1 0 . T h e e l e ctr o m a g n e ti c fie l d
1 0 . 1 C l as s i c al t h e o r y o f t h e e . m . fi e l d
1 0 . 2 Q u an t i z at i o n o f t h e e . m . fi e l d
1 0 . 2 . 1 Z e ro - P o i n t E n e r g y a n d t h e C a s i m i r F o r c e
1 0 . 3 Q u an t i z at i o n o f t h e e . m . fi e l d i n t h e C o u l o m b g au g e
1 0 . 4 S t at e s o f t h e e . m . fi e l d
1 0 . 4 . 1 P h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s
1 0 . 4 . 2 C o h e r e n t s t a t e s
1 0 . 4 . 3 M e a s u r e m e n t S t a t i s t i c s
1 0 . 5 A t o m i c i n t e r ac t i o n s w i t h t h e q u an t i z e d fi e l d
W e w ill n o w p r o v id e a q u a n t o - m e c h a n ic a l d e s c r ip t io n o f t h e e le c t r o - m a g n e t ic fi e ld . O u r m a in in t e r e s t w ill b e in a n a ly z in g p h e n o m e n a lin k e d t o a t o m ic p h y s ic s a n d q u a n t u m o p t ic s , in w h ic h a t o m s in t e r a c t s w it h r a d ia t io n . S o m e p r o c e s s e s c a n b e a n a ly z e d w it h a c la s s ic a l d e s c r ip t io n : f o r e x a m p le w e s t u d ie d t h e p r e c e s s in g a n d t h e m a n ip u la t io n o f a s p in b y c la s s ic a l s t a t ic a n d r f m a g n e t ic fi e ld s . A b s o r p t io n a n d e m is s io n o f lig h t b y a n a t o m c a n a ls o b e d e s c r ib e d a s t h e in t e r a c t io n w it h a c la s s ic a l fi e ld . S o m e o t h e r p h e n o m e n a , s u c h a s s p o n t a n e o u s e m is s io n , c a n o n ly a r is e f r o m a Q M d e s c r ip t io n o f b o t h t h e a t o m a n d t h e fi e ld . T h e r e a r e v a r io u s e x a m p le s in w h ic h t h e im p o r t a n c e o f a q u a n t u m t r e a t m e n t o f e le c t r o m a g n e t is m b e c o m e s e v id e n t :
– C a s im ir f o r c e
– S p o n t a n e o u s e m is s io n , L a m b S h if t
– L a s e r lin e w id t h , p h o t o n s t a t is t ic s
– S q u e e z e d p h o t o n s t a t e s , s t a t e s w it h s u b p o is s o n ia n d is t r ib u t io n ,
– Q u a n t u m b e a t s , t w o p h o t o n in t e r f e r e n c e , e t c .
1 0 . 1 Cl a s s i c a l t h e o r y o f t h e e . m . fi e l d
B e f o r e in t r o d u c in g t h e q u a n t iz a t io n o f t h e fi e ld , w e w a n t t o r e v ie w s o m e b a s ic ( a n d r e le v a n t ) c o n c e p t s a b o u t e .m . fi e ld s .
M a x w e ll e q u a t io n s f o r t h e e le c t r ic a n d m a g n e t ic fi e ld s , E a n d B , a r e :
ε 0
G a u s s ’s la w ∇ · E = ρ
c ∂ t
1 ∂ B
G a u s s ’s la w f o r m a g n e t is m ∇ · B = 0 M a x w e ll- F a r a d a y e q u a t io n ( F a r a d a y ’s la w o f in d u c t io n ) ∇ × E = −
∂ t
∂ E
A m p e r e ’s c ir c u it a l la w ( w it h M a x w e ll’s c o r r e c t io n ) ∇ × B = µ 0 J + µ 0 ε 0
W e w ill b e in t e r e s t e d t o t h e ir s o lu t io n in e m p t y s p a c e ( a n d s e t t in g c = 1 / √ µ 0 ε 0 ) :
G a u s s ’s la w
G a u s s ’s la w f o r m a g n e t is m
∇ · E = 0
∇ · B = 0
c ∂ t
M a x w e ll- F a r a d a y e q u a t io n ∇ × E = − 1 ∂ B
c ∂ t
A m p e r e ’s c ir c u it a l la w ∇ × B = 1 ∂ E
C o m b in in g M a x w e ll e q u a t io n in v a c u u m , w e fi n d t h e w a v e e q u a t io n s :
2 1 ∂ 2 E 2 1 ∂ 2 B
∇ E − c 2
∂ t 2 = 0
∇ B − c 2 ∂ t 2 = 0
? Q u e s t i o n : S h o w h o w t h i s e q u a t i o n i s d e ri v e d
W e n e e d t o t a k e t h e c u r l o f M a x w e l l - F a r a d a y e q u a t i o n a n d t h e t i m e d e r i v a t i v e o f A m p e r e ’ s l a w a n d u s e t h e v e c t o r i d e n t i t y
2
∇ × ( ∇ × → v ) = ∇ ( ∇ · → v ) − ∇ → v a n d G a u s s l a w .
— ·
Σ
A g e n e r a l s o lu t io n f o r t h e s e e q u a t io n s c a n b e w r it t e n s im p ly a s E = E ( ω t → k → x ) . B y fi x in g t h e b o u n d a r y c o n d it io n s , w e c a n fi n d a s o lu t io n in t e r m s o f a n e x p a n s io n in n o r m a l m o d e s , w h e r e t h e t im e d e p e n d e n c e a n d s p a t ia l d e p e n d e n c e a r e s e p a r a t e d . T h e s o lu t io n o f t h e w a v e e q u a t io n c a n t h u s b e f a c ilit a t e d b y r e p r e s e n t in g t h e e le c t r ic fi e ld a s a s u m o f n o r m a l m o d e f u n c t io n s :
E ( → x , t ) = f m ( t ) → u m ( → x ) .
m
T h e n o r m a l m o d e s u m a r e t h e e q u iv a le n t o f e ig e n f u n c t io n s f o r t h e w a v e e q u a t io n , s o t h e y d o n o t e v o lv e in t im e ( i.e . t h e y a r e f u n c t io n o f p o s it io n o n ly ) . T h e u m a r e o r t h o n o r m a l f u n c t io n s , c a lle d n o r m a l m o d e s . T h e b o u n d a r y c o n d it io n s d e fi n e t h e n o r m a l m o d e s u m f o r t h e fi e ld , s a t is f y in g :
2 2
∇ u m = − k m u m , ∇ · u m = 0 , → n × u m = 0
( w h e r e n is a u n it v e c t o r n o r m a l t o a s u r f a c e ) . T h is la s t c o n d it io n is im p o s e d b e c a u s e t h e t a n g e n t ia l c o m p o n e n t o f t h e e le c t r ic fi e ld E m u s t v a n is h o n a c o n d u c t in g s u r f a c e . W e c a n a ls o c h o o s e t h e m o d e s t o s a t is f y t h e o r t h o n o m a lit y c o n d it io n ( h e n c e n o r m a l m o d e s ) :
∫ → u m ( x ) → u n ( x ) d 3 x = δ n , m
S u b s t it u t in g t h e e x p r e s s io n f o r t h e e le c t r ic fi e ld in t h e w a v e e q u a t io n , w e fi n d a n e q u a t io n f o r t h e c o e ffi c ie n t f m ( t ) :
+ c k m f m ( t ) = 0 .
Σ d 2 f m 2 2
m
d t 2
S in c e t h e m o d e f u n c t io n s a r e lin e a r ly in d e p e n d e n t , t h e c o e ffi c ie n t s o f e a c h m o d e m u s t s e p a r a t e ly a d d u p t o z e r o in o r d e r t o s a t is f y t h e w a v e e q u a t io n , a n d w e fi n d :
d 2 f m 2 2
d t 2
+ c k m f m ( t ) = 0 .
A s it c a n b e s e e n f r o m t h is e q u a t io n , t h e d y n a m ic s o f t h e n o r m a l m o d e s , a s d e s c r ib e d b y t h e ir t im e - d e p e n d e n t c o e ffi c ie n t s , is t h e s a m e a s t h a t o f t h e h .o . w it h f r e q u e n c y ω m = c k m . H e n c e t h e e le c t r ic fi e ld is e q u iv a le n t t o a n in fi n it e n u m b e r o f ( in d e p e n d e n t ) h a r m o n ic o s c illa t o r s . In o r d e r t o fi n d a q u a n t u m - m e c h a n ic a l d e s c r ip t io n o f t h e e .m . fi e ld w e w ill n e e d t o t u r n t h is h .o . in t o q u a n t u m h a r m o n ic o s c illa t o r s .
W e w a n t t o e x p r e s s t h e m a g n e t ic fi e ld in t e r m s o f t h e s a m e n o r m a l m o d e s → u m w h ic h a r e o u r b a s is . W e a s s u m e f o r B
Σ
t h e e x p a n s io n :
F r o m M a x w e ll- F a r a d a y la w :
B ( x , t ) = h n ( t ) [ ∇ × u n ( x ) ] ,
n
n
n
c
t
∇ × E = Σ f ( t ) ∇ × u = − 1 ∂ B
n
d t
w e s e e t h a t w e n e e d t o im p o s e h n s u c h t h a t d h n = − c f n s o t h a t w e o b t a in
c d t
Σ − 1 d h n ∇ × u
n
1
n
c
t
= − ∂ B
Σ
w h ic h in d e e d c o r r e s p o n d s t o t h e d e s ir e d e x p r e s s io n f o r t h e m a g n e t ic fi e ld . W e n o w w a n t t o fi n d a s w e ll a n e q u a t io n f o r t h e c o e ffi c ie n t h n a lo n e . F r o m t h e e x p r e s s io n s o f t h e E a n d B - fi e ld in t e r m s o f n o r m a l m o d e s , u s in g A m p e r e ’s la w ,
1 ∂ E
∇ × B = c ∂ t
→ Σ h n
( t ) ∇ × ( ∇ × u n
) = 1 d f n u
c d t n
n n
→ − Σ h n
∇ u n
= 1 d f n u
Σ
c d t n
2
n n
( w h e r e w e u s e d t h e f a c t t h a t ∇ · u = 0 ) w e fi n d
d f n ( t ) = c k 2 h
( t ) .
d t n n
n
s in c e w e h a v e ∇ 2 u n = − k 2 u n . F in a lly w e h a v e :
d 2 2 2
T h e H a m ilt o n ia n o f t h e s y s t e m r e p r e s e n t t h e t o t a l e n e r g y 3 3 : H = 1 1 ∫ ( E 2 + B 2 ) d 3 x .
d t 2 h n ( t ) + c k n h n ( t ) = 0
n 8 π n n n
W e c a n s h o w t h a t H = Σ 1 ( f 2 + k 2 h 2 ) :
2 4 π
8 π 8 π
n
m
n
m
H = 1 ∫ ( E 2 + B 2 ) d 3 x = 1 Σ f f
n , m
∫ u ( x ) u
m
n
( x ) d 3 x + h h
∫ ( ∇ × u
n
) · ( ∇ × u
m
) d 3 x
8 π n
n
n
= Σ 1 ( f 2 + k 2 h 2 )
n
n
n
w h e r e w e u s e d ∫ ( ∇ × u n ) · ( ∇ × u m ) d 3 x = k 2 δ n , m . W e c a n t h e n u s e t h e e q u a t io n
d f n ( t ) d t
= c k 2 h n ( t ) t o e lim in a t e
h n .T h e n f n c a n b e a s s o c ia t e d w it h a n e q u iv a le n t p o s it io n o p e r a t o r a n d h n ( b e in g a d e r iv a t iv e o f t h e p o s it io n ) w it h
t h e m o m e n t u m o p e r a t o r .
N o t ic e t h a t t h e H a m ilt o n ia n f o r a s e t o f h a r m o n ic o s c illa t o r s , e a c h h a v in g u n it m a s s , is
h . o .
2 n
n n
H = Σ 1 ( p 2 + ω 2 q 2 )
n
d t
w it h q n , p n = d q n t h e p o s it io n a n d m o m e n t u m o f e a c h o s c illa t o r .
1 0 . 2 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e . m . fi e l d
G iv e n t h e H a m ilt o n ia n w e f o u n d a b o v e , w e c a n a s s o c ia t e t h e e n e r g y 1 ( p 2 + ω 2 q 2 ) t o e a c h m o d e . W e t h u s m a k e t h e
id e n t ifi c a t io n o f f n w it h a n e q u iv a le n t p o s it io n :
2 n n
f n
n
Q n = 2 ω √ π
a n d t h e n p r o c e e d t o q u a n t iz e t h is e ff e c t iv e p o s it io n , a s s o c ia t in g a n o p e r a t o r t o t h e p o s it io n Q n :
n
2 ω n
n
n
Q ˆ = r k ( a † + a )
√
W e c a n a ls o a s s o c ia t e a n o p e r a t o r t o t h e n o r m a l m o d e c o e ffi c ie n t s f n :
f ˆ n = 2 π ω n k ( a † n + a n )
2
3 3 T h e f a c t o r 4 π i s p r e s e n t b e c a u s e I a m u s i n g c g s u n i t s , i n S I u n i t s t h e e n e r g y d e n s i t y i s ǫ 0 ( E 2 + c 2 B 2 ) .
N o t ic e t h a t f n ( t ) is a f u n c t io n o f t im e , s o a ls o t h e o p e r a t o r s a n ( t ) a r e ( H e is e n b e r g p ic t u r e ) . T h e e le c t r ic fi e ld is t h e s u m o v e r t h is n o r m a l m o d e s ( n o t ic e t h a t n o w t h e p o s it io n is j u s t a p a r a m e t e r , n o lo n g e r a n o p e r a t o r ) :
E ( x , t ) = Σ √ 2 k π ω n [ a † n ( t ) + a n ( t ) ] u n ( x )
n
O f c o u r s e n o w t h e e le c t r ic fi e ld is a n o p e r a t o r fie l d , t h a t is , it is a Q M o p e r a t o r t h a t is d e fi n e d a t e a c h s p a c e - t im e p o in t ( x ,t ) .
N o t ic e t h a t a n e q u iv a le n t f o r m u la t io n o f t h e e le c t r ic fi e ld in a fi n it e v o lu m e V is g iv e n b y d e fi n in g in a s lig h t ly d iff e r e n t w a y t h e u n ( x ) n o r m a l m o d e s a n d w r it in g :
V
n
n
E ( x , t ) = Σ r 2 k π ω n [ a † ( t ) + a
n
( t ) ] u
n
( x ) .
W e a lr e a d y h a v e c a lc u la t e d t h e e v o lu t io n o f t h e o p e r a t o r a a n d a † . E a c h o f t h e o p e r a t o r a n e v o lv e s in t h e s a m e w a y :
a n ( t ) = a n ( 0 ) e − i ω n t . T h is d e r iv e s f r o m t h e H e is e n b e r g e q u a t io n o f m o t io n d a n = i [ H , a n ( t ) ] = − i ω n a n ( t ) .
T h e m a g n e t ic fi e ld c a n a ls o b e e x p r e s s e d in t e r m s o f t h e o p e r a t o r s a n :
d t k
n
B ( x , t ) = Σ i c
n
r 2 π k [ a † − a
n
] ∇ × u
n
( x )
d t
—
ω n
n
T h e s t r a t e g y h a s b e e n t o u s e t h e k n o w n f o r m s o f t h e o p e r a t o r s f o r a h a r m o n ic o s c illa t o r t o d e d u c e a p p r o p r ia t e o p e r a t o r s f o r t h e e .m . fi e ld . N o t ic e t h a t w e c o u ld h a v e u s e d t h e e q u a t io n d h n ( t ) = c f n ( t ) t o e lim in a t e f n a n d w r it e e v e r y t h in g in t e r m s o f h n . T h is w o u ld h a v e c o r r e s p o n d e d t o id e n t if y in g h n w it h p o s it io n a n d f n w it h m o m e n t u m . S in c e t h e H a m ilt o n ia n is t o t a lly s y m m e t r ic in t e r m s o f m o m e n t u m a n d p o s it io n , t h e r e s u lt s a r e u n c h a n g e d a n d w e c a n c h o o s e e it h e r f o r m u la t io n s . In t h e c a s e w e c h o s e , c o m p a r in g t h e w a y in w h ic h t h e r a is in g a n d lo w e r in g o p e r a t o r s e n t e r in t h e E a n d B e x p r e s s io n s w it h t h e w a y t h e y e n t e r t h e e x p r e s s io n s f o r p o s it io n a n d m o m e n t u m , w e m a y s a y t h a t , r o u g h ly s p e a k in g , t h e e le c t r ic fi e ld is a n a lo g o u s t o t h e p o s it io n a n d t h e m a g n e t ic fi e ld is a n a lo g o u s t o t h e m o m e n t u m o f a n o s c illa t o r .
1 0 . 2 . 1 Z e r o - P o i n t E n e r g y a n d t h e C a s i m i r F o r c e
2
T h e H a m ilt o n ia n o p e r a t o r f o r t h e e .m . fi e ld h a s t h e f o r m o f a h a r m o n ic o s c illa t o r f o r e a c h m o d e o f t h e fi e ld 3 4 . A s w e s a w in a p r e v io u s le c t u r e , t h e lo w e s t e n e r g y o f a h .o . is 1 k ω . S in c e t h e r e a r e in fi n it e ly m a n y m o d e s o f a r b it r a r ily h ig h f r e q u e n c y in a n y fi n it e v o lu m e , it f o llo w s t h a t t h e r e s h o u ld b e a n in fi n it e z e r o - p o in t e n e r g y in a n y v o lu m e o f s p a c e . N e e d le s s t o s a y , t h is c o n c lu s io n is u n s a t is f a c t o r y . In o r d e r t o g a in s o m e a p p r e c ia t io n f o r t h e m a g n it u d e o f t h e z e r o - p o in t e n e r g y , w e c a n c a lc u la t e t h e z e r o - p o in t e n e r g y in a r e c t a n g u la r c a v it y d u e t o t h o s e fi e ld m o d e s w h o s e f r e q u e n c y is le s s t h a n s o m e c u t o ff ω c . T h e m o d e f u n c t io n s u n ( x ) , s o lu t io n s o f t h e m o d e e q u a t io n f o r a c a v it y o f d im e n s io n s L x × L y × L z , h a v e t h e v e c t o r c o m p o n e n t s
u n , α = A α c o s ( k n , x r x ) s in ( k n , y r y ) s in ( k n , z r z )
f o r { α , β , γ } = { x , y , z } a n d p e r m u t a t io n s t h e r e o f . T h e m o d e u n , α ( x ) a r e la b e le d b y t h e w a v e - v e c t o r → k n w it h c o m p o -
n e n t s : n α π
α
k n , α =
L , n α ∈ N
n , x
q
a n d t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e is ω n = k 2
t h e m o d e f u n c t io n w o u ld v a n is h id e n t ic a lly .
2
+ k
n , y
2
+ k
n , z
. A t le a s t t w o o f t h e in t e g e r s m u s t b e n o n z e r o , o t h e r w is e
T h e a m p lit u d e s o f t h e t h r e e c o m p o n e n t s A α a r e r e la t e d b y t h e d iv e r g e n c e c o n d it io n ∇ · → u n ( x ) = 0 , w h ic h r e q u ir e s t h a t A → · → k = 0 , f r o m w h ic h it is c le a r t h a t t h e r e a r e t w o lin e a r ly in d e p e n d e n t p o la r iz a t io n s ( d ir e c t io n s o f A ) f o r e a c h
3 4 S e e : Le s l i e E . B a l l e n t i n e , “ Q u a n t u m M e c h a n i c s A M o d e r n D e v e l o p m e n t ” , W o r l d S c i e n t i fi c P u b l i s h i n g ( 1 9 9 8 ) . W e f o l l o w h i s p re s e n t a t i o n i n t h i s s e c t i o n .
k , a n d h e n c e t h e r e a r e t w o in d e p e n d e n t m o d e s f o r e a c h s e t o f p o s it iv e in t e g e r s ( n x , n y , n z ) . If o n e o f t h e in t e g e r s is z e r o , t w o o f t h e c o m p o n e n t s o f u ( x ) w ill v a n is h , s o t h e r e is o n ly o n e m o d e in t h is e x c e p t io n a l c a s e .
In t h is c a s e t h e e le c t r ic fi e ld c a n b e w r it t e n a s :
E ( x , t ) = Σ ( E
+ E † ) = Σ e ˆ
Σ r k ω n [ a † e i ( → k n · → r − ω t ) + a e i ( → k n · → r − ω t ) ]
α
α
α
2 ǫ 0 V n
n
α = 1 , 2 α = 1 , 2 n
r
H e r e V = L x L y L z is t h e v o lu m e o f t h e c a v it y . N o t ic e t h a t t h e e le c t r ic fi e ld a s s o c ia t e d w it h a s in g le p h o t o n o f f r e q u e n c y ω n is
E =
2 π k ω n
n V
∫ E
2
T h is e n e r g y is a fi g u r e o f m e r it f o r a n y p h e n o m e n a r e ly in g o n a t o m ic in t e r a c t io n s w it h a v a c u u m fi e ld , f o r e x a m p le , c a v it y q u a n t u m e le c t r o d y n a m ic s . In f a c t , n m a y b e e s t im a t e d b y e q u a t in g t h e q u a n t u m m e c h a n ic a l e n e r g y o f a p h o t o n k ω n w it h it s c la s s ic a l e n e r g y 1 d V ( E 2 + B 2 ) .
G o in g b a c k t o t h e c a lc u la t io n o f t h e e n e r g y d e n s it y , if t h e d im e n s io n s o f t h e c a v it y a r e la r g e , t h e a llo w e d v a lu e s o f k a p p r o x im a t e a c o n t in u u m , a n d t h e d e n s it y o f m o d e s in t h e p o s it iv e o c t a n t o f k s p a c e is ρ ( k ) = 2 V / π 3 ( t h e f a c t o r 2 c o m e s f r o m t h e t w o p o s s ib le p o la r iz a t io n s ) . T h e z e r o - p o in t e n e r g y d e n s it y f o r a ll m o d e s o f f r e q u e n c y le s s t h a t ω c is t h e n g iv e n b y
E 0 =
2 Σ k c 1 2 1 ∫
d 3 k ρ ( k ) 1 k ω ( k )
k ω k ≈
V 2 V 8 2
k = 1
w h e r e w e s u m o v e r a ll p o s it iv e k ( in t h e fi r s t s u m ) a n d m u lt ip ly b y t h e n u m b e r o f p o s s ib le p o la r iz a t io n s ( 2 ) . T h e s u m is t h e n a p p r o x im a t e d b y a n in t e g r a l o v e r t h e p o s it iv e o c t a n t ( h e n c e t h e 1 / 8 f a c t o r ) . U s in g ω ( k ) = k c ( a n d
d 3 k = 4 π k 2 d k ) , w e o b t a in
E 0 =
2 2 V 4 π ∫ k c d k 1 k k 3 c = c k
∫ k c
k c k 4
d k k 3 = c
V π 3 8
k = 0
2 2 π 2
k = 0 8 π 2
c
×
×
w h e r e w e s e t t h e c u t o ff w a v e - v e c t o r k c = ω c / c . T h e f a c t o r k 4 in d ic a t e s t h a t t h is e n e r g y d e n s it y is d o m in a t e d b y t h e h ig h - f r e q u e n c y , s h o r t - w a v e le n g t h m o d e s . T a k in g a m in im u m w a v e le n g t h o f λ c = 2 π / k = 0 . 4 1 0 − 6 m , s o a s t o in c lu d e t h e v is ib le lig h t s p e c t r u m , y ie ld s a z e r o - p o in t e n e r g y d e n s it y o f 2 3 J / m 3 . T h is m a y b e c o m p a r e d w it h e n e r g y d e n s it y p r o d u c e d b y a 1 0 0 W lig h t b u lb a t a d is t a n c e o f 1 m , w h ic h is 2 . 7 1 0 − 8 J / m 3 . O f c o u r s e it is im p o s s ib le t o e x t r a c t a n y o f t h e z e r o - p o in t e n e r g y , s in c e it is t h e m in im u m p o s s ib le e n e r g y o f t h e fi e ld , a n d s o o u r in a b ilit y t o p e r c e iv e t h a t la r g e e n e r g y d e n s it y is n o t in c o m p a t ib le w it h it s e x is t e n c e . In d e e d , s in c e m o s t e x p e r im e n t s d e t e c t o n ly e n e r g y d iff e r e n c e s , a n d n o t a b s o lu t e e n e r g ie s , it is o f t e n s u g g e s t e d t h a t t h e t r o u b le s o m e z e r o - p o in t e n e r g y o f t h e fi e ld s h o u ld s im p ly b e o m it t e d . O n e m ig h t e v e n t h in k t h a t t h is e n e r g y is o n ly a c o n s t a n t b a c k g r o u n d t o e v e r y e x p e r im e n t a l s it u a t io n , a n d t h a t , a s s u c h , it h a s n o o b s e r v a b le c o n s e q u e n c e s . O n t h e c o n t r a r y , t h e v a c u u m e n e r g y h a s d ir e c t m e a s u r a b le c o n s e q u e n c e s , a m o n g w h ic h t h e C a s im ir e ff e c t is t h e m o s t p r o m in e n t o n e .
In 1 9 4 8 H . B . G . C a s im ir s h o w e d t h a t t w o e le c t r ic a lly n e u t r a l, p e r f e c t ly c o n d u c t in g p la t e s , p la c e d p a r a lle l in v a c u u m , m o d if y t h e v a c u u m e n e r g y d e n s it y w it h r e s p e c t t o t h e u n p e r t u r b e d v a c u u m . T h e e n e r g y d e n s it y v a r ie s w it h t h e s e p a r a t io n b e t w e e n t h e m ir r o r s a n d t h u s c o n s t it u t e s a f o r c e b e t w e e n t h e m , w h ic h s c a le s w it h t h e in v e r s e o f t h e f o r t h p o w e r o f t h e m ir r o r s s e p a r a t io n . T h e C a s im ir f o r c e is a s m a ll b u t w e ll m e a s u r a b le q u a n t it y . It is a r e m a r k a b le m a c r o s c o p ic m a n if e s t a t io n o f a q u a n t u m e ff e c t a n d it g iv e s t h e m a in c o n t r ib u t io n t o t h e f o r c e s b e t w e e n m a c r o s c o p ic b o d ie s f o r d is t a n c e s b e y o n d 1 0 0 n m .
W e c o n s id e r a la r g e c a v it y o f d im e n s io n s V = L 3 b o u n d e d b y c o n d u c t in g w a lls ( s e e fi g u r e ) . A c o n d u c t in g p la t e is in s e r t e d a t a d is t a n c e R f r o m o n e o f t h e y z
W R
W L - R
≪
f a c e s ( R L ) . T h e n e w b o u n d a r y c o n d it io n a t x = R a lt e r s t h e e n e r g y ( o r L
f r e q u e n c y ) o f e a c h fi e ld m o d e . F o llo w in g C a s im ir , w e s h a ll c a lc u la t e t h e e n e r g y
s h if t a s a f u n c t io n o f R . L e t W X d e n o t e t h e e le c t r o m a g n e t ic e n e r g y w it h in a c a v it y w h o s e le n g t h in t h e x d ir e c t io n is X . T h e c h a n g e in t h e e n e r g y d u e t o t h e
in s e r t io n o f t h e p la t e a t x = R w ill b e W L
∆ W = ( W R + W L − R ) − W L
2
R
E a c h o f t h e s e t h r e e t e r m s is in fi n it e , b u t t h e d iff e r e n c e w ill t u r n o u t t o b e fi n it e . E a c h m o d e h a s a z e r o - p o in t e n e r g y o f 1 k k c . B u t w h ile w e c a n t a k e t h e c o n t in u o u s
F i g . 1 4 : G e o m e t ry o f C a s i m i r E ff e c t
a p p r o x im a t io n in c a lc u la t in g W L a n d W L − R , f o r W R w e h a v e t o k e e p t h e d is c r e t e
s u m in t h e x d ir e c t io n ( if R is s m a ll e n o u g h ) . W it h s o m e c a lc u la t io n s ( s e e B a lle n t in e ) w e fi n d t h a t t h e c h a n g e in e n e r g y is
π 2 L 2
∆ W = − k c 7 2 0 R 3
W h e n v a r y in g t h e p o s it io n R , a n a t t r a c t iv e f o r c e ( m in u s s ig n ) is c r e a t e d b e t w e e n t h e c o n d u c t in g p la t e s , e q u a l t o
∂ ∆ W π 2 L 2
F = − ∂ R = − k c 2 4 0 R 4
T h e f o r c e p e r u n it a r e a ( p r e s s u r e ) is t h e n P = − π 2 k c . T h is is t h e s o - c a lle d C a s im ir f o r c e . T h is f o r c e is v e r y d iffi c u lt
2 4 0 R 4
t o m e a s u r e . T h e s u r f a c e s m u s t b e fl a t a n d c le a n , a n d f r e e f r o m a n y e le c t r o s t a t ic c h a r g e . H o w e v e r , t h e r e h a s b e e n
m e a s u r e m e n t s o f t h e C a s im ir e ff e c t , s in c e t h e e x p e r im e n t b y b y S p a r n a a y ( 1 9 5 8 ) .
T h e a v a ila b ilit y o f e x p e r im e n t a l s e t - u p s t h a t a llo w a c c u r a t e m e a s u r e m e n t s o f s u r f a c e f o r c e s b e t w e e n m a c r o s c o p ic o b j e c t s a t s u b m ic r o n s e p a r a t io n s h a s r e c e n t ly s t im u la t e d a r e n e w e d in t e r e s t in t h e C a s im ir e ff e c t a n d in it s p o s s ib le a p p lic a t io n s t o m ic r o - a n d n a n o t e c h n o lo g y . T h e C a s im ir f o r c e is h ig h ly v e r s a t ile a n d c h a n g in g m a t e r ia ls a n d s h a p e o f t h e b o u n d a r ie s m o d ifi e s it s s t r e n g t h a n d e v e n it s s ig n . M o d if y in g s t r e n g t h a n d e v e n s ig n o f t h e C a s im ir f o r c e h a s g r e a t p o t e n t ia l in p r o v id in g a m e a n s f o r in d ir e c t f o r c e t r a n s m is s io n in n a n o s c a le m a c h in e s , w h ic h is a t p r e s e n t n o t a c h ie v a b le w it h o u t d a m a g in g t h e c o m p o n e n t s . A c o n t a c t le s s m e t h o d w o u ld r e p r e s e n t a b r e a k t h r o u g h in t h e f u t u r e d e v e lo p m e n t o f n a n o m a c h in e s . M o r e g e n e r a lly , a d e e p e r k n o w le d g e o f t h e C a s im ir f o r c e a n d C a s im ir t o r q u e c o u ld p r o v id e n e w in s ig h t s a n d d e s ig n a lt e r n a t iv e s in t h e f a b r ic a t io n s o f m ic r o - a n d n a n o e le c t r o m e c h a n ic a l- s y s t e m s ( M E M S a n d N E M S ) . A n o t h e r s t r o n g m o t iv a t io n c o m e s f r o m t h e n e e d t o m a k e a d v a n t a g e o f t h e u n iq u e p r o p e r t ie s o f C a r b o n N a n o t u b e s in n a n o t e c h n o lo g y .
M e a s u r in g t h e C a s im ir f o r c e is a ls o im p o r t a n t f r o m a f u n d a m e n t a l s t a n d p o in t a s it p r o b e s t h e m o s t f u n d a m e n t a l p h y s ic a l s y s t e m , t h a t is , t h e q u a n t u m v a c u u m . F u r t h e r m o r e , it is a p o w e r f u l e x p e r im e n t a l m e t h o d f o r p r o v id in g c o n s t r a in t s o n t h e p a r a m e t e r s o f a Y u k a w a - t y p e m o d ifi c a t io n t o t h e g r a v it a t io n a l in t e r a c t io n o r o n f o r c e s p r e d ic t e d b y s u p e r g r a v it y a n d s t r in g t h e o r y .
1 0 . 3 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e . m . fi e l d i n t h e Co u l o m b g a u g e
∇ ·
∇ ·
T h e q u a n t iz a t io n p r o c e d u r e a n d r e s u lt in g in t e r a c t io n s d e t a ile d a b o v e m a y a p p e a r q u it e g e n e r a l, b u t in f a c t w e m a d e a n im p o r t a n t a s s u m p t io n a t t h e v e r y b e g in n in g w h ic h w ill lim it t h e ir a p p lic a b ilit y : w e c o n s id e r e d o n ly t h e s it u a t io n w it h n o s o u r c e s , s o w e im p lic it ly t r e a t e d o n ly t r a n s v e r s e fi e ld s w h e r e E → = 0 . L o n g it u d in a l fi e ld s r e s u lt f r o m c h a r g e d is t r ib u t io n s ρ a n d t h e y d o n o t s a t is f y a w a v e e q u a t io n . B y c o n s id e r in g o n ly t r a n s v e r s e fi e ld s , h o w e v e r , w e h a v e f u r t h e r a v o id e d t h e is s u e o f g a u g e . S in c e a t r a n s v e r s e e le c t r ic fi e ld E T s a t is fi e s t h e w a v e e q u a t io n , w e w e r e a b le t o d ir e c t ly q u a n t iz e it w it h o u t in t e r m e d ia t e r e c o u r s e t o t h e v e c t o r p o t e n t ia l A a n d t h u s w e n e v e r e n c o u n t e r e d a c h o ic e o f g a u g e . In f a c t , t h e p r o c e d u r e c a n b e v ie w e d a s c o r r e s p o n d in g t o a n im p lic it c h o ic e o f g a u g e φ = 0 , A → = 0 t h a t c o r r e s p o n d s t o a L o r e n t z g a u g e .
· ·
H ∼ −
—
A m o r e g e n e r a l a p p r o a c h m a y u s e t h e c a n o n ic a l H a m ilt o n ia n f o r a p a r t ic le o f m a s s m a n d c h a r g e q in a n e le c t r o - m a g n e t ic fi e ld . In t h is a p p r o a c h , t h e p a r t ic le m o m e n t u m p is r e p la c e d b y t h e c a n o n ic a l m o m e n t u m p q A / c , s o t h e H a m ilt o n ia n c o n t a in s t e r m s lik e ( p q A / c ) 2 / 2 m . In t h is c a s e , it is s t ill p o s s ib le t o w r it e a w a v e e q u a t io n f o r t h e p o t e n t ia ls . T h e n t h e p o t e n t ia l a r e q u a n t iz e d a n d f o r a n a p p r o p r ia t e c h o ic e o f g a u g e w e fi n d a g a in t h e s a m e r e s u lt s . S p e c ifi c a lly , f o r a n a p p r o p r ia t e c h o ic e o f g a u g e , t h e p A t e r m s im p ly t h e d ip o le in t e r a c t io n E d t h a t w e w ill u s e in t h e f o llo w in g .
W it h in t h e C o u lo m b g a u g e , t h e v e c t o r p o t e n t ia l o b e y s t h e w a v e e q u a t io n
∂ 2 A 2 2
∂ t 2 − c ∇ A = 0
T a k in g f u r t h e r m o r e p e r io d ic b o u n d a r y c o n d it io n s in a b o x o f v o lu m e V = L 3 t h e q u a n t iz e d e le c t r o m a g n e t ic fi e ld in t h e H e is e n b e r g p ic t u r e is :
V ω k
k α
A → ( t, x ) = Σ Σ r 2 π k h a
α = 1 , 2 k
e − i ( ω k t − → k · → x ) + a † e i ( ω k t − → k · → x ) i e ˆ ( k )
∂ t
k α
α
T h e fi e ld c a n t h e n b e w r it t e n in t e r m s o f t h e p o t e n t ia l a s E = − ∂ A a n d w e fi n d t h e s im ila r r e s u lt a s b e f o r e :
V
k α
α
k α
E ( t, x ) = Σ Σ r 2 π k ω k h a
e − i ( ω k t − → k · → x ) − a †
e i ( ω k t − → k · → x ) i e ˆ ( k )
α = 1 , 2 k
a n d
B ( t, x ) =
Σ Σ r 2 π k ω k h a
e − i ( ω k t − → k · → x ) − a †
e i ( ω k t − → k · → x ) i ( k × e ˆ ( k ) )
V
k α
α
k α
α = 1 , 2 k
1 0 . 4 S t a t e s o f t h e e . m . fi e l d
B e c a u s e o f t h e a n a lo g ie s o f t h e e .m . w it h a s e t o f h a r m o n ic o s c illa t o r s , w e c a n a p p ly t h e k n o w le d g e o f t h e h .o . s t a t e s t o d e s c r ib e t h e s t a t e s o f t h e e .m . fi e ld . S p e c ifi c a lly , w e w ill in v e s t ig a t e n u m b e r s t a t e s a n d c o h e r e n t s t a t e s .
1 0 . 4 . 1 P h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s
W e c a n d e fi n e n u m b e r s t a t e s f o r e a c h m o d e o f t h e e .m . fi e ld . T h e H a m ilt o n ia n f o r a s in g le m o d e is g iv e n b y H m =
2
k ω m ( a † m a m + 1 ) w it h e ig e n v e c t o r s | n m ⟩ . T h e s t a t e r e p r e s e n t in g m a n y m o d e s is t h e n g iv e n b y
| n 1 , n 2 , . . . ⟩ = | n 1 ⟩ ⊗ | n 2 ⟩ ⊗ · · · = | → n ⟩
T h e r e f o r e t h e m t h m o d e o f t h is s t a t e is d e s c r ib e d a s c o n t a in in g n m p h o t o n s . T h e s e e le m e n t a r y e x c it a t io n s o f t h e e .m . fi e ld b e h a v e in m a n y r e s p e c t s lik e p a r t ic le s , c a r r y in g e n e r g y a n d m o m e n t u m . H o w e v e r , t h e a n a lo g y is in c o m p le t e , a n d it is n o t p o s s ib le t o r e p la c e t h e e .m . fi e ld b y a g a s o f p h o t o n s .
In a s t a t e w it h d e fi n it e p h o t o n n u m b e r s , t h e e le c t r ic a n d m a g n e t ic fi e ld s a r e in d e fi n it e a n d fl u c t u a t in g . T h e p r o b a b ilit y d is t r ib u t io n s f o r t h e e le c t r ic a n d m a g n e t ic fi e ld s in s u c h a s t a t e a r e a n a lo g o u s t o t h e d is t r ib u t io n s f o r t h e p o s it io n a n d m o m e n t u m o f a n o s c illa t o r in a n e n e r g y e ig e n s t a t e . T h u s w e h a v e f o r t h e e x p e c t a t io n v a lu e o f t h e e le c t r ic fi e ld
o p e r a t o r :
⟨ E ( x , t ) ⟩ = ⟨ → n | Σ √ 2 k π ω m [ a † m ( t ) + a m ( t ) ] u m ( x ) | → n ⟩ = 0
m
H o w e v e r , t h e s e c o n d m o m e n t is n o n - z e r o :
| E ( x , t ) | 2 = 2 π k Σ √ ω p ω m [ a † p ( t ) + a p ( t ) ][ a † m ( t ) + a m ( t ) ] → u p ( x ) · → u m ( x )
p , m
= 2 π k Σ ω m | u m | 2 [ a † m ( t ) + a m ( t ) ] 2 = 2 π k Σ ω m | u m ( x ) | 2 ( 2 n m + 1 )
m m
T h e s u m o v e r a ll m o d e s is in fi n it e . T h is d iv e r g e n c e p r o b le m c a n o f t e n b e c ir c u m v e n t e d ( b u t n o t s o lv e d ) b y r e c o g n iz in g t h a t a p a r t ic u la r e x p e r im e n t w ill e ff e c t iv e ly c o u p le t o t h e E M fi e ld o n ly o v e r s o m e fi n it e b a n d w id t h , t h u s w e c a n s e t c u t - o ff s o n t h e n u m b e r o f m o d e s c o n s id e r e d .
N o t ic e t h a t w e c a n a s w e ll c a lc u la t e ∆ B f o r t h e m a g n e t ic fi e ld , t o fi n d t h e s a m e e x p r e s s io n .
1 0 . 4 . 2 C o h e r e n t s t a t e s
A c o h e r e n t s t a t e o f t h e e .m . fi e ld is o b t a in e d b y s p e c if y in g a c o h e r e n t s t a t e f o r e a c h o f t h e m o d e o s c illa t o r s o f t h e fi e ld . T h u s t h e c o h e r e n t s t a t e v e c t o r w ill h a v e t h e f o r m
| α → ⟩ = | α 1 α 2 . . . ⟩ = | α 1 ⟩ ⊗ | α 2 ⟩ ⊗ . . .
It is p a r a m e t e r iz e d b y a d e n u m b e r a b ly in fi n it e s e q u e n c e o f c o m p le x n u m b e r s . W e n o w w a n t t o c a lc u la t e t h e e v o lu t io n o f t h e e le c t r ic fi e ld f o r a c o h e r e n t s t a t e . In t h e H e is e n b e r g p ic t u r e it is :
E ( x , t ) = Σ √ 2 k π ω m [ a † m e i ω m t + a m e − i ω m t ] u m ( x )
m
t h e n , t a k in g t h e e x p e c t a t io n v a lu e w e fi n d :
⟨ E ( x , t ) ⟩ = Σ √ 2 k π ω m [ α ∗ m e i ω m t + α m e − i ω m t ] u m ( x )
m
T h is is e x a c t ly t h e s a m e f o r m a s a n o r m a l m o d e e x p a n s io n o f a c la s s ic a l s o lu t io n o f M a x w e ll’s e q u a t io n s , w it h t h e p a r a m e t e r α m r e p r e s e n t in g t h e a m p lit u d e o f a c la s s ic a l fi e ld m o d e . In s p it e o f t h is s im ila r it y , a c o h e r e n t s t a t e o f t h e q u a n t iz e d E M fi e ld is n o t e q u iv a le n t t o a c la s s ic a l fi e ld , a lt h o u g h it d o e s g iv e t h e c lo s e s t p o s s ib le q u a n t u m o p e r a t o r , in t e r m s o f it s e x p e c t a t io n v a lu e . E v e n if t h e a v e r a g e fi e ld is e q u iv a le n t t o t h e c la s s ic a l fi e ld , t h e r e a r e s t ill t h e c h a r a c t e r is t ic q u a n t u m fl u c t u a t io n s . A c o h e r e n t s t a t e p r o v id e s a g o o d d e s c r ip t io n o f t h e e .m . fi e ld p r o d u c e d b y a la s e r . M o s t o r d in a r y lig h t s o u r c e s e m it s t a t e s o f t h e e .m . fi e ld t h a t a r e v e r y c lo s e t o a c o h e r e n t s t a t e ( la s e r s ) , o r t o a s t a t is t ic a l m ix t u r e o f c o h e r e n t s t a t e s ( c la s s ic a l s o u r c e s ) .
A . F l u c tu a ti o n s
W e c a lc u la t e t h e fl u c t u a t io n s f o r a s in g le m o d e ∆ E m . F r o m | E m | 2
m
= ⟨ α m | E m · E m | α m ⟩ w e o b t a in ∆ E 2 =
2 π k ω m | → u m ( x ) | 2 . In d e e d , f r o m ( a m + a † m ) 2 w e o b t a in :
m
m
⟨ α m | ( a † m ) 2 + a 2 + a † m a m + a m a † m | α m ⟩ 2 π k ω | u m ( x ) | 2 = 1 + ( ( α ∗ m ) 2 + α 2
+ 2 α ∗ m α m ) 2 π k ω | u m ( x ) | 2
w h ile w e h a v e a m + a † m = ( α m + α ∗ m ) √ 2 π k ω u m ( x ) , s o t h a t w e o b t a in
( a m + a † m ) 2 − a m + a † = 2 π k ω | → u ( x ) | 2
2
m
m
m
T h is is in d e p e n d e n t o f α m , a n d is e q u a l t o t h e m e a n s q u a r e fl u c t u a t io n in t h e g r o u n d s t a t e . T h e H e is e n b e r g in e q u a lit y is t h e r e f o r e s a t u r a t e d w h e n t h e fi e ld is in a c o h e r e n t s t a t e ,
B . Ph o to n s ta ti s ti c s
T h e p h o t o n n u m b e r d is t r ib u t io n f o r e a c h m o d e in a c o h e r e n t s t a t e is o b t a in e d a s f o r t h e h .o . T h e p r o b a b ilit y o f fi n d in g a t o t a l o f n p h o t o n s in t h e fi e ld m o d e is g o v e r n e d b y t h e P o is s o n d is t r ib u t io n .
2 n
T h e p r o b a b ilit y o f fi n d in g n p h o t o n s in t h e m o d e m is P α ( n m ) = |⟨ n m | α ⟩ | 2 . U s in g t h e e x p a n s io n o f t h e c o h e r e n t
2
s t a t e in t e r m s o f t h e n u m b e r s t a t e s t h a t w e f o u n d f o r t h e h .o ., w e o b t a in P ( n
) = | α m | e — | α
| . T h is is a P o is s o n
m
α m n !
n
n !
− ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
d is t r ib u t io n , w it h p a r a m e t e r | α m | 2 . T h u s w e h a v e ⟨ n m ⟩ = | α m | 2 , s o t h a t w e c a n r e w r it e t h e p d f a s P ( n ) = ( n ⟩ e — ( n ⟩ .
F r o m t h e k n o w n p r o p e r t ie s o f t h e P o is s o n d is t r ib u t io n , w e a ls o fi n d ∆ n 2 = n 2 n 2 = n .
( n ⟩
In p a r t ic u la r w e h a v e t h e w e ll- k n o w s h o t - n o is e s c a lin g ∆ n = 1 / √ ⟨ n ⟩ ( i.e . t h e fl u c t u a t io n s g o t o z e r o w h e n t h e r e a r e
m a n y p h o t o n s .)
1 0 . 4 . 3 M e a s u r e m e n t S t a t i s t i c s
W e s a w in t h e p r e v io u s s e c t io n t h e p h o t o n n u m b e r d is t r ib u t io n f o r a c o h e r e n t s t a t e . T h is c o r r e s p o n d s t o t h e e x p e r - im e n t a l s it u a t io n in w h ic h w e w a n t t o m e a s u r e t h e n u m b e r o f p h o t o n s in a fi e ld ( s u c h a s la s e r lig h t ) w h ic h is w e ll a p p r o x im a t e d b y a c la s s ic a l fi e ld a n d t h u s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a c o h e r e n t s t a t e .
T h is is n o t t h e o n ly t y p e o f m e a s u r e m e n t o f t h e e .m . fi e ld t h a t w e m ig h t w a n t t o d o . T w o o t h e r c o m m o n m e a s u r e m e n t m o d a lit ie s a r e h o m o d y n e a n d h e t e r o d y n e d e t e c t io n 3 5 .
H o m o d y n e d e t e c t io n c o r r e s p o n d s t o t h e m e a s u r e m e n t o f o n e q u a d r a t u r e a m p lit u d e . In p r a c t ic e , o n e m ix e s t h e e .m . fi e ld w it h a lo c a l o s c illa t o r a t w it h a fi x e d f r e q u e n c y ω ( s a m e a s t h e fi e ld f r e q u e n c y ) b e f o r e c o lle c t in g t h e s ig n a l w it h
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F i g . 1 5 : H o m o d y n e d e t e c t i o n s c h e m e a n d m e a s u r e m e n t s t a t i s t i c s o f t h e fi r s t t h r e e p h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s .
a p h o t o n c o u n t in g d e t e c t o r .
2 2
1 † i †
T h u s t h e m e a s u r e m e n t c o r r e s p o n d s t o t h e o b s e r v a b le O h o = | α 1 ⟩ ⟨ α 1 | ( o r O h o = | α 2 ⟩ ⟨ α 2 | , d e p e n d in g o n t h e p h a s e o f t h e lo c a l o s c illa t o r ) , w h e r e | α 1 , 2 ⟩ a r e t h e e ig e n s t a t e s o f t h e q u a d r a t u r e o p e r a t o r s a 1 = ( a + a ) a n d a 2 = ( a − a ) .
r
T h e m e a s u r e m e n t s t a t is t ic s f o r a n u m b e r s t a t e | m ⟩ is t h u s :
2
P m ( α 1 ) = |⟨ α 1 | m ⟩ |
( a † ) n ω
n ! π k
= ⟨ α 1 | | n ⟩ =
H 2 ( α 1 / 2 ) e
— α 1 / 2
1
2
2
, ⟨ O h o ⟩ = ⟨ m | O h e | m ⟩ = 0 , ⟨ ∆ O h o ⟩ =
m
q
w h e r e H n is t h e n t h H e r m it e p o ly n o m ia l a n d ⟨ ∆ O ⟩ = ⟨ O 2 ⟩ − ⟨ O ⟩ 2 . W e n o t e t h a t t h e s e r e s u lt s c o r r e s p o n d t o w h a t w e h a d f o u n d f o r t h e x o p e r a t o r in t h e c a s e o f t h e q u a n t u m h a r m o n ic o s c illa t o r .
H e t e r o d y n e d e t e c t io n c o r r e s p o n d s t o t h e s im u lt a n e o u s m e a s u r e m e n t o f t h e t w o q u a d r a t u r e s o f a fi e ld . O p e r a t io n a lly ,
o n e m ix e s t h e e .m . fi e ld w it h a lo c a l o s c illa t o r o f f r e q u e n c y ω , m o d u la t e d a t t h e In t e r m e d ia t e F r e q u e n c y ω I F ; t h e
3 5 W e f o l l o w h e re t h e p r e s e n t a t i o n i n P r o f . Y a m a m o t o ’ s Le c t u re s
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F i g . 1 6 : H e t e r o d y n e d e t e c t i o n s c h e m e a n d m e a s u r e m e n t s t a t i s t i c s o f t h e fi r s t t h r e e p h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s .
s ig n a l, a f t e r c o lle c t io n , is d e m o d u la t e d b y m ix in g it w it h s in ( ω I F ) a n d c o s ( ω I F t ) . T h u s t h e m e a s u r e m e n t c o r r e s p o n d s t o t h e o b s e r v a b le O h e = | α ⟩ ⟨ α | . T h e m e a s u r e m e n t s t a t is t ic s f o r a n u m b e r s t a t e | m ⟩ is t h u s :
2
2
P m ( α ) = |⟨ α | m ⟩ | =
e — | α | | α | 2 n
n !
, ⟨ O h e ⟩ = ⟨ m | O h e | m ⟩ = | α | 2 , ⟨ ∆ O h e ⟩ = | α | 2
( n o t e t h a t o f c o u r s e t h is is e q u iv a le n t t o t h e c a s e w e r e w e m e a s u r e d a n u m b e r s t a t e f o r a c o h e r e n t s t a t e ) . T h e m e a s u r e m e n t s t a t is t ic s f o r a c o h e r e n t s t a t e | β ⟩ , w o u ld b e
β
P ( α ) = |⟨ α | β ⟩ | 2 = e — | β — α | 2
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F i g . 1 7 : P h o t o n c o u n t i n g d e t e c t i o n s c h e m e a n d m e a s u r e m e n t s t a t i s t i c s o f t h e fi r s t t h r e e p h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s .
F o r c o m p a r is o n , p h o t o n c o u n t in g is o f c o u r s e t h e m e a s u r e m e n t o f t h e o b s e r v a b le O n = | n ⟩ ⟨ n | , w it h s t a t is t ic s f o r a n u m b e r s t a t e | m ⟩
P m ( n ) = |⟨ n | m ⟩ | 2 = δ m , n , ⟨ O n ⟩ = ⟨ m | O n | m ⟩ = δ m , n , ⟨ ∆ O n ⟩ = 0
1 0 . 5 A t o m i c i n t e r a c t i o n s w i t h t h e q u a n t i z e d fi e l d
L e t u s c o n s id e r t h e in t e r a c t io n o f is o la t e d n e u t r a l a t o m s w it h o p t ic a l fi e ld s . S u c h a t o m s a lo n e h a v e n o n e t c h a r g e a n d n o p e r m a n e n t e le c t r ic d ip o le m o m e n t . In a n e le c t r ic fi e ld E → a s s o c ia t e d , e .g ., w it h a n e le c t r o m a g n e t ic w a v e , t h e a t o m s
d o d e v e lo p a n e le c t r ic d ip o le m o m e n t d → w h ic h c a n t h e n in t e r a c t w it h t h e e le c t r ic fi e ld w it h a n in t e r a c t io n e n e r g y V
g iv e n b y
V = d → · E →
Σ
W e h a v e a lr e a d y t r e a t e d a s im ila r c a s e in a s e m ic la s s ic a l w a y , a lt h o u g h w e w e r e in t e r e s t e d in t h e in t e r a c t io n w it h a m a g n e t ic fi e ld . T h e s e m i- c la s s ic a l t r e a t m e n t o f t h is in t e r a c t io n , is q u it e s im ila r : w e t r e a t t h e a t o m q u a n t u m m e c h a n ic a lly a n d t h e r e f o r e c o n s id e r d → a s a n o p e r a t o r , b u t t r e a t t h e e le c t r o m a g n e t ic fi e ld c la s s ic a lly a n d s o c o n s id e r E a s a v e c t o r . W e c a n w r it e t h e d ip o le m o m e n t o p e r a t o r a s
d → = e → r = | k ⟩ ⟨ k | d → | h ⟩ ⟨ h |
k , h
w h e r e { | k ⟩ } f o r m s a c o m p le t e b a s is . T r a n s it io n s a r e o n ly p o s s ib le b e t w e e n s t a t e s w it h d iff e r e n t h a n d k :
d → h , k = ⟨ h | d → | k ⟩ / = 0 iif k / = h
a n d w e w ill c o n s id e r f o r s im p lic it y a t w o - le v e l a t o m :
d → = | 0 ⟩ ⟨ 1 | d → 0 1 + | 1 ⟩ ⟨ 0 | d → 1 0
E E
L e t ’s fi r s t c o n s id e r a s in g le m o d e c l a s s i c a l e le c t r o m a g n e t ic fi e ld , g iv e n b y E = → e — i ω t + → ∗ e i ω t . T h e f u ll s e m i - c l a s s i c a l
( s c ) H a m ilt o n ia n is t h e n :
s c
2
0
0 1
H = 1 k ω ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 0 ⟩ ⟨ 0 | ) − ( | 0 ⟩ ⟨ 1 | d →
+ | 1 ⟩ ⟨ 0 | d →
) · ( E → e — i ω t + E → ∗ e i ω t )
1 0
If w e a s s u m e { d → 1 0 , E } ∈ R , w e c a n r e w r it e t h is a s
1
s c
2
0
z
H = k ω σ
— 2 σ d →
· E → c o s ( ω t )
H
x
1 0
N o t ic e t h e c o r r e s p o n d e n c e w it h t h e s p in H a m ilt o n ia n s p i n = Ω σ z + B c o s ( ω t ) σ x d e s c r ib in g t h e in t e r a c t io n o f a s p in w it h a t im e - v a r y in g , c la s s ic a l m a g n e t ic fi e ld .
2
W e c a n n o w g o in t o t h e in t e r a c t io n f r a m e d e fi n e d b y t h e H a m ilt o n ia n H 0 = 1 ω 0 σ z . T h e n w e h a v e :
H ˜ s c = − ( | 0 ⟩ ⟨ 1 | d → 0 1 e i ω 0 t + | 1 ⟩ ⟨ 0 | d → 1 0 e — i ω 0 t ) · ( E → e — i ω t + E → ∗ e i ω t )
O n r e s o n a n c e ( ω 0 = ω ) w e r e t a in o n ly t im e - in d e p e n d e n t c o n t r ib u t io n s t o t h e H a m ilt o n ia n ( R W A ) , t h e n
H ˜ s c ≈ − ( | 1 ⟩ ⟨ 0 | d E + | 0 ⟩ ⟨ 1 | d ∗ E ∗ )
A s s u m in g f o r e x a m p le t h a t d E is r e a l, w e o b t a in a n H a m ilt o n ia n − d E σ x , in p e r f e c t a n a lo g y w it h t h e T L S a lr e a d y s t u d ie d . ( A m o r e g e n e r a l c h o ic e o f d E j u s t g iv e s a n H a m ilt o n ia n a t s o m e a n g le in t h e x y p la n e ) .
N o w le t u s c o n s id e r a f u ll q u a n t u m - m e c h a n ic a l t r e a t m e n t o f t h is p r o b le m . T h e in t e r a c t io n b e t w e e n a n a t o m a n d a q u a n t iz e d fi e ld a p p e a r s m u c h t h e s a m e a s t h e s e m ic la s s ic a l in t e r a c t io n . S t a r t in g w it h t h e d ip o le H a m ilt o n ia n f o r a t w o - le v e l a t o m , w e r e p la c e E b y t h e c o r r e s p o n d in g o p e r a t o r , o b t a in in g t h e in t e r a c t io n H a m ilt o n ia n
α
V = − d → · E → = − Σ ( E → α + E → † ) · ( d → | 1 ⟩ ⟨ 0 | + d → ∗ | 0 ⟩ ⟨ 1 | )
α
V
m
m
α
= − Σ Σ r 2 π k ω m [ a † e — i → k m · → r + a
α m
e i → k m · → r ]( d
α
| 1 ⟩ ⟨ 0 | + d ∗ | 0 ⟩ ⟨ 1 | )
( w h e r e α is t h e p o la r iz a t io n a n d m t h e m o d e ) . A s in t h e s e m ic la s s ic a l a n a ly s is , t h e H a m ilt o n ia n c o n t a in s f o u r t e r m s , w h ic h n o w h a v e a c le a r e r p h y s ic a l p ic t u r e :
a † m | 0 ⟩ ⟨ 1 | A t o m d e c a y s f r o m | 1 ⟩ → | 0 ⟩ a n d e m it s a p h o t o n ( in t h e m t h m o d e ) . a m | 1 ⟩ ⟨ 0 | A t o m is e x c it e d f r o m | 0 ⟩ → | 1 ⟩ a n d a b s o r b s a p h o t o n ( f r o m t h e m t h m o d e ) . a † m | 1 ⟩ ⟨ 0 | A t o m is e x c it e d f r o m | 0 ⟩ → | 1 ⟩ a n d e m it s a p h o t o n ( in t h e m t h m o d e ) .
a m | 0 ⟩ ⟨ 1 | A t o m d e c a y s f r o m | 1 ⟩ → | 0 ⟩ a n d a b s o r b s a p h o t o n ( f r o m t h e m t h m o d e ) .
F o r p h o t o n s n e a r r e s o n a n c e w it h t h e a t o m ic t r a n s it io n , t h e fi r s t t w o p r o c e s s e s c o n s e r v e e n e r g y ; t h e s e c o n d t w o p r o c e s s e s d o n o t c o n s e r v e e n e r g y , a n d in t u it io n s u g g e s t s t h a t t h e y m a y b e n e g le c t e d . In f a c t , t h e r e is a d ir e c t c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e R W A a n d e n e r g y c o n s e r v a t io n : t h e s e c o n d t w o p r o c e s s e s a r e p r e c is e ly t h o s e f a s t - r o t a t in g t e r m s w e d is r e g a r d e d p r e v io u s ly .
m
m
C o n s id e r t h e t o t a l H a m ilt o n ia n :
H = H
k
0
2
0
z
+ V = ω σ
+ Σ k ω
m
a † a
+ 1 + V
H
m
2
If w e g o t o t h e in t e r a c t io n f r a m e d e fi n e d b y t h e H a m ilt o n ia n 0 , e a c h m o d e a c q u ir e s a t im e d e p e n d e n c e e ± i ω m t w h ile t h e a t o m a c q u ir e s a t im e d e p e n d e n c e e ± i ω 0 t :
Σ ( E
m
m m m
α
a † e — i → k m · → r e i ω m t + E ∗ a e i → k m · → r e — i ω m t ) · ( e + i ω 0 t d
| 1 ⟩ ⟨ 0 | + d ∗ e — i ω 0 at | 0 ⟩ ⟨ 1 | )
α
m
V
w h e r e E = q 2 π k ω m . T h u s t h e t im e - d e p e n d e n t f a c t o r s a c q u ir e d a r e
a † m | 0 ⟩ ⟨ 1 | → a † m | 0 ⟩ ⟨ 1 | e + i ( ω 0 — ω m ) t a m | 1 ⟩ ⟨ 0 | → a m | 1 ⟩ ⟨ 0 | e — i ( ω 0 — ω m ) t
a † m | 1 ⟩ ⟨ 0 | → a † m | 1 ⟩ ⟨ 0 | e i ( ω 0 + ω m ) t a m | 0 ⟩ ⟨ 1 | → a m | 0 ⟩ ⟨ 1 | e — i ( ω 0 + ω m ) t
q
F o r f r e q u e n c ie s ω m n e a r r e s o n a n c e ω m ≈ ω 0 , w e o n ly r e t a in s t h e fi r s t t w o t e r m s .
T h e n , d e fi n in g t h e s i n g l e - p h o t o n R a b i f r e q u e n c y , g = − d α 2 π k ω m e i → k m · → r , t h e H a m ilt o n ia n in t h e in t e r a c t io n
p ic t u r e a n d in t h e R W A a p p r o x im a t io n is
m , α k V
H = Σ k g m , α a m | 1 ⟩ ⟨ 0 | + g m ∗ , α a † m | 0 ⟩ ⟨ 1 |
m
| ⟩ Σ | ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩
F r o m n o w o n w e a s s u m e a n e .m . w it h a s in g le m o d e ( o r w e a s s u m e t h a t o n ly o n e m o d e is o n r e s o n a n c e ) . W e c a n w r it e a g e n e r a l s t a t e a s ψ = n α n ( t ) 1 n + β n ( t ) 0 n , w h e r e n = n m is a s t a t e o f t h e g iv e n m o d e m w e r e t a in a n d h e r e I w ill c a ll t h e R a b i f r e q u e n c y f o r t h e m o d e o f in t e r e s t g . T h e e v o lu t io n is g iv e n b y :
i k Σ α ˙ n | 1 n ⟩ + β ˙ n | 0 n ⟩ = k Σ g α n σ — a † | 1 n ⟩ + β n σ + a | 0 n ⟩
n n
n
= k Σ g α n √ n + 1 | 0 , n + 1 ⟩ + β n √ n | 1 , n − 1 ⟩ W e t h e n p r o j e c t t h e s e e q u a t io n s o n ⟨ 1 n | a n d ⟨ 0 n | :
i k α ˙ n = k g β n + 1 ( t ) √ n + 1
i k β ˙ n = k g α n — 1 ( t ) √ n
t o o b t a in a s e t o f e q u a t io n s :
α ˙ n = − i g √ n √ + 1 β n + 1
β ˙ n + 1 = − i g n + 1 α n
T h is is a c lo s e d s y s t e m o f d iff e r e n t ia l e q u a t io n s a n d w e c a n s o lv e f o r α n , β n + 1 .
2
W e c o n s id e r a m o r e g e n e r a l c a s e , w h e r e t h e fi e ld - a t o m a r e n o t e x a c t ly o n r e s o n a n c e . W e d e fi n e ∆ = 1 ( ω 0 − ω ) , w h e r e
ω = ω m f o r t h e m o d e c o n s id e r e d . T h e n t h e H a m ilt o n ia n is :
H = k g a | 1 ⟩ ⟨ 0 | + g ∗ a † | 0 ⟩ ⟨ 1 | + k ∆ ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 0 ⟩ ⟨ 0 | )
W e c a n a s s u m e t h a t in it ia lly t h e a t o m is in t h e t h e e x c it e d s t a t e | 1 ⟩ ( t h a t is , β n ( 0 ) = 0 , ∀ n ) . T h e n w e h a v e :
n
n
2
Ω n
2
α ( t ) = α ( 0 ) e i ∆ t / 2 c o s Ω n t − i ∆ s in Ω n t
n
β ( t ) = − α
( 0 ) e — i ∆ t / 2 2 i g √ n + 1 s in Ω n t
n
n
Ω n
2
w it h Ω 2 = ∆ 2 + 4 g 2 ( n + 1 ) . If in it ia lly t h e r e is n o fi e ld ( i.e . t h e e .m . fi e ld is in t h e v a c u u m s t a t e ) a n d t h e a t o m is in
∀ /
t h e e x c it e d s t a t e , t h e n α 0 ( 0 ) = 1 , w h ile α n ( 0 ) = 0 n = 0 . T h e n t h e r e a r e o n ly t w o c o m p o n e n t s t h a t a r e d iff e r e n t t h a n z e r o :
0
2 ∆ 2 + 4 g 2
2
α ( t ) = e i ∆ t / 2 " c o s Ω 0 t − √ i ∆ s in Ω 0 t #
β ( t ) = − e √ s in
— i ∆ t / 2
∆ 2 + 4 g 2
2
2 i g Ω 0 t
0
o r o n r e s o n a n c e ( ∆ = 0 )
0
2
⟨ 1 , n = 0 | ψ ( t ) ⟩ = α ( t ) = c o s g t
0
2
⟨ 0 , n = 0 | ψ ( t ) ⟩ = β ( t ) = − i s in g t
T h u s , e v e n in t h e a b s e n c e o f fi e ld , it is p o s s ib le t o m a k e t h e t r a n s it io n f r o m t h e g r o u n d t o t h e e x c it e d s t a t e ! In t h e s e m ic la s s ic a l c a s e ( w h e r e t h e fi e ld is t r e a t e d a s c la s s ic a l) w e w o u ld h a v e n o t r a n s it io n a t a ll. T h e s e a r e c a lle d R a b i v a c u u m o s c illa t io n s .
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22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions
Fall 201 2
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