3 . A x i o m s o f Q u a n tu m M e ch a n i cs
3 . 2 T h e ax i o m s o f q u an t u m m e c h an i c s
3 . 2 . 1 O b s e r v a b l e s a n d S t a t e S p a c e
3 . 2 . 2 Q u a n t u m m e a s u r e me n t
3 . 3 S t r o n g m e as u r e m e n t s
3 . 3 . 1 E x p e c t a t i o n v a l u e s
3 . 3 . 2 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s
3 . 3 . 3 R e p e a t e d m e a s u r e me n t s a n d Q u a n t u m Z e n o E ff e c t
3 . 1 I n t r o d u c t i o n
E v e r y p h y s ic a l t h e o r y is f o r m u la t e d in t e r m s o f m a t h e m a t ic a l o b j e c t s . It is t h u s n e c e s s a r y t o e s t a b lis h a s e t o f r u le s t o m a p p h y s ic a l c o n c e p t s a n d o b j e c t s in t o m a t h e m a t ic a l o b j e c t s t h a t w e u s e t o r e p r e s e n t t h e m 5 . S o m e t im e s t h is m a p p in g is e v id e n t , a s in c la s s ic a l m e c h a n ic s , w h ile f o r q u a n t u m m e c h a n ic s t h e m a t h e m a t ic a l o b j e c t s a r e n o t in t u it iv e . In t h e s a m e w a y a s c la s s ic a l m e c h a n ic s is f o u n d e d o n N e w t o n ’s la w o r e le c t r o d y n a m ic s o n t h e M a x w e ll- B o lt z m a n n e q u a t io n s , q u a n t u m m e c h a n ic s is a ls o b a s e d o n s o m e f u n d a m e n t a l la w s , w h ic h a r e c a lle d t h e p o s t u la t e s o r a x io m s o f q u a n t u m m e c h a n ic s . T h e a x io m s w e a r e g o in g t o s e e a p p ly t o t h e d y n a m ic s o f c lo s e d q u a n t u m s y s t e m s . W e w a n t t o d e v e lo p a m a t h e m a t ic a l m o d e l f o r t h e d y n a m ic s o f c lo s e d s y s t e m s : t h e r e f o r e w e a r e in t e r e s t e d in d e fi n in g s t a t e s , o b s e r v a b le s , m e a s u r e m e n t s a n d e v o lu t io n . S o m e s u b t le t ie s w ill a r is e s in c e w e a r e t r y in g t o d e fi n e m e a s u r e m e n t in a c lo s e d s y s t e m , w h e n t h e m e a s u r in g p e r s o n is in s t e a d o u t s id e t h e s y s t e m it s e lf . W e g iv e b e lo w ( a n d e x p la in in t h e n e x t f e w s e c t io n s ) o n e f o r m u la t io n o f t h e Q M a x io m s . D iff e r e n t p r e s e n t a t io n s ( f o r e x a m p le s t a r t in g f r o m d e n s it y o p e r a t o r s in s t e a d o f s t a t e v e c t o r s ) a r e p o s s ib le .
H
| )
1 . T h e p r o p e r t ie s o f a q u a n t u m s y s t e m a r e c o m p le t e ly d e fi n e d b y s p e c ifi c a t io n o f it s s t a t e v e c t o r ψ . T h e s t a t e v e c t o r is a n e le m e n t o f a c o m p le x H ilb e r t s p a c e c a lle d t h e s p a c e o f s t a t e s .
H
A
2 . W it h e v e r y p h y s ic a l p r o p e r t y ( e n e r g y , p o s it io n , m o m e n t u m , a n g u la r m o m e n t u m , ...) t h e r e e x is t s a n a s s o c ia t e d lin e a r , H e r m it ia n o p e r a t o r A ( u s u a lly c a lle d o b s e r v a b le ) , w h ic h a c t s in t h e s p a c e o f s t a t e s . T h e e ig e n v a lu e s o f t h e o p e r a t o r a r e t h e p o s s ib le v a lu e s o f t h e p h y s ic a l p r o p e r t ie s .
| ) | ) | ) | )
| ) | )
3 . a If ψ is t h e v e c t o r r e p r e s e n t in g t h e s t a t e o f a s y s t e m a n d if ϕ r e p r e s e n t s a n o t h e r p h y s ic a l s t a t e , t h e r e e x is t s a p r o b a b ilit y p ( ψ , ϕ ) o f fi n d in g ψ in s t a t e ϕ , w h ic h is g iv e n b y t h e s q u a r e d m o d u lu s o f t h e s c a la r p r o d u c t o n
H | ) | ) |( | ) |
: p ( ψ , ϕ ) = ψ ϕ 2 ( B o r n R u le ) .
|( | ) |
| ) | ) | ) | )
3 . b If A is a n o b s e r v a b le w it h e ig e n v a lu e s a k a n d e ig e n v e c t o r s k ( A k = a k k ) , g iv e n a s y s t e m in t h e s t a t e ψ , t h e p r o b a b ilit y o f o b t a in in g a k a s t h e o u t c o m e o f t h e m e a s u r e m e n t o f A is p ( a k ) = k ψ 2 . A f t e r t h e m e a s u r e m e n t t h e s y s t e m is le f t in t h e s t a t e p r o j e c t e d o n t h e s u b s p a c e o f t h e e ig e n v a lu e a k ( W a v e f u n c t io n c o lla p s e ) .
4 . T h e e v o lu t io n o f a c lo s e d s y s t e m is u n it a r y . T h e s t a t e v e c t o r | ψ ( t ) ) a t t im e t is d e r iv e d f r o m t h e s t a t e v e c t o r
| ψ ( t 0 ) ) a t t im e t 0 b y a p p ly in g a u n it a r y o p e r a t o r U ( t, t 0 ) , c a lle d t h e e v o lu t io n o p e r a t o r : | ψ ( t ) ) = U ( t, t 0 ) | ψ ( t 0 ) ) .
5 S e e : Le s l i e E . B a l l e n t i n e , “ Q u a n t u m M e c h a n i c s A M o d e r n D e v e l o p me n t ” , W o r l d S c i e n t i fi c P u b l i s h i n g ( 1 9 9 8 ) . W e f o l l o w h i s p r e s e n t a t i o n i n t h i s s e c t i o n .
3 . 2 Th e a x i o m s o f q u a n t u m m e c h a n i c s
3 . 2 . 1 O b s e r v a b l e s a n d S t a t e S p a c e
A p h y s ic a l e x p e r im e n t c a n b e d iv id e d in t o t w o s t e p s : p r e p a r a t io n a n d m e a s u r e m e n t . T h e fi r s t s t e p d e t e r m in e s t h e p o s s ib le o u t c o m e s o f t h e e x p e r im e n t , w h ile t h e m e a s u r e m e n t r e t r ie v e s t h e v a lu e o f t h e o u t c o m e . In Q M t h e s it u a t io n is s lig h t ly d iff e r e n t : t h e fi r s t s t e p d e t e r m in e s t h e p r o b a b i l i t i e s o f t h e v a r io u s p o s s ib le o u t c o m e s , w h ile t h e m e a s u r e m e n t r e t r ie v e t h e v a lu e o f a p a r t ic u la r o u t c o m e , in a s t a t is t ic m a n n e r . T h is s e p a r a t io n o f t h e e x p e r im e n t is r e fl e c t e d in t o t h e t w o t y p e s o f m a t h e m a t ic a l o b j e c t s w e fi n d in Q M . T h e fi r s t s t e p c o r r e s p o n d s t o t h e c o n c e p t o f a s t a t e o f t h e s y s t e m , w h ile t h e s e c o n d t o o b s e r v a b le s .
| )
T h e s t a t e g iv e s a c o m p le t e d e s c r ip t io n o f t h e s e t o f p r o b a b ilit ie s f o r a ll o b s e r v a b le s , w h ile t h e s e la s t o n e s a r e a ll d y n a m ic a l v a r ia b le s t h a t in p r in c ip le c a n b e m e a s u r e d . A ll t h e in f o r m a t io n is c o n t a in e d in t h e s t a t e , ir r e s p e c t iv e ly o n h o w I g o t t h e s t a t e , o f it s p r e v io u s h is t o r y . F o r t h e m o m e n t w e w ill id e n t if y t h e s t a t e w it h t h e v e c t o r s o f a n H ilb e r t s p a c e ψ . W e w ill s e e la t e r o n t h a t a m o r e g e n e r a l d e fi n it io n e x is t s in t e r m s o f s t a t e o p e r a t o r s ρ .
A ll p h y s ic a l o b s e r v a b le s ( d e fi n e d b y t h e p r e s c r ip t io n o f e x p e r im e n t o r m e a s u r e m e n t ) a r e r e p r e s e n t e d b y a lin e a r o p e r a t o r t h a t o p e r a t e s in lin e a r in n e r p r o d u c t s p a c e ( a n H ilb e r t s p a c e in c a s e o f fi n it e d im e n s io n a l s p a c e s ) . S t a t e s o f t h e s y s t e m a r e r e p r e s e n t e d b y t h e d ir e c t io n / r a y ( n o t a v e c t o r ) in t h e lin e a r in n e r p r o d u c t s p a c e ( a g a in H ilb e r t s p a c e in t h e fi n it e d im e n s io n a l c a s e ) .
3 . 2 . 2 Q u a n t u m m e a s u r e m e n t
T h e v a lu e o f t h e m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b le is o n e o f t h e o b s e r v a b le e ig e n v a lu e s . T h e p r o b a b ilit y o f o b t a in in g o n e p a r t ic u la r e ig e n v a lu e is g iv e n b y t h e m o d u lu s s q u a r e o f t h e in n e r p r o d u c t o f t h e s t a t e v e c t o r o f t h e s y s t e m w it h t h e c o r r e s p o n d in g e ig e n v e c t o r . T h e s t a t e o f t h e s y s t e m im m e d ia t e ly a f t e r t h e m e a s u r e m e n t is t h e n o r m a liz e d p r o j e c t io n o f t h e s t a t e p r io r t o t h e m e a s u r e m e n t o n t o t h e e ig e n v e c t o r s u b s p a c e .
| ) | ) | ) | )
L e t A b e t h e o b s e r v a b le w it h e ig e n v a lu e s a k a n d e ig e n v e c t o r s k : A k = a k k . G iv e n a s y s t e m in t h e s t a t e ψ , t h e p r o b a b ilit y o f o b t a in in g a k a s t h e o u t c o m e o f t h e m e a s u r e m e n t o f A in t h is s y s t e m is
p ( a k ) = |( k | ψ ) | 2 .
| )
| ) ( | ( | | )
W e c a n a ls o w r it e t h is in t e r m s o f t h e k t h e ig e n v e c t o r p r o j e c t o r P k = k k : p ( a k ) = ψ P k ψ . S in c e h e r e w e a r e c o n s id e r in g s t r o n g , p r o j e c t iv e m e a s u r e m e n t , a ls o c a lle d V o n N e u m a n n m e a s u r e m e n t s , im m e d ia t e ly a f t e r a m e a s u r e m e n t t h a t g a v e u s t h e r e s u lt a k , t h e s t a t e o f t h e s y s t e m is in t h e k e ig e n s t a t e . M o r e p r e c is e ly , t h e n o r m a liz e d o u t p u t s t a t e a f t e r t h e m e a s u r e m e n t is
| ) � |( ψ | P | ψ ) |
′ P k | ψ )
ψ = .
k
| ) | ) | )
If w e r e p e a t t h e e x p e r im e n t a f t e r t h e fi r s t m e a s u r e m e n t , w e w ill o b t a in a g a in t h e s a m e r e s u lt ( w it h p r o b a b ilit y 1 ) . If ψ is a n e ig e n s t a t e o f A , A ψ = a ψ ψ , t h e n w e w ill m e a s u r e a ψ w it h p r o b a b ilit y u n it y . T h is is t h e w e ll- k n o w n c o lla p s e o f t h e w a v e f u n c t io n .
T h e c o lla p s e o f t h e w a v e f u n c t io n is o f c o u r s e a s o u r c e o f c o n f u s io n a n d c o n t r a d ic t io n s : a s s t a t e d a b o v e it a p p e a r s a s a n a lm o s t in s t a n t a n e o u s e v o lu t io n o f t h e s y s t e m f r o m a g iv e n s t a t e t o a n o t h e r o n e , a n e v o lu t io n w h ic h is n o t u n it a r y ( a s e v o lu t io n s h o u ld b e p e r a x io m # 4 ) . T h e s o u r c e o f c o n t r a d ic t io n s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t in t h is s im p le d e s c r ip t io n o f t h e m e a s u r e m e n t , t h e o b s e r v e r ( o r t h e m e a s u r e m e n t a p p a r a t u s ) a r e e x t e r n a l t o t h e s y s t e m ( t h u s t h e a s s u m p t io n o f c lo s e d s y s t e m is n o t r e s p e c t e d ) a n d m ig h t n o t e v e n b e q u a n t u m - m e c h a n ic a l. A m o r e a d v a n c e d t h e o r y o f m e a s u r e m e n t a t t e m p t s t o s o lv e t h e s e is s u e s 6 .
O n t h e o t h e r s id e , w e n o t e t h a t o p e r a t io n a lly t h e w a v e f u n c t io n c o lla p s e is r e q u ir e d t o d e fi n e a w e ll- f o r m u la t e d t h e o r y . T h e c o lla p s e a llo w s t h e e x p e r im e n t e r t o c h e c k t h e r e s u lt o f t h e m e a s u r e m e n t b y r e p e a t in g it ( o n t h e s y s t e m j u s t o b s e r v e d ) t h u s g iv in g c o n fi d e n c e o n t h e m e a s u r e m e n t a p p a r a t u s a n d p r o c e d u r e . If t h is w e r e n o t t h e c a s e , n o m e a s u r e m e n t c o u ld b e e v e r b e lie v e d t o b e t h e c o r r e c t o n e , s o n o c o n fi r m a t io n o f t h e t h e o r y c o u ld b e d o n e .
R e f e r e n c e
M . B r u n e , E . H a g le y , J . D r e y e r , X . M a t r e , A . M a a li, C . W u n d e r lic h , J . M . R a im o n d , a n d S . H a r o c h e O b s e r v i n g t h e P r o g r e s s i v e D e c o h e r e n c e o f t h e M e t e r i n a Q u a n t u m M e a s u r e m e n t , P h y s . R e v . L e t t . 7 7 , 4 8 8 7 - 4 8 9 0 ( 1 9 9 6 )
6 I n a d d i t i o n t o t h e “ s t r o n g ” o r p r o j e c t i v e me a s u r e me n t p r e s e n t e d h e r e , g e n e r a l i z e d m o d e l s f o r me a s u r e me n t e x i s t , s e e f o r e x a m p l e P O V M i n P r o f . P r e s k i l l ’ s o n l i n e n o t e s
3 . 2 . 3 L a w o f m o t i o n
W e c a n d e fi n e t h e t im e e v o lu t io n o p e r a t o r U , s u c h t h a t
| ψ ′ ) = U | ψ ) , w it h U † U = 1 .
S in c e t h e s t a t e h a s a ll t h e in f o r m a t io n a b o u t t h e s y s t e m a t t im e t , t h e s t a t e o f t h e s y s t e m a t t h e t im e t + d t d e p e n d s o n ly o n t h e s t a t e a t t im e t a n d o n t h e e v o lu t io n o p e r a t o r U ( t, t + d t ) ( t h a t t h u s d e p e n d s o n ly o n t h e t im e s t a n d t + d t , n o t o n a n y p r e v io u s t im e s , o t h e r w is e it w o u ld b r in g e x t r a in f o r m a t io n t o t h e s y s t e m ) .
H
T h e u n it a r it y o f t h e e v o lu t io n is e q u iv a le n t t o t h e f o llo w in g s t a t e m e n t r e g a r d in g t h e e v o lu t io n o f t h e s t a t e v e c t o r . T h e d y n a m ic s o f t h e s y s t e m a r e g e n e r a t e d b y t h e s y s t e m H a m ilt o n ia n ( t h e o b s e r v a b le c o r r e s p o n d in g t o t h e t o t a l e n e r g y o f t h e s y s t e m ) , a s d e s c r ib e d b y S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n :
d t
i I d | ψ ) = H | ψ )
×
w h e r e I is t h e r e d u c e d P la n c k ’s c o n s t a n t 7 ( 1 . 0 5 4 5 1 0 − 3 4 J s ) .
W e w o u ld lik e t o lin k t h is s e c o n d s t a t e m e n t ( S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n ) t o t h e p r e v io u s s t a t e m e n t r e g a r d in g t h e u n it a r it y o f t h e e v o lu t io n . T o d o s o w e fi r s t lo o k a t t h e e v o lu t io n f o r a n in fi n it e s im a l t im e d t .
— H H ≈
| ) | ) − H | ) − H
F o r a n in fi n it e s im a l e v o lu t io n w e h a v e t h e n : ψ ( t + d t ) = ψ i d t ψ . It f o llo w s t h a t U ( t, d t ) = 1 1 i d t . S in c e t h e H a m ilt o n ia n is a s e lf - a d j o in t o p e r a t o r , t o t h e s a m e o r d e r o f a p p r o x im a t io n w e r e t r ie v e t h e f a c t t h a t U is u n it a r y : U U † = ( 1 1 i d t ) ( 1 1 + i d t ) 1 1 + o ( d t 2 ) .
—
W e c a n b u ild t h e d y n a m ic s f o r a n y t im e d u r a t io n in t e r m s o f in fi n it e s im a l e v o lu t io n s , U ( t, t ′ ) = U ( t ′ , t ′ d t ) . . . U ( t + 2 d t, t + d t ) U ( t + d t, t ) s in c e t h e p r o p a g a t o r U d e p e n d s o n ly o n t h e t im e t .
| ) | )
If t h e H a m ilt o n ia n is t im e in d e p e n d e n t ( a n d s e t t in g t ′ = 0 ) , w e o b t a in : ψ ( t ) = U ( 0 , t ) ψ ( 0 ) , w h e r e t h e e v o lu t io n o p e r a t o r U is g iv e n b y U = e − i H t , i.e . U is a n e x p o n e n t ia l o p e r a t o r .
? Q u e s t i o n : S h o w f r o m t h e i n fi n i t e s i ma l t i me p r o d u c t a n d t h e T a y l o r e x p a n s i o n f o r t h e e x p o n e n t i a l t h a t t h i s i s i n d e e d t h e c a s e .
E q u iv a le n t ly , w e c a n fi n d a d iff e r e n t ia l e q u a t io n f o r t h e d y n a m ic s o f t h e p r o p a g a t o r : f r o m U ( t + d t, t 0 ) − U ( t, t 0 ) =
i
— K H U ( t, t 0 ) w e h a v e t h e S c h r ¨ o d in g e r e q u a t io n f o r t h e t im e e v o lu t io n o p e r a t o r ( p r o p a g a t o r ) :
H
i I ∂ U = U
∂ t
T h is e q u a t io n is v a lid a ls o w h e n t h e H a m ilt o n ia n is t im e - d e p e n d e n t ( a n d w e w ill s e e la t e r o n a f o r m a l s o lu t io n t o t h is e q u a t io n ) .
A s t h e H a m ilt o n ia n r e p r e s e n t s t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m , it s s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n is d e fi n e d in t e r m s o f t h e
L
U =
k e − i ǫ k t | k ) ( k | . T h e e ig e n v a lu e s o f U a r e t h e r e f o r e s im p ly e − i ǫ k t , a n d it is c o m m o n t o t a lk in t e r m s o f e ig e n
e n e r g y e ig e n v a lu e s ǫ k , w it h c o r r e s p o n d in g e ig e n v e c t o r s | k ) : H = L k ǫ k | k ) ( k | . T h e e v o lu t io n o p e r a t o r is t h e n :
—
p h a s e s ǫ k t . If t h e H a m ilt o n ia n is t im e - in d e p e n d e n t w e h a v e a ls o U † = U ( t ) , it is p o s s ib le t o o b t a in a n e ff e c t iv e in v e r s io n o f t h e t im e a r r o w .
? Q u e s t i o n : W h a t i s t h e e v o l u t i o n o f a n e n e r g y e i g e n v e c t o r | k ) ?
F i r s t c o n s i d e r t h e i n fi n i t e s i ma l e v o l u t i o n : | k ( t + d t ) ) = U ( t + d t , t ) | k ( t ) ) = ( 1 1 − i H d t ) | k ( t ) ) = ( 1 − i ǫ k d t ) | k ( t ) ) . T h u s w e h a v e
t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e e n e r g y e i g e n k e t : d | k ) = − i ǫ k | k ) , s o t h a t | k ( t ) ) = e − i ǫ k t | k ( 0 ) ) . W e c a n a l s o u s e t h e s p e c t r a l
d e c o m p o s i t i o n o f U : | k ( t ) ) = U ( t , 0 ) | k ( 0 ) ) = ( L h
dt
e − i ǫ h t | h ) ( h | ) | k ( 0 ) ) = e − i ǫ k t | k ( 0 ) ) .
In c o n c lu s io n , o u r p ic t u r e o f Q M is a m a t h e m a t ic a l f r a m e w o r k in w h ic h t h e s y s t e m is c o m p le t e ly d e s c r ib e d b y it s s t a t e , w h ic h u n d e r g o e s a de t e r m i ni s t i c e v o lu t io n ( a n d in v e r t ib le e v o lu t io n ) . T h e m e a s u r e m e n t p r o c e s s , w h ic h c o n n e c t s t h e m a t h e m a t ic a l t h e o r y t o t h e o b s e r v e d e x p e r im e n t s , is p r o b a b ilis t ic .
7 W e w i l l q u i t e o f t e n s e t I = 1 , t h a t i s , w e w i l l me a s u r e t h e e n e r g i e s i n f r e q u e n c y u n i t s
3 . 3 S t r o n g m e a s u r e m e n t s
3 . 3 . 1 E x p e c t a t i o n v a l u e s
A lt h o u g h t h e r e s u lt o f a s in g le m e a s u r e m e n t is p r o b a b ilis t ic , w e a r e u s u a lly in t e r e s t e d in t h e a v e r a g e o u t c o m e , w h ic h g iv e s u s m o r e in f o r m a t io n a b o u t t h e s y s t e m a n d o b s e r v a b le . T h e a v e r a g e o r e x p e c t a t i o n v a l u e o f a n o b s e r v a b le f o r a s y s t e m in s t a t e | ψ ) is g iv e n b y
( A ) = ( ψ | A | ψ )
? Q u e s t i o n : P r o v e t h a t t h i s c a n b e s i mp l y d e r i v e d f r o m t h e u s u a l d e fi n i t i o n o f a v e r a g e
( A ) = L p ( a k ) a k = L | ( ψ | a k ) | 2 a k = L ( ψ | n ) ( n | ψ ) a k = ( ψ | ( L a k | k ) ( k | ) | ψ ) , a n d w e g e t t h e d e s i r e d r e s u l t f r o m A =
L n a k | k
n
) ( k | .
n n n
3 . 3 . 2 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s
D
: C o m p a t i b l e O b s e r v a b l e s T w o o b s e r v a b le s A , B a r e s a id t o b e c o m p a t ib le if t h e ir c o r r e s p o n d in g o p e r a t o r s c o m m u t e [ A , B ] = 0 a n d in c o m p a t ib le o t h e r w is e .
D
: D e g e n e r a c y If t h e r e e x is t t w o ( o r m o r e ) e ig e n s t a t e s o f a n o p e r a t o r A w it h t h e s a m e e ig e n v a lu e s , t h e y a r e c a lle d d e g e n e r a t e .
W e h a v e a lr e a d y s e e n h o w c o m m u t in g o p e r a t o r s h a v e c o m m o n e ig e n v e c t o r s a n d h o w a c o m p a t ib le o b s e r v a b le s c a n b e u s e d t o d is t in g u is h b e t w e e n d e g e n e r a t e e ig e n v e c t o r s . W e n o w lo o k f r o m a m o r e p h y s ic a l p o in t o f v ie w a t t h e m e a n in g o f c o m m u t in g ( o r c o m p a t ib le ) o b s e r v a b le s . S u p p o s e w e fi r s t m e a s u r e A , g iv e n a s t a t e | ψ ) . W e r e t r ie v e e .g . t h e e ig e n v a lu e a a n d t h e s t a t e is n o w p r o j e c t e d in t o t h e e ig e n s t a t e | a ) . A llo w in g f o r t h e p r e s e n c e o f d e g e n e r a t e
e ig e n s t a t e s , w e a c t u a lly h a v e a s u p e r p o s it io n s t a t e | ψ ) P o s t - M e a s = L d c i | a , b i ) , w h e r e d is t h e d e g r e e o f d e g e n e r a c y
i = 1 )
o f t h e e ig e n v a lu e a . W e t h e n m e a s u r e B o b t a in in g o n e o f t h e b i , ˜ b . T h e s t a t e is t h u s p r o j e c t e d in t o a , ˜ b . If w e n o w
m e a s u r e a g a in A w e w ill r e t r ie v e t h e s a m e r e s u lt a s b e f o r e : t h e t w o m e a s u r e m e n t s o f c o m m u t in g o b s e r v a b le s A a n d
)
B d o n o t in t e r f e r e .
C o n s id e r n o w n o n - c o m m u t in g o b s e r v a b le s . A s A B | ψ ) / = B A | ψ ) w e c a n n o t d e fi n e a s t a t e a , ˜ b w h ic h is d e s c r ib e d
b y t h e ( s e p a r a t e ) e ig e n v e c t o r s o f t h e t w o o b s e r v a b le s . A ls o , if w e r e p e a t t h e s a m e 3 s u c c e s s iv e m e a s u r e m e n t s a s a b o v e , w e o b t a in a d iff e r e n t r e s u lt . In p a r t ic u la r , t h e s e c o n d m e a s u r e m e n t o f A d o e s n o t in g e n e r a l r e t r ie v e t h e s a m e e ig e n v a lu e a s t h e fi r s t o n e .
? Q u e s t i o n : S h o w w h y me a s u r e m e n t o f n o n - c o mm u t i n g o b s e r v a b l e s a r e n o t c o m p a t i b l e .
L
G i v e n a s t a t e | ψ ) w e me a s u r e A , w i t h r e s u l t a . T h e s t a t e i s n o w p ro j e c t e d i n t o t h e e i g e n s t a t e | a ) a s b e f o r e ( w e n e g l e c t h e r e d e g e n e r a c y ) . N o w w e r e w r i t e t h i s s t a t e i n t h e b a s i s o f t h e o p e r a t o r B ( w h i c h i s n o t t h e s a m e a s t h e b a s i s f o r A , s o | a ) ∈ / { | b i ) } ) :
2
| a ) = i c i ( a ) | b i ) . W h e n w e m e a s u r e B w e w i l l t h e r e f o r e o b t a i n a n e i g e n v a l u e b i w i t h p r o b a b i l i t y | c i ( a ) | , a n d t h e s t a t e i s
p r o j e c t e d i n t o : √ P i | a ) =
| b i ) ( b i | a )
= | b i ) .
L
| ( a | P i | a ) | | | a ) ( | b i ) ( b i | ) ( a | | 1 / 2
A g a i n , t h i s c a n b e w r i t t e n a s a n o n - t r i v i a l s u p e r p o s i t i o n o f e i g e n s t a t e s o f A : | b i ) = j c j ( b i ) | a j ) s o t h a t i t i s n o w p o s s i b l e t o o b t a i n a me a s u r e m e n t a j / = a w h e n w e a g a i n me a s u r e A .
s q u a r e is t h e v a r ia n c e o f A :
D : V a r i a n c e o f a n o p e r a t o r .
W e d e fi n e a n o p e r a t o r ∆ A = A − ( A ) f o r a n y o b s e r v a b le A . T h e e x p e c t a t io n v a lu e o f it s
2
∆ A 2
=
A 2
— ( A ) .
• T h e o r e m: ( U nc e r t a i n t y r e l a t i o n ) . F o r a n y t w o o b s e r v a b le s , w e h a v e
( ) ( )
( ∆ A 2 ) ( ∆ B 2 )
≥ 4 | (
1
[ A , B ] ) | 2
2
F r o m S c h w a r t z in e q u a lit y ( |( ψ | ϕ ) | 2 ≤ ( ψ | ψ ) ( ϕ | ϕ ) ) w e h a v e ( ∆ A 2 ) ( ∆ B 2 ) ≥ | ( ∆ A ∆ B ) | 2 . N o w ∆ A ∆ B = 1 [ ∆ A , ∆ B ]+
1
2 { ∆ A , ∆ B } ( w h e r e w e d e fi n e d t h e a n t ic o m m u t a t o r { A , B } = A B + B A ) . T a k in g t h e e x p e c t a t io n v a lu e ( n o t in g t h a t
( [ ∆ A , ∆ B ] ) = ( [ A , B ] ) ) w e h a v e 1 1
( ∆ A ∆ B ) = 2 ( [ A , B ] ) + 2 ( { ∆ A , ∆ B } ) .
{ }
1
N o w w e c a n s h o w t h a t [ A , B ] = i C a n d A , B = D w h e r e C a n d D a r e h e r m it ia n o p e r a t o r s . T h e n t h e fi r s t t e r m in t h e R H S is p u r e ly im a g in a r y a n d t h e s e c o n d p u r e ly r e a l. T h u s w e h a v e :
4 4
} ) |
≥ 4 | (
( ∆ A 2 ) ( ∆ B 2 ) ≥ | ( ∆ A ∆ B ) | 2 = 1 | ( [ A , B ] ) | 2 + 1 | ( { ∆ A , ∆ B 2
[ A , B ] ) | 2 .
3 . 3 . 3 R e p e a t e d m e a s u r e m e n t s a n d Q u a n t u m Z e n o E ff e c t
A . Ph o to n P o l a r i za ti o n
In t h e s a m e w a y a n e le c t r o m a g n e t ic w a v e c a n b e p o la r iz e d , a ls o in d iv id u a l p h o t o n s p o s s e s s a p o la r iz a t io n . In p a r t ic u la r t h e y c a n b e in a s t a t e o f lin e a r o r c ir c u la r p o la r iz a t io n ( t h e m o s t g e n e r a l c a s e , is c a lle d e llip t ic a l p o la r iz a t io n ) . W e c o n s id e r a p h o t o n p o la r iz e r . T h is c a n b e t h o u g h t a s a fi lt e r t h a t e n s u r e s p h o t o n s c o m in g o u t o f it a r e o n ly o f t h e r ig h t p o la r iz a t io n .
— In - c la s s d e m o n s t r a t io n w it h p o la r iz e r fi lt e r s —
|( | ) | | ) ( |
| )
| ) ( | | )
| ) | )
T h e p h o t o n p o la r iz e r ( a p o la r iz a t io n fi lt e r ) is v e r y s im ila r t o a m e a s u r e m e n t p r o c e s s a n d in d e e d it c a n b e d e s c r ib e d b y a p r o j e c t o r . L e t ’s a s s u m e t h a t lig h t c a n b e d e s c r ib e d a s e it h e r b e in g in t h e h o r iz o n t a l h o r v e r t ic a l v p o la r iz a t io n . T h e n , f o r a n h o r iz o n t a l p o la r iz e r , f o r e x a m p le , w e h a v e P H = h h . If w e s e n d a p h o t o n in t h e s t a t e ψ t h r o u g h t h is lin e a r ( h o r iz o n t a l) p o la r iz e r , it s s t a t e a f t e r t h e p o la r iz e r w ill b e h . H o w e v e r t h e p h o t o n w ill e m e r g e o n ly w it h a p r o b a b ilit y h ψ 2 . If w e t h e n s e n d t h e p h o t o n t o a n o r t h o g o n a l ( v e r t ic a l) p o la r iz e r P V = v v , t h e p r o b a b ilit y o f a p h o t o n c o m in g o u t is j u s t z e r o . T h is s it u a t io n is v e r y s im ila r t o t h e c a s e o f r e p e a t e d m e a s u r e m e n t . T h u s t h e p o la r iz e r is a m e a s u r e m e n t p r o c e s s .
N o w le t ’s s e n d a n h o r iz o n t a lly p o la r iz e d p h o t o n ( | h ) ) t h r o u g h a 4 5 d e g r e e s p o la r iz e r . T h is p o la r iz √ e r c a n b e d e s c r ib e d
b y t h e p r o j e c t o r o p e r a t o r P 4 5 = | h + v ) ( h + v | / 2 . T h e s t a t e a f t e r t h e p o la r iz e r is t h e n ( | h + v ) / 2 , a n d t h e p r o b a
2
| ) ( | | )
b ilit y o f c o m in g o u t is 1 . If n o w w e s e n d t h is p h o t o n t h r o u g h a v v p o la r iz e r , w e o b t a in a s a fi n a l s t a t e v , a n d t h e t o t a l p r o b a b ilit y is 1 / 4 ( c o m p a r e t o z e r o b e f o r e ) .
W e c a n e x t e n d t h is e v e n f u r t h e r . A s s u m e w e h a v e a la r g e n u m b e r o f p o la r iz e r s e a c h e n s u r in g a p o la r iz a t io n a t a g r o w in g a n g le , e a c h in a s m a ll s t e p ϑ w it h t h e h o r iz o n t a l ( t h a t is , t h e fi r s t p o la r iz e r ’s a n g le is ϑ , t h e s e c o n d 2 ϑ e t c .) . T h e r e le v a n t p r o j e c t o r is t h e n
P n ( ϑ ) = ( c o s ( n ϑ ) | h ) + s in ( n ϑ ) | v ) ) ( c o s ( n ϑ ) ( h | + s in ( n ϑ ) ( v | ) .
| ) | ) | )
| ) | ) | ) | ( | ( | | ) |
| ) | )
W e s t a r t w it h a p h o t o n h o r iz o n t a lly p o la r iz e d ψ 0 = h . A f t e r t h e fi r s t p o la r iz e r , t h e p h o t o n e m e r g e s t h r o u g h in t h e s t a t e ψ 1 = c o s ϑ h + s in ϑ v w it h p r o b a b ilit y p 1 ( ϑ ) = ( c o s ϑ h + s in ϑ v ) h 2 = c o s 2 ϑ . N o w p a s s in g t h r o u g h t h e s e c o n d p o la r iz e r t h e p h o t o n w ill e m e r g e a g a in w it h p r o b a b ilit y c o s 2 ϑ a n d in t h e s t a t e ψ 1 = c o s ( 2 ϑ ) h + s in ( 2 ϑ ) v . A f t e r n p o la r iz e r s , t h e s t a t e o f t h e e m e r g in g p h o t o n is
| ψ ) n = c o s ( n ϑ ) | h ) + s in ( n ϑ ) | v ) .
≈
O f c o u r s e , w e c o u ld g e t n o p h o t o n a t a ll, h o w e v e r t h e c o m b in e d p r o b a b ilit y o f g e t t in g a p h o t o n is c o s ( ϑ ) 2 n 1 if t h e a n g le ϑ is s m a ll a n d t h e n u m b e r o f p o la r iz e r n is la r g e . T h u s w e o b t a in a n e v o lu t io n o f t h e s y s t e m b y u s in g a m e a s u r e m e n t p r o c e s s .
B . Q u a n tu m Z e n o e ff e c t
{ }
W e c o n s id e r a p h o t o n p o la r iz a t io n r o t a t o r , w h o s e a c t io n is t o r o t a t e t h e p o la r iz a t io n a b o u t t h e p r o p a g a t io n a x is . B y d e n o t in g h , v t h e h o r iz o n t a l a n d v e r t ic a l p o la r iz a t io n , r e s p e c t iv e ly , t h e p o la r iz a t io n r o t a t o r a c h ie v e s t h e f o llo w in g t r a n s f o r m a t io n :
a)
0 2 3 ... n
b )
P R P R P R P R
F i g . 1 : a ) R o t a t i o n b y me a s u r e m e n t . b ) Q u a n t u m Z e n o e ff e c t
T h is c o r r e s p o n d s t o t h e e v o lu t io n m a t r ix U :
| h ) → c o s ( ϑ ) | h ) + s in ( ϑ ) | v )
| v ) → c o s ( ϑ ) | v ) − s in ( ϑ ) | h )
�
�
U = c o s ( ϑ ) s in ( ϑ )
— s in ( ϑ ) c o s ( ϑ )
? Q u e s t i o n : W h a t a r e t h e e i g e n s t a t e s o f U ?
B y d i a g o n a l i z i n g t h e m a t r i x , w e fi n d t h e e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o r i g h t a n d l e f t p o l a r i z a t i o n :
√
R = ( | h ) + i | v ) ) / √ 2
L = ( − i | h ) + | v ) ) / 2
W i t h e i g e n v a l u e s e i ϑ a n d e − i ϑ r e s p e c t i v e l y . T h e e v o l u t i o n g i v e n b y t h e p o l a r i z a t i o n r o t a t o r i s u n i t a r y .
N o w a s s u m e a n o t h e r e x p e r im e n t in w h ic h w e a lt e r n a t e a p o la r iz e r r o t a t o r a n d a n h o r iz o n t a l p o la r iz e r . F ir s t c o n s id e r j u s t a s e t o f p o la r iz e r r o t a t o r s , e a c h d e s c r ib e d b y t h e f o r m u la a b o v e :
�
�
U ( ϑ ) = c o s ( ϑ ) s in ( ϑ )
— s in ( ϑ ) c o s ( ϑ )
| ) | )
| ) | ) | ) | )
A f t e r n o f t h e s e r o t a t o r s , t h e p h o t o n is r o t a t e d t o U ( ϑ ) n h = U ( n ϑ ) h = c o s ( n ϑ ) h + s in ( n ϑ ) v . N o w if w e a lt e r n a t e w it h t h e h o r iz o n t a l p o la r iz e r , e v e r y t im e t h e p h o t o n is t r a n s m it t e d w it h p r o b a b ilit y c o s 2 ϑ a n d r o t a t e b a c k t o h . A g a in f o r ϑ s m a ll, t h e p r o b a b ilit y o f a p h o t o n e m e r g in g t e n d s t o 1 , a n d t h e fi n a l s t a t e o f t h e p h o t o n is h . T h is is a p h e n o m e n o n c a lle d q u a n t u m Z e n o e ff e c t 8 o r w e c a n c a ll it a ” w a t c h e d m ilk n e v e r b o ils ” p h e n o m e n o n . T h e r e p e a t e d m e a s u r e m e n t s in h ib it a ( s lo w ) e v o lu t io n .
R e f e r e n c e s
• B . M is r a a n d E . C . G . S u d a r s h a n , T h e Z e n o ’ s p a r a d o x i n q u a n t u m t h e o r y J . M a t h . P h y s . 1 8 , 7 5 6 ( 1 9 7 7 ) .
• W . M . It a n o , D . J . H e in z e n , J . J . B o llin g e r , a n d D . J . W in e la n d , Q u a n t u m Z e n o e ff e c t , P h y s . R e v . A 4 1 , 2 2 9 5 - 2 3 0 0 ( 1 9 9 0 ) .
•
S a v e r io P a s c a z io , M ik io N a m ik i, G e r a ld B a d u r e k a n d H e lm u t R a u c h Q u a n t u m Z e n o e ff e c t w i t h n e u t r o n s p i n , P h y s ic s L e t t e r s A , 1 7 9 , 1 5 5 - 1 6 0 , ( 1 9 9 3 ) .
8 Z e n o ’ s p a r a d o x e s a r e a s e t o f p r o b l e m s ( 8 o f w h i c h s u r v i v i n g ) g e n e r a l l y t h o u g h t t o h a v e b e e n d e v i s e d b y Z e n o o f E l e a t o s u p p o r t P a r me n i d e s ’ s d o c t r i n e t h a t ” a l l i s o n e ” a n d t h a t i n p a r t i c u l a r , c o n t r a r y t o t h e e v i d e n c e o f o u r s e n s e s , mo t i o n i s n o t h i n g b u t a n i l l u s i o n . T h e a rr o w p a r a d o x a s r e l a t e d b y A r i s t o t l e , ( P h y s i c s V I : 9 , 2 3 9 b 5 ) s t a t e s t h a t ” T h e t h i r d i s . . . t h a t t h e fl y i n g a r r o w i s a t r e s t , w h i c h r e s u l t f o l l o w s f r o m t h e a s s u mp t i o n t h a t t i me i s c o mp o s e d o f mo me n t s h e s a y s t h a t i f
e v e r y t h i n g w h e n i t o c c u p i e s a n e q u a l s p a c e i s a t r e s t , a n d i f t h a t w h i c h i s i n l o c o mo t i o n i s a l w a y s i n a n o w , t h e fl y i n g a r r o w i s t h e r e f o r e m o t i o n l e s s . ” T o ma k e t h e a r g u m e n t mo r e s i m i l a r t o t h e Q M v e r s i o n , w e c a n r e p h r a s e i t a s : I f y o u l o o k a t a n a r r o w i n fl i g h t , a t a n i n s t a n t i n t i me , i t a p p e a r s t h e s a me a s a mo t i o n l e s s a r r o w . T h e n h o w d o w e s e e mo t i o n ?
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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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