi n a l s t a t e o f t h e s y s t e m ’s e v o lu t io n o p e r a t o r : x f U ( t, 0 ) x i . W e e x p a n d t h is e x p r e s s io n b y s lic in g t h e t im e in t e r v a l t in t o in fi n it e s im a l in t e r v a ls δ t a n d b y in t r o d u c in g a t e a c h o f t h e s e t im e s a c lo s u r e r e la t io n s h ip o n t h e p o s it io n e ig e n s t a t e s :
n
� x f | U ( t, 0 ) | x i ⟩ = � x f | U ( δ t ) | x i ⟩ =
1 d x n ..d x k ..d x 1 � x f | U ( t, t — δ t ) | x n ⟩ � x n | . . . U ( δ t ) | x k ⟩ � x k | . . . U ( δ t ) | x 1 ⟩ � x 1 | U ( δ t, 0 ) | x i ⟩
= 1 d x n ..d x 1 � x k | U ( δ t ) | x k − 1 ⟩ . . .
1 3 I n t h i s s e c t i o n w e a g a i n c l o s e l y f o l l o w t h e p r e s e n t a t i o n i n S . H a r o c h e , J . - M . R a i mo n d , Ex p l o r i n g t h e q u a n t u m : a t o m s , c a v i t i e s a n d p h o t o n s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s ( 2 0 0 6 )
x
x f
x j
x i
t
0 t
j t
T
Image by MIT OpenCourseWare.
F i g . 8 : S p a c e t i m e d i a g r a m o f t h e p r o p a g a t i o n o f a p a r t i c l e b e t w e e n t w o e v e n t s . T a k e n f r o m “ E x p l o r i n g t h e q u a n t u m” , S . H a r o c h e , J - M . R a i mo n d . ,
2
W e t h e n e v a lu a t e t h e a m p lit u d e � x | U ( δ t ) | x
⟩ in t h e c a s e U ( t ) = e − i t ( p / 2 m + V ) / k . A s δ t is s m a ll, w e c a n a p p r o x
k
im a t e it b y t h e p r o d u c t o f t h e t w o t e r m s :
k − 1
U ( t ) = e − i δ t ( p 2 / 2 m + V ) / k e − i δ t V / k e − i δ t p 2 / 2 m k = e − i δ t V / k e − i δ t p 2 / 2 m k p p d p ( w h e r e w e in t r o d u c e d t h e c lo s u r e e x p r e s s io n f o r t h e m o m e n t u m p ) . W e t h u s o b t a in t h e in t e g r a l
k k − 1
� x | U ( δ t ) | x ⟩ ≈ e − i / k V ( x k ) δ t 1
≈ ( � | ⟩ � | )
d p e i / k p ( x k − x k − 1 ) e − i / k ( p 2 / 2 m ) δ t ,
w h e r e w e u s e d t h e f a c t � x k | p ⟩ ∝ e i / k p x k . T h e in t e g r a l o v e r p is j u s t t h e F o u r ie r t r a n s f o r m o f a G a u s s ia n , y ie ld in g a G a u s s ia n f u n c t io n o f x k — x k − 1 . T h e p r o b a b ilit y a m p lit u d e is t h e n
�
f
i
2
n 2
x | U ( t, 0 ) | x ⟩ ∝ 1
1
d x d x
. . . d x e i / k δ t [ 1 m ( x f − x n ) 2 /δ t 2 − V ( x n ) ] . . .
1 2 n
n
i
= 1 d x d x . . . d x e i / k δ t [ m v 2 / 2 − V ( x n ) ] . . . e i / k δ t [ m v 2 / 2 − V ( x i ) ]
—
2
�
w h e r e w e in t r o d u c e d t h e v e lo c it y v k = ( x k x k − 1 ) / δ t . T h e p r o b a b ilit y a m p lit u d e f o r t h e s y s t e m t o g o f r o m x i t o x f in t im e t is t h u s a s u m o f a m p lit u d e s o n e f o r e a c h p o s s ib le c la s s ic a l p a t h - w h o s e p h a s e is t h e s y s t e m ’s a c t io n S = L d t a lo n g t h e t r a j e c t o r y , w h e r e L = 1 m v 2 — V ( x ) = m v 2 — H is t h e L a g r a n g ia n o f t h e s y s t e m . T h is p h a s e is
e x p r e s s e d in u n it s o f n .
≫
W e h a v e d e r iv e d t h is im p o r t a n t r e s u lt b y a d m it t in g t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n f o r m a lis m o f q u a n t u m m e c h a n ic s . F e y n m a n p r o c e e d e d t h e o t h e r w a y a r o u n d , p o s t u la t in g t h a t a q u a n t u m s y s t e m f o llo w s a ll t h e c la s s ic a l t r a j e c t o r ie s w it h a m p lit u d e s h a v in g a p h a s e g iv e n b y t h e c la s s ic a l a c t io n a n d h a s d e r iv e d f r o m t h e r e S c h r ¨ o d in g e r ’s e q u a t io n . A t t h e c la s s ic a l lim it S / n 1 , t h e p h a s e a lo n g a t r a j e c t o r y e v o lv e s v e r y f a s t w h e n t h e p a t h is s lig h t ly m o d ifi e d , b y c h a n g in g f o r in s t a n c e o n e o f t h e x j . T h e a m p lit u d e s o f v a r io u s n e ig h b o r in g p a t h s t h u s in t e r f e r e d e s t r u c t iv e ly , le a v in g o n ly t h e c o n t r ib u t io n s o f t h e t r a j e c t o r ie s f o r w h ic h t h e p h a s e , h e n c e t h e a c t io n , is s t a t io n a r y . If t h e p a r t ic le s a c t io n in u n it s o f n is m u c h la r g e r t h a n 1 , t h e p a r t ic le f o llo w s a c la s s ic a l r a y . S u p p r e s s in g t h e c o n t r ib u t io n s t o t h e a m p lit u d e c o m in g f r o m t r a j e c t o r ie s f a r f r o m t h e c la s s ic a l o n e d o e s n o t a p p r e c ia b ly a ff e c t t h is a m p lit u d e .
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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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