L u i z L e a l

O a k R i d g e N a t i o n a l L a b o r a t o r y

L e c t u r e s

P r e s e n t e d

a t t h e N u c l e a r

E n g i n e e r i n g

D e p a r t m e n t

o f t h e

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ( M I T )

Courtesy of Luiz Leal, Oak Ridge National Laboratory. Used with permission.

N e u t r o n I n t e r a c t i o n

T i m e  In d e p e n d e n t T r a n s p o r t E q u a t i o n f o r

 ( E , r ,  ˆ )



ˆ ˆ

ˆ  ˆ

 .    t    d  '  dE '  s ( E '  E ,  '   )  ( E ' , r ' ,  )  S

4  0

 t M a c r o s c o p i c t o t a l c r o s s s e c t i o n

 s M a c r o s c o p i c s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n

H o w a r e t h e s e q u a n t i t i e s t r e a t e d ?

M e a s u r e m e n t b y

t i m e ‐ of ‐ f l i g h t m a c h i n e ,

r e a c t o r s , e t c ;

( b ) E v a l u a t e d u s i n g n u c l e a r p h y s i c s m o d e l s ;

( c ) G e n e r a t e d u s i n g n u c l e a r p h y s i c s c o d e s

( P o o r C h o i c e ! )

H o w i s n u c l e a r p h y s i c s a p p l i e d t o g e t t h e c r o s s s e c t i o n s ?

N e u t r o n I n t e r a c t i o n

n + target  ???

I n a l l t h r e e r e g i o n s t h e r e a r e a l w a y s : S C A T T E R I N G a n d R E A C T I O N

R e g i o n

1 : H i g h

e n e r g y

n e u t r o n s – d i r e c t a n d

c o m p o u n d n u c l e u s f o r m a t i o n ;

R e g i o n 2 : R e s o n a n c e r e g i o n ( r e s o l v e d a n d

u n r e s o l v e d ) –

D e f i n i t e l y

c o m p o u n d

n u c l e u s

f o r m a t i o n a n d s o m e d i r e c t i n t e r a c t i o n s ;

R e g i o n

3 : C h e m i c a l

r e g i o n –

n e u t r o n e n e r g y

o f i n c i d e n t

n e u t r o n i s

c o m p a r a b l e t o

t h e

c h e m i c a l b i n d i n g e n e r g y o f a t o m s i n t h e

m o l e c u l e s;

T h e n e u t r o n r e a c t i o n c r o s s s e c t i o n s s u c h a s ( n , f i s s i o n ) , ( n , g a m m a ) a r e a f f e c t e d o n ly b y t h e m o t i o n o f t h e t a r g e t a t o m s ( D o p p le r b r o a d e n i n g effects) .

I n t h e t r e a t m e n t o f t h e n e u t r o n s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i n t h e c h e m i c a l r e g i o n o n e m u s t c o n s i d e r :

( a ) K i n e t i c e n e r g y o f t h e i n c i d e n t n e u t r o n s

i s c o m p a r a b l e t o

t h e

b i n d i n g

e n e r g y o f

t h e

a t o m i n

t h e

t a r g e t

( m o l e c u l e ,

s o l i d ,

l i q u i d ) .

A T O M S A R E N O T F R E E ! ! !

( b ) N e u t r o n

w a v e l e n g t h

i s o f t h e o r d e r o f

t h e

i n t e r a t o m i c

s p a c i n g i n m o l e c u l e s o f

c r y s t a l s ;

(c) S c a t t e r i n g

f r o m v a r i o u s

n u c l e i i n

t h e

s a m e

m o l e c u l e

o f c r y s t a l i n t e r f e r e

( c o h e r e n t , i n c o h e r e n t ) ;

( d ) N e u t r o n m a y G A I N o r l o s e e n e r g y ;

B o r n a p p r o x i m a t i o n A n d

F e r m i p s e u d o p o t e n t i a l

C o n s i d e r t h e s i t u a t i o n : S c a t t e r i n g b y a s i n g l e s p i n l e s s n u c l e u s



 ( r )

a t t h e d e t e c t o r s a t i s f y t h e e q u a t i o n :

  2

   

  2 

 2  V ( r )   ( r )  E  ( r )



Or

  2  k 2  



( r ) 



F ( r )

W h e r e :

k 2  2  E

 2

and

 2   

F ( r )   2 V ( r )  ( r )

T h e

i n c i d e n t

w a v e

d e s c r i b e s a

f r e e

p a r t i c l e

t r a v e l i n g i n t h e z d i r e c t i o n . I t i s g i v e n a s

 ikz

 inc ( r )  e

W e a l s o k n o w t h a t

  2 

k 2  e ikz  0

S u g g e s t e d h o m e w o r k : D e m o n s t r a t e t h a t

  2 

k 2  e ikz  0

T h e r e f o r e , t h e e q u a t i o n s t o b e s o l v e d i s

  2  k 2    

sc ( r )  F ( r )

w i t h

 2   

F ( r )   2 V ( r )  ( r )

R e c a l l t h a t 



( r )

i s i n c l u d e d i n



F ( r )

G r e e n ’ s F u n c t i o n



 0 ( r )

S o l u  t i o n  a t t h e d e t e c t o r

d u e

t o a p o i n t s o u r c e

a t r  r '

  2  k 2  



0 ( r ) 

 

 ( r  r ' )



 0 ( r )

i s g i v e n a s

 

 e ik | r  r ' |

 0 ( r )    

4 

| r  r ' |

T h e s o l u t i o n f o r   is o b t a i n e d b y

sc ( r )

i n t e g r a t i n g i n v o l u m e 

 

 e ik | r  r ' | 

 sc ( r )    4    F ( r ' ) d 

 | r  r ' |

or

 

  

e ik | r  r ' |  

 sc ( r )

  2   2

 4 

  V ( r ' )  ( r ' ) d 

 | r

 r ' |

N i c e 

s o l u t i o n  o f l i t t l e v a l u e s i n c e n e i t h e r

V ( r )

no r  ( r ) a r e k n o w n q u a n t i t i e s .

B e f o r e p r o c e e d i n g f u r t h e r n o t e t h a t f o r

|  |  |



r ' |

  

 ˆ  1 / 2

| r  r ' |  r  1  2

r ' . u



 r 

or

   ˆ

| r  r ' |  r  r ' . u

w h e r e



u ˆ  r

r

S u g g e s t e d h o m e w o r k : S h o w t h a t

  

 ˆ

T h e f u n c t i o n 



sc ( r )

b e c o m e s ,

   

    e ikr

 sc

( r )   



2   2

e  ik r ' . u ˆ V ( r ' )  ( r ' ) d  

  r

D e f i n i n g

 

 ˆ  

f (  )

  2   2

 e  ik r ' . u V ( r ' )  ( r ' ) d 



H e n c e



sc ( r )  f (  )

e ikr

r

W e k n o w

t h a t

t h e

d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s

s e c t i o n i s g i v e n a s

d 2  2

 (  ) 



dEd 

f (  )

2

   ˆ  

 (  ) 

 2   2

 e  ik r ' . u V ( r ' )  ( r ' ) d 



T h e no t

f u n c t i o n s 

K n o w n ! ! !



( r )

and



V ( r )

a r e s t i l l

B o r n A p p r o x i m a t i o n

A s s u m p t i o n :

T h e

c o m p l e t e

w a v e

f u n c t i o n



 ( r )

i n t h e

p o t e n t i a l

r e g i o n

i s r e p l a c e d

b y t h e

i n c i d e n t

w a v e f u n c t i o n , t h a t i s ,

  ˆ

 ( r )

 e ikz  e ik r . u z

R a t i o n a l e :

I n c i d e n t

p a r t i c l e

i s w e a k l y s c a t t e r e d i n t h e

p o t e n t i a l r e g i o n ,

2

   ˆ ˆ 

 (  ) 

 2   2

 e  ik r ' .( u z  u ) V ( r ' ) d 





V ( r )

i s s t i l l n o t k n o w n ! !

F e r m i P s e u d o p o t e n c i a l

F e r m i c a m e u p  w i t h

a c l e v e r i d e a f o r a n

e x p r e s s i o n f o r V ( r )

i s v e r y l o w .

w h e n t h e n e u t r o n e n e r g y

A s s u m p t i o n s :

( a )

T h e

p o t e n t i a l i s

a p p l i e d

t o s ­ w a v e ,

a n g u l a r

m o m e n t um

l = 0 ,

t h a t

i s ,

t h e

p o t e n t i a l i s

s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c ;

( b ) S h o r t r a n g e p o t e n t i a l

T h e p o t e n t i a l s u g g e s t e d b y F e r m i i s

 2   2 

V ( r ) 

a  ( r )



W h e r e a i s t h e s c a t t e r i n g l e n g t h

T o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t i n t r o d u c e d b y

F e r m i l e t ’ s c o n t i n u e e x a m i n i n g t h e s c a t t e r i n g

o f n e u t r o n s

b y a

s i n g l e n u c l e u s w i t h n o s p i n

e f f e c t c o n s i d e r e d .

R e c a l l t h a t :



( r )  e

 f (  )

e ikr

r

f o r

r  R

L o w e n e r g y n e u t r o n , s i n c e k 2

 2  E

 2

, i m p l i e s

t h a t k  0

H e n c e

li m r  ( r )  r  li m f (  )

k  0 k  0

r  R r  R

T h e s c a t t e r i n g l e n g t h a i s d e f i n e d a s

a   li m f (  )

k  0

r  R

I n t e r p r e t a t i o n o f t h e s c a t t e r i n g l e n g t h a

F o r r = R at t h e n u c l e a r s u r f a c e w e h a v e

R  ( R )  R  a

o r

a  R  1   ( R ) 

( a )  ( R )  0

i m p e n e t r a b l e s p h e r e

and a=R

( b )  ( R )  1

a > 0

a n d

a < R

R e a l i s t i c p o t e n t i a l i n d i c a t i n g b o u n d s t a t e s

(c)  ( R )  1

a < 0

N o b o u n d s t a t e s ! !

T h e d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n w i t h t h e F e r m i p s e u d o p o t e n t i a l i s t h e n

 (  ) 

 

 2   2



 e  ik r .( u z  u )



2   2



2



( r ) d

f o r k  0 ( l o w e n e r g y n e u t r o n s )

 (  )  a

T h e t o t a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s

 s 

o r

  s (  ) d 

4 

 s  4  a 2

T h e d e r i v a t i o n s o f a r a s s u m e s t h a t t h e

i n c i d e n t

n e u t r o n s

h a v e

v e r y l o w e n e r g y . I t i s

a l s o

a s s u m e d

t h a t

t h e

n u c l e u s o f m a s s M i s

n o t b o u n d ; t h e r e f o r e , t h e

s c a t t e r i n g

l e n g t h i s

c a l l e d

a free .

I f t h e n e u t r o n

i n t e r a c t s

w i t h a

m o l e c u l e

o f m a s s

M ’ i n

w h i c h

t h e

n u c l e u s o f

m a s s M

i s i n c l u d e d ,

i . e . , n u c l e u s

b o u n d

t o t h e

m o l e c u l e ,

t h e

S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n

f o r

t h e

s y s t e m

n e u t r o n ‐ m o l e c u l e

w i l l

i n c l u d e

t h e

m a s s

b e t w e e n

t h e

n e u t r o n

( m ) a n d t h e

m o l e c u l e ( M ’ ) .

T h e s c e n a r i o s a r e :

( a ) S y s t e m m a n d M

  2

   

  2 

 2  V ( r )   ( r )  E  ( r )



w h e r e

m M

 

m  M

( b ) S y s t e m m a n d M ’

  2

   

  2  '

 2  V ( r )   ( r )  E  ( r )



w h e r e

 ' 

T h e

m M '

m  M '

S c h r ö d i n g e r

e q u a t i o n f o r t h e s y s t e m m

a n d M ’ c a n b e w r i t t e n a s

 2   '    ' 

  2  ( r )  2 

V ( r )  ( r ) 

 

E  ( r )

W e s e e a n e f f e c t i v e p o t e n t i a l f o r t h e s y s t e m

m ‐ M ’ a s



V eff ( r ) 

 ' 

V ( r )



A s w e h a v e s e e n , i n t h e B o r n

a p p r o x i m a t i o n

t o g e t h e r

w i t h

t h e F e r m i

p s e u d o p o t e n t i a l

t h e

s c a t t e r i n g l e n g t h w i t h

t h e e f f e c t i v e p o t e n t i a l i s

a bound

or

 

 2   2



V eff ( r ) d 



a bound

 m  M

M

 

2   2



V ( r ) d 



T h e r e l a t i o n b e t w e e n a bound a n d a f r e e is

a bound

m  M



M

a free

D e f i n i n g A

a s t h e

r a t i o b e t w e e n t h e

n u c l e u s

m a s s M

a n d

t h e

n e u t r o n m a s s m ,

A = M / m w e h a v e

a bound

A  1

 a

A

free

S i n c e

t h e

l o w ‐ e n e r g y b o u n d ‐ s c a t t e r i n g c r o s s ‐

s e c t i o n i s

bound s

2

bound

T h e

r e l a t i o n

b e t w e e n

t h e

b o u n d a n d

u n b o u n d s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n i s

 bound

 A  1  2

   

s  A 

free

A s a n e x a m p l e , f o r A = 1 ( h y d r o g e n )

bound s

 4 

free

S u g g e s t e d h o m e w o r k :

( a ) W h i c h o n e i s m e a s u r e d  bound or

 free ?

( b ) I f b o t h , h o w ?

M IT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu

22.106 Neutron Interactions and Applications

Spring 20 10

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