L u i z L e a l

O a k R i d g e N a t i o n a l L a b o r a t o r y

L e c t u r e s

P r e s e n t e d

a t t h e N u c l e a r

E n g i n e e r i n g

D e p a r t m e n t

o f t h e

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f

T e c h n o l o g y ( M I T )

Courtesy of Luiz Leal, Oak Ridge National Laboratory. Used with permission.

S c a t t e r i n g : C o h e r e n t a n d I n c o h e r e n t ( I n t e r f e r e n c e e f f e c t s )

( A ) C o h e r e n t E l a s t i c S c a t t e r i n g

1. O c c u r s

f o r

w a v e s

d e s c r i b i n g

i n c i d e n t

n e u t r o n s

h a v i n g t h e

s a m e e n e r g i e s

a n d

t h e s a m e s p i n s t a t e

2. F o r a

i n c i d e n t

n e u t r o n

c h a r a c t e r i z e d b y

e ikz

e a c h

n u c l e u s i n

t h e

t a r g e t

e m i t s a

s c a t t e r e d w a v e ( s ­ w a v e , l o w e n e r g y )

e ik i r i

 si   a i

r i

( R e l a t i v e c o o r d i n a t e s y s t e m s a t t a c h e d

t o t h e i th n u c l e u s )

3. F o r N n u c l e i i n t h e t a r g e t , w i t h s a m e

e n e r g y

a n d

s p i n

i n t h e

l a b o r a t o r y

s y s t e m ,

t h e t o t a l w a v e ( a d d e d c o h e r e n t l y ) is

 

 s 



N

  a i

i  1

ik i

e

r  R i

R i L a b o r a t o r y p o s i t i o n o f t h e i th

n u c l e u s

4. C o h e r e n t

s c a t t e r i n g

a f f e c t s o n l y

t h e

a n g u l a r

d i s t r i b u t i o n

o f s c a t t e r e d

n e u t r o n s . I t d o e s n o t a f f e c t t h e t o t a l

s c a t t e r i n g

c r o s s

s e c t i o n

( n e u t r o n s a r e

c o n s e r v e d i n t h e s c a t t e r i n g )

S i m p l e S y s t e m

T h e s c a t t e r e d w a v e s a r r i v i n g a t t h e d e t e c t o r a r e c o m b i n a t i o n s o f t h e w a v e s s c a t t e r e d a t A a n d B a n d a r e g i v e b y

 sc ( r ,  ,  )   a

e ikr

r

e ik ( r  BC )

 a

r  BC

T h e s c a t t e r i n g l e n g t h s a r e t h e s a m e f o r b o t h n u c l e i .

S i n c e r  BC ,

r  BC

i n t h e d e n o m i n a t o r c a n

b e r e p l a c e d b y r

T h e s e g m e n t BC i s g i v e a s

BC  d sin  cos 

S u g g e s t e d H o m e w o r k :

S h o w t h e a b o v e e x p r e s s i o n

H i n t : C a l c u l a t e t h e a n g l e b e t w e e n t w o v e c t o r s i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s .

T h e t o t a l s c a t t e r e d ‐ w a v e f u n c t i o n i s

e ikr

 sc

( r ,  ,  )  

r  a 

a e ikd sin  cos  

D e f i n i n g t h e s c a t t e r i n g f u n c t i o n a s

f (  ,  )

  a 

a e ikd sin 

cos  

T h e d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s

 s (  ,  )  f (  ,  )

T h e

d i f f e r e n t i a l

s c a t t e r i n g

c r o s s

s e c t i o n

p e r

n u c l e u s

f o r

o u r

s i m p l e

s y s t e m

i s o b t a i n e d b y

u s i n g t h e e x p r e s s i o n f o r

½ ( t w o n u c l e i )

f (  ,  )

w i t h a f a c t o r

 s (  ,  ) 

1 a 2  1  cos( kd sin  cos  )  2

S u g g e s t e d h o m e w o r k :

B e h a v i o r o f  s (  ,  ) f o r kd << 1 ( l o w energy) a n d kd >> 1 , ( h i g h e n e r g y )

C o n s i d e r t h e s p e c i a l c a s e f o r

  0 , i .

e . ,

cos   1

 s (  , 0) 

1 a 2  1  cos( kd sin  )  2

S i n c e

k  2 



 s ( 

, 0) 

1 a 2

2



1  cos( 2 



d 

sin  )

 

W e s e e t h a t t h e m a x i m u m o f  s (  ,  ) o c c u r s w h e n

n   d sin 

n  1 , 2 , 3...

T h i s i s t h e B r a g g ’ s l a w f o r o u r s i m p l e s y s t e m .

I n g e n e r a l t h e s i t u a t i o n is :

N e u t r o n s i n c i d e n t a r e s c a t t e r e d b y a n a n g l e 

B r a g g ’ s L a w is

n   2 d sin 

n  1 , 2 , 3...

N o t e t h a t f o r :

( a )   2 d n o B r a g g s c a t t e r i n g i s p o s s i b l e

( b )

M a x i m u m

o c c u r f o r   2 d max ; t h i s i s

t h e B r a g g c u t o f f

W e k n o w t h a t

2.86  10  9

 

( cm )

S u g g e s t e d h o m e w o r k :

S h o w t h at  

f ( E )

a s a b o v e

T h e e x p r e s s i o n f o r t h e B r a g g c u t o f f i s

0.14 3

d max 

( Å )

1Å = 10  8 cm

C a l c u l a t e d max  ?

( B ) I n c o h e r e n t E l a s t i c S c a t t e r i n g :

1. S c a t t e r i n g b y n o n i d e n t i c a l n u c l e i

2. N u c l e a r s p i n

3. N o n ‐ c o n s t a n t n u c l e a r s p a c i n g ( C r y s t a l )

( a ) Non ­ i d e n t i c a l n u c l e i ( c o n t i n u i n g w i t h t h e s i m p l e s y s t e m )

I n t h e

s i m p l e

s y s t e m

w e h a v e

b e e n

s t u d y i n g

f o r

t h e s c a t t e r i n g

o f t w o

n o n ‐ i d e n t i c a l

n u c l e i

t h e r e w i l l t w o d i s t i n c t s c a t t e r i n g l e n g t h s a 1

and a 2

T h e d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s

 (  ,  )  1 a

 a e ikd sin  cos  2

s 2 1 2

or

 (  ,  ) 

1  a 2

 a 2

 2 a a

cos( kd sin  cos  ) 

s 2 1

M a x i m u m :

 max (  ,  1

2 1 2

2

s ) 

( a 1  a 2 )

2

M i n i m u m :

 min (  ,  1 2

s ) 

( a 1  a 2 )

2

I f o n l y

c o h e r e n t

s c a t t e r i n g i s p r e s e n t

a 1  a 2

and

 min (  ,  )  0 .

T h e n o n z e r o

 min (  ,  )  0

i n d i c a t e s t h e

p r e s e n c e o f i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g .

I n g e n e r a l f o r a n u m b e r N o f n u c l e i w i t h

s c a t t e r i n g

l e n g t h s

a n ( n

 1 , 2 , 3 , ... , N )

t h e

d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s :

p e r

n u c l e i

 (  ,  )  1

s N

N 2

 a n G n ( k , R n )

n  1

R n P o s i t i o n o f t h e n th n u c l e u s

I f n

i s t h e

c o m p l e x c o n j u g a t e o f

G n t h e n

G G *  G * G  1

n n n n

S o m e d e f i n i t i o n s :

 a  1

N

N

 a n

n  1

T h e e x p r e s s i o n f o r a s

 s (  ,  )

c a n b e w r i t t e n

1

 s (  ,  ) 

N

N N

  a n

n  1 m  1

a m G n m

B y u s i n g

a n  ( a n   a  )   a 

w e h a v e

1 N

 (  ,  )  a 2    a  2   a  2  a G

n n

n  1

S u g g e s t e d h o m e w o r k : S h o w t h e e x p r e s s i o n a b o v e

T h e s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s

 s 

  s (  ,  ) d 

4 

T h e n

  4  (  a 2   

a  2 )  4 

 a  2

T h e a r e :

c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t

c r o s s s e c t i o n s

i. C o h e r e n t

coh s

 4  

a  2

ii. I n c o h e r e n t

incoh s

 4  (  a 2    a

 2 )

( b ) N u c l e a r s p i n

W h y i s t h i s a c a u s e f o r i n t e r f e r e n c e ? ?

P o t e n t i a l

n e u t r o n ‐ n u c l e u s

d e p e n d s o n t h e

o r i e n t a t i o n o f t h e s p i n v e c t o r .

 

V ( r )  I . i



I  nuclear spin



i  neutron spin ( 1 / 2)

  

C h a n n e l s p i n : J i s a s u m o f I

and i t h a t i s

  

J  I  i

T h e r e f o r e :

J  

and

I  1 / 2

J   I  1 / 2

T h e s t a t i s t i c a l s p i n f a c t o r i s g i v e n a s

g ( J ) 

2 J  1 (2 i  1 )( 2 I  1 )

F o r e a c h J  a n d J  w e h a v e

g  

and

g  

I

2 I  1

I  1 2 I  1

T h e

s p i n

c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t c r o s s

s e c t i o n s a r e

i. S p i n c o h e r e n t

coh s

 4  ( g  a 2

 g  a 2 )

ii. S p i n i n c o h e r e n t

incoh s

 4  g  g  ( a

 a ) 2

E x a m p l e f o r 1 H

a  

5.3 fm

a    24.0 fm

w h e r e

1 fm  10  13 cm and I  1 / 2

C a l c u l a t e :

coh ?

s

incoh

s

 ?  s  ?

I n e l a s t i c E f f e c t s

I n t h e

“ C h e m i c a l e n e r g y r e g i o n s ” t h e

n o t i o n o f

e l a s t i c

a n d

i n e l a s t i c

e f f e c t s

a r e

r e l a t e d

t o t h e

e n e r g y

l e v e l s

o f t h e

t a r g e t . N o

c h a n g e i n

t h e

e n e r g y

l e v e l s

l e a d s t o

a n e l a s t i c

s c a t t e r i n g ,

o t h e r w i s e , i t i s i n e l a s t i c .

L e t ’ s e x a m i n e

t h e

s i m p l e

c a s e

o f a

d i a t o m i c

m o l e c u l a r

( E n e r g y

L e v e l s ) .

T h e

p o s s i b i l i t i e s

R o t a t i o n .

a r e :

T r a n s l a t i o n ,

V i b r a t i o n

a n d

  

r  r 1  r 2

and

  '  '

r  r 1  r 2

T h e r e d u c e m a s s i s :

  m 1 m 2

m 1  m 2

( a ) V i b r a t i o n a l m o d e :

A s s u m e

t h e

m a s s

m 1 and

m 2 a r e

b o u n d

t o g e t h e r b y a n e l a s t i c s p r i n g s u c h a s

F   k ( x  x 0 )

Classical

Quantum 

Mechanics

d 2 x

dt 2

  k ( x  x 0 )

d 2  dx 2

 2 m ( E

 2

 1 kx 2 )   0

2

x  x 0 sin( wt   )

E   1

w 

; w  2  

n w ( n 

); n  0 , 1 , 2 , ...

2

T h e e n e r g y l e v e l s w i l l b e

E 0 

E 

1  w

2

3  w

1

E 2

etc

2

 5  w

2

( b ) R o t a t i o n a l M o d e :

( i ) C l a s s i c a l e n e r g y o f t h e s y s t e m

E  1

2

m  2  1 2

1 1 2 2 2

for

 1  w r 1 and  2  w r 2

t h e n

E  1

2

I w 2

where I  m r 2  m r 2

U s i n g

  

r  r 1  r 2

and

m 1 r 1 

m 2 r 2  0

T h e

p r o b l e m

i s r e d u c e d

t o a

o n e ‐ body

p r o b l e m

T h e a n g u l a r m o m e n t u m

L  mr  or L  mr 2 w or L  Iw The rotation energy becomes

L 2

E 

( i i )

2 I

Q u a n t u m ‐ m e c h a n i c s v i e w p o i n t

L 2   2 l ( l  1 ) the energy will be :

 2

E  l ( l  1 ) where l  0 , 1 , 2 , ...

2 I

V i b r a t i o n a l ­ R o t a t i o n a l E n e r g y L e v e l s

I n t h e i n e l a s t i c s c a t t e r i n g p r o c e s s t h e

v i b r a t i o n

m o d e

o f t h e s y s t e m ( a c r y s t a l f o r

i n s t a n c e ) m a y c h a n g e d u e t o a c o l l i s i o n w i t h

n e u t r o n s . T h e

v i b r a t i o n a l

e n e r g y

q u a n t i z e d i s

c a l l e d a

p h o n o n . I n

a m o r e

r e a l i s t i c

s y s t e m

w h e r e s e v e r a l n u c l e i a r e p r e s e n t i t i s n o t

p o s s i b l e

t o i d e n t i f y

i n d i v i d u a l

p h o n o n . I n

t h a t

c a s e

o n e

u s e s

t h e

c o n c e p t

o f p h o n o n

s p e c t r u m ( p h o n o n d i s t r i b u t i o n ) u s u a l l y a

f u n c t i o n o f t h e f r e q u e n c y

w ( 2   ).

The

e n e r g y

o f a

p h o n o n

o f f r e q u e n c y w i s

 w a n d t h e e n e r g y s p e c t r u m i s

f ( w )

M IT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu

22.106 Neutron Interactions and Applications

Spring 20 10

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