M I T O C W | N u m e r i c a l E x a m p l e s o f A c t i v i t y , H a l f L i f e , a n d S e r i e s D e c a y
T h e f o l l o w i n g c o n t e n t i s p r o v i d e d u n d e r a C r e a t i v e C o m m o n s l i c e n s e . Y o u r s u p p o r t w i l l h e l p M I T O p e n C o u r s e W a r e c o n t i n u e t o o f f e r h i g h q u a l i t y e d u c a t i o n a l r e s o u r c e s f o r f r e e . T o m a k e a d o n a t i o n o r t o v i e w a d d i t i o n a l m a t e r i a l s f r o m h u n d r e d s o f M I T c o u r s e s , v i s i t M I T O p e n C o u r s e W a r e a t o c w . m i t . e d u .
M I C H A E L S H O R T : Y o u g u y s a s k e d t o d o s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e s t u f f t h a t w e ' v e b e e n l e a r n i n g t o d a y , a n d I ' v e g o t a f u n o n e f o r y o u . A v e r y r e a l o n e , b e c a u s e i t h a p p e n s a l l t h e t i m e i n r e a c t o r s a l l o v e r t h e w o r l d . S o t o s e t t h e s t a g e f o r t h i s , h e y , s u p p o s e I h a d - - j u s t s u p p o s e , I h a d a r a d i o a c t i v e c o b a l t - 6 0 s o u r c e , t h a t w a s c a l i b r a t e d i n M a r c h , 2 0 1 1 t o b e a p p r o x i m a t e l y o n e m i c r o c u r i e .
A n d i t ' s n o w O c t o b e r 2 0 1 6 . S o l e t ' s s t a r t o f f w i t h t h e e a s y p a r t . L e t ' s s a y I p o s e d t h e q u e s t i o n , h o w a c t i v e w a s t h i s s o u r c e a c t u a l l y w h e n i t w a s m a d e ? B e c a u s e i t j u s t s a y s - - w h a t d o e s i t s a y -
- 1 m i c r o c u r i e . S u p p o s e d l y , t h i s w a s 1 m i c r o c u r i e o n M a r c h , 2 0 1 1 .
W h a t d o e s t h a t m e a n t h e a c t u a l a c t i v i t y c o u l d b e ? T h e r e ' s n o t a l o t o f c o n f i d e n c e i n t h a t n u m b e r . R e m e m b e r s i g n i f i c a n t f i g u r e s f r o m h i g h s c h o o l c h e m i s t r y a n d p h y s i c s . T h i s i s w h e n t h e y ' r e i m p o r t a n t , b e c a u s e y o u g o t t o k n o w w h a t y o u ' r e b u y i n g . S o w h a t i s t h e a c t u a l a c t i v i t y o f t h i s s o u r c e w h e n i t w a s c a l i b r a t e d ? W h a t i s o u r u n c e r t a i n t y o n t h i s ?
A n y o n e r e m e m b e r t h i s f r o m s i g f i g s ? I h o p e s o . I f n o t , I ' l l r e f r e s h y o u r m e m o r y . I t ' s p l u s o r m i n u s t h e n e x t d e c i m a l p o i n t . S o r e a l l y , t h i s w a s 1 p l u s o r m i n u s 0 . 5 m i c r o c u r i e s . S o y o u m i g h t h a v e a 1 / 2 m i c r o c u r i e s o u r c e . Y o u m i g h t h a v e a 1 a n d 1 / 2 m i c r o c u r i e s o u r c e . T h e y s p e c i f i c a l l y d e c i d e d t o l e a v e o u t t h e s e c o n d d e c i m a l p o i n t s o t h e y ' r e n o t l i a b l e f o r a s o u r c e t h a t ' s o u t o f t h a t c a l i b r a t i o n l e v e l .
S o w e s u p p o s e d l y h a v e a 1 m i c r o c u r i e s o u r c e . A n d I ' v e m e a s u r e d i t o n - - l e t ' s s a y i t ' s n o w - - O c t o b e r , 2 0 1 6 . S u p p o s e I w e n t a n d m a d e a m e a s u r e m e n t , a n d i t w a s 0 . 5 2 m i c r o c u r i e s . A n d w e w a n t t o k n o w , h o w a c t i v e w a s t h i s s o u r c e a c t u a l l y w h e n w e g o t i t ? W h e r e w o u l d I b e g i n ?
A U D I E N C E : L o o k u p t h e h a l f - l i f e .
M I C H A E L S H O R T : O K , y e a h , t h a t ' s w h y I ' v e g o t t h e t a b l e o f n u c l i d e s r i g h t h e r e . S o l e t ' s l o o k u p t h e h a l f - l i f e o f c o b a l t - 6 0 . A n d t h e r e i t i s r i g h t t h e r e , 1 , 9 2 5 d a y s . S o w e k n o w t h a t t h e h a l f - l i v e f o r c o b a l t - 6 0 i s 1 , 9 2 5 . 4 d a y s , w h i c h e q u a l s - - a n d I p r e - d i d t h e m a t h o u t s o I w o u l d n ' t s p e n d l o t s o f t i m e o n t h e
c a l c u l a t o r .
A c t i v i t y , h o w m a n y s e c o n d s i s t h a t ? 1 . 6 6 t i m e s 1 0 t o t h e e i g h t h s e c o n d s . A n d w e a l s o r e m e m b e r t h a t a c t i v i t y e q u a t i o n , w h e r e t h e a c t i v i t y a s a f u n c t i o n o f t i m e e q u a l s t h e o r i g i n a l a c t i v i t y t i m e s e t o t h e m i n u s l a m b d a t . T h e o n l y t h i n g m i s s i n g h e r e i s t h e i n i t i a l a c t i v i t y a n d l a m b d a , s o h o w d o w e f i n d l a m b d a ? A n y o n e r e m e m b e r t h a t e x p r e s s i o n ?
A U D I E N C E : L o g o f 2 o v e r h a l f - l i f e .
M I C H A E L S H O R T : Y e p . A n d w e k n o w t h a t l a m b d a e q u a l s l o g o f 2 o v e r t h e h a l f - l i f e , w h i c h i n t h i s c a s e i s a b o u t 0 . 6 9 3 o v e r 1 . 6 6 t i m e s 1 0 t o t h e e i g h t h , w h i c h e q u a l s 4 . 1 7 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 9 p e r s e c o n d . A n d s o n o w i t ' s p r e t t y e a s y . W e k n o w w h a t l a m b d a i s . W e k n o w w h a t o u r c u r r e n t A i s . S o w e c a n s a y t h a t o u r o r i g i n a l a c t i v i t y i s s i m p l y o u r c u r r e n t a c t i v i t y d i v i d e d b y e t o t h e m i n u s l a m b d a
t . W h a t ' s t ?
W e l l , I m a d e a n a p p r o x i m a t i o n h e r e . I t ' s b e e n a b o u t f i v e y e a r s a n d s e v e n m o n t h s . I a s s u m e d t h a t a m o n t h h a s 3 0 d a y s , o n a v e r a g e , w h i c h c o m e s o u t t o t - - I r e m e m b e r c a l c u l a t i n g t h i s a l r e a d y - - 1 . 7 4 t i m e s 1 0 t o t h e e i g h t h s e c o n d s . S o w e p l u g i n t h a t t r i g h t h e r e , p l u g i n t h a t l a m b d a r i g h t t h e r e , a n d w e g e t o u r i n i t i a l a c t i v i t y - - w h a t d i d I g e t ? - - w a s 1 . 0 7 m i c r o c u r i e s .
N o w h o p e f u l l y , t h i s r e s u l t i s f a i r l y i n t u i t i v e . B e c a u s e t h e h a l f - l i f e o f c o b a l t - 5 7 i s 1 , 9 2 5 d a y s , w h i c h i s a b o u t 5 a n d 1 / 4 y e a r s . A n d i t ' s j u s t o v e r 5 a n d 1 / 4 y e a r s s i n c e t h i s s o u r c e w a s c a l i b r a t e d . A n d w e h a v e j u s t u n d e r h a l f o f t h e o r i g i n a l a c t i v i t y . S o h o p e f u l l y t h a t ' s a n i n t u i t i v e n u m e r i c a l e x a m p l e .
N o w , l e t ' s s a y , h o w m a n y a t o m s o f c o b a l t - 6 0 d i d w e h a v e ? O r b e t t e r y e t , w h a t w a s t h e m a s s o f c o b a l t - 6 0 ? W h e r e w o u l d I g o f o r t h a t ? I ' l l g i v e y o u a h i n t . I t ' s o n t h e s c r e e n .
A U D I E N C E : A r e y o u s a y i n g t h e m a s s t h a t w e h a v e i n t h e p e l l e t ?
M I C H A E L S H O R T : Y e a h , s o f o r t h i s p l a s t i c c h e c k s o u r c e r i g h t h e r e , w h a t ' s t h e a c t u a l m a s s o f c o b a l t - 6 0 t h a t w e p u t i n i n t h e b e g i n n i n g , a g a i n , s u p p o s i n g I h a d o n e o f t h e s e r i g h t i n f r o n t o f y o u ?
A U D I E N C E : L o o k a t t h e b i n d i n g e n e r g y .
M I C H A E L S H O R T : Y o u c o u l d l o o k a t b i n d i n g e n e r g y , w h i c h i s a f o r m o f m a s s . O r l u c k i l y , w e ' v e g o t t h e a t o m i c m a s s r i g h t u p t h e r e i n A M U . S o a g a i n , t h i s i s a q u i c k r e v i e w o f h i g h s c h o o l c h e m i s t r y . W e n e e d t o f i n d o u t h o w m a n y a t o m s w e h a v e i n t h i s p e l l e t . A n d o n c e w e k n o w t h e n u m b e r o f a t o m s - -
a n d w e h a v e t h e m o l a r m a s s u p t h e r e i n e i t h e r A M U p e r a t o m o r s a m e t h i n g a s m o l e s p e r g r a m , p r e t t y m u c h - - w e ' l l k n o w w h a t t h e m a s s o f c o b a l t - 6 0 w a s .
S o o n e i m p o r t a n t c o n v e r s i o n f a c t o r t o n o t e i s t h a t 1 c u r i e o f r a d i a t i o n i s 3 . 7 t i m e s 1 0 t o t h e 1 0 b e c q u e r e l . A n d r e m e m b e r t h a t 1 b e c q u e r e l i s 1 d i s i n t e g r a t i o n p e r s e c o n d . S o i f w e k n o w t h e i n i t i a l a c t i v i t y o f o u r m a t e r i a l , u s i n g o u r d e c a y c o n s t a n t , w e s h o u l d k n o w t h e n u m b e r o f a t o m s t h a t w e h a d r i g h t t h e r e .
S o w e k n o w o u r i n i t i a l a c t i v i t y , A 0 i s 1 . 0 7 m i c r o c u r i e . A n d a n y o n e r e m e m b e r , w h a t ' s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e a c t i v i t y a n d t h e n u m b e r o f a t o m s p r e s e n t ? J u s t y e l l i t o u t . I h o p e y o u ' d k n o w t h a t b y n o w . D o e s t h i s l o o k f a m i l i a r t o a n y o n e ? W h e r e t h e a c t i v i t y i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f a t o m s t h e r e , t i m e s i t ' s d e c a y c o n s t a n t .
S o s i n c e w e n o w k n o w A 0 , w e c a n f i n d N 0 , b e c a u s e n o w w e k n o w l a m b d a a s w e l l . S o t h e n u m b e r o f a t o m s w e h a d a t t h e b e g i n n i n g i s j u s t , o u r a c t i v i t y o v e r l a m b d a . A n d o u r a c t i v i t y i s
1 . 0 7 m i c r o c u r i e s . L e t ' s c o n v e r t u p t o c u r i e s . S o w e k n o w t h a t t h e r e i s 1 c u r i e i n 1 0 t o t h e 6 m i c r o c u r i e s . A n d w e ' l l u s e t h a t c o n v e r s i o n f a c t o r r i g h t t h e r e , t i m e s 3 . 7 , t i m e s 1 0 t o t h e 1 0 b e c q u e r e l p e r 1 c u r i e , d i v i d e d b y o u r d e c a y c o n s t a n t , 4 . 1 7 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 9 p e r s e c o n d .
L e t ' s c h e c k o u r u n i t s t o m a k e s u r e e v e r y t h i n g c o m e s o u t . I b r o u g h t a c a n c e l i n g c o l o r . W e h a v e m i c r o c u r i e s o n t h e t o p , m i c r o c u r i e s o n t h e b o t t o m , c u r i e s o n t h e t o p , c u r i e s o n t h e b o t t o m .
A n d w e h a v e a b e c q u e r e l s , w h i c h i s a d i s i n t e g r a t i o n s p e r s e c o n d . A n d w e h a v e a p e r s e c o n d d o w n o n t h e b o t t o m . S o t h e p e r s e c o n d g o e s a w a y a n d t h e b e c q u e r e l s j u s t b e c o m e s a t o m s .
A n d s o w e a c t u a l l y g e t , N 0 i s - - I t h i n k i t ' s s o m e t h i n g t i m e s 1 0 t o 1 2 t h . Y e a h , 9 . 5 t i m e s 1 0 t o t h e 1 2 t h a t o m s . T h a t ' s t h e w a y i t l o o k s . S o t h e f i n a l s t e p , h o w d o w e g o f r o m n u m b e r o f a t o m s t o m a s s ? C a n a n y o n e t e l l m e ?
A U D I E N C E : C o n v e r t i t t o A v o g r a d o ' s n u m b e r a n d m o l e s .
M I C H A E L S H O R T : Y e p . S o t h e l a s t t h i n g w e ' l l d o i s w e ' l l s a y w e h a v e 9 . 5 t i m e s 1 0 t o t h e 1 2 t h a t o m s , t i m e s A v o g a d r o ' s n u m b e r , w h i c h i s 1 m o l e i n e v e r y 6 t i m e s 1 0 t o t h e 2 3 r d a t o m s . T h e n w e g o t o t h e t a b l e o f n u c l i d e s t o g e t i t s a t o m i c m a s s .
T h i s i s o n e o f t h o s e s i t u a t i o n s w h e r e y o u d o n ' t n e e d t o t a k e t h e e i g h t h d e c i m a l p l a c e , b e c a u s e y o u ' r e n o t c o n v e r t i n g f r o m m a s s t o e n e r g y . Y o u ' r e j u s t g e t t i n g m a s s . S o i f y o u m i g h t w o n d e r , w h e r e d i d a l l t h e d e c i m a l p o i n t s g o , t h i n k o f w h a t t y p e o f c a l c u l a t i o n w e ' r e d o i n g . I f w e s t a r t e d
o f f w i t h a o n e s i g n i f i c a n t d i g i t n u m b e r , d o w e r e a l l y c a r e a b o u t k e e p i n g t h e e i g h t h d e c i m a l p l a c e i n t h e r e s t o f e v e r y t h i n g ? N o , d e f i n i t e l y n o t .
W e ' r e n o t t u r n i n g A M U i n t o M E V , i n w h i c h c a s e t h e s i x t h d e c i m a l p o i n t c o u l d p u t y o u o f f b y h a l f a n M E V , o r l i k e t h e r e s t m a s s o f t h e e l e c t r o n . W e ' r e j u s t g e t t i n g m a s s e s h e r e . S o l e t ' s j u s t c a l l t h a t 5 9 . 9 - - t h a t ' s e n o u g h f o r m e - - 5 9 . 9 g r a m s i n 1 m o l e o f c o b a l t - 6 0 . A n d j u s t t o c o n f i r m , w e h a v e a t o m s h e r e , a t o m s t h e r e , m o l e s t h e r e , m o l e s t h e r e . W e s h o u l d g e t a m a s s i n g r a m s .
A n d t h i s c a m e o u t t o 0 . 9 5 n a n o g r a m s o f c o b a l t - 6 0 . N o t a l o t o f c o b a l t - 6 0 c a n p a c k q u i t e a w a l l o p i n t e r m s o f a c t i v i t y . S o e v e n t h o u g h t h i s h a s a p r e t t y l o n g h a l f - l i f e , a s f a r a s i s o t o p e s g o , i t t a k e s v e r y l i t t l e o f i t t o h a v e q u i t e a b i t o f a c t i v i t y , c e r t a i n l y e n o u g h f o r o u r f a i r l y i n e f f i c i e n t h a n d m a d e G e i g e r c o u n t e r t o m e a s u r e w h a t ' s g o i n g o n . P r e t t y n e a t , h u h ? C o o l .
N o w , l e t ' s s a y I a s k y o u a n o t h e r q u e s t i o n , a s i m p l e r q u e s t i o n . H o w m a n y d i s i n t e g r a t i o n s p e r s e c o n d a r e c o m i n g o u t o f t h a t c o b a l t - 6 0 s o u r c e ? L e t ' s s a y w e w a n t e d t o f i n d t h e e f f i c i e n c y o f o u r G e i g e r c o u n t e r . Y o u ' d h a v e t o k n o w h o w m a n y c o u n t s y o u m e a s u r e . Y o u ' d h a v e t o k n o w h o w f a r a w a y y o u r s o u r c e i s . A n d y o u ' d h a v e t o k n o w h o w m a n y d i s i n t e g r a t i o n s p e r s e c o n d a r e h a p p e n i n g .
S o h o w w o u l d I g e t t o t h e n u m b e r o f d i s i n t e g r a t i o n s p e r s e c o n d ?
A U D I E N C E : C o n v e r t i t t o b e c q u e r e l s .
M I C H A E L S H O R T : T h a t ' s r i g h t . W e ' l l j u s t t a k e o u r c u r r e n t a c t i v i t y , w h i c h i s 0 . 5 2 m i c r o c u r i e s . A n d s o w e ' l l s a y ,
0 . 5 2 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 6 c u r i e s , t i m e s 3 . 7 , t i m e s 1 0 t o t h e 1 0 b e c q u e r e l i n 1 c u r i e i s - - w e l l , w e h a v e c u r i e s h e r e . W e h a v e c u r i e s t h e r e . A n d t h i s c o m e s o u t t o - - w h a t w a s o u r c u r r e n t a c t i v i t y . I t w a s i n t h e t e n s o f t h o u s a n d s . A b o u t 1 9 , 0 0 0 b e c q u e r e l s .
S o w e k n o w t h a t , r i g h t n o w , t h i s s o u r c e i s g i v i n g o f f a b o u t 1 9 , 0 0 0 d i s i n t e g r a t i o n s p e r s e c o n d . I s t h a t h o w m a n y g a m m a r a y s i t ' s g i v i n g o f f ? D o w e k n o w t h a t y e t ?
A U D I E N C E : N o .
M I C H A E L S H O R T : W h y n o t ? I h e a r d a l o t o f n o ' s . W h a t o t h e r i n f o r m a t i o n d o w e n e e d t o k n o w ?
A U D I E N C E : T y p e o f r a d i a t i o n .
M I C H A E L S H O R T : S u r e . L u c k i l y w e ' v e g o t t h a t r i g h t h e r e . S o i f y o u l o o k h e r e , t h e m o d e o f d e c a y i s b e t a d e c a y t o n i c k e l - 6 0 . S o c o b a l t - 6 0 i s a c t u a l l y p r i m a r i l y a b e t a s o u r c e . H o w e v e r , i t ' s u s e d f o r i t s
c h a r a c t e r i s t i c g a m m a r a y s .
S o l e t ' s t a k e a q u i c k l o o k . W e l o o k a t i t s d e c a y d i a g r a m , i t ' s p r e t t y s i m p l e . A n d l e t ' s j u s t s a y , s o m e w h e r e n e a r 1 0 0 % o f t h e t i m e , i t b e t a d e c a y s u p t o t h i s e n e r g y l e v e l a n d c a n u n d e r g o a n y n u m b e r o f t r a n s i t i o n s l i k e t h i s . T h e o n l y t w o w e r e a l l y t e n d t o s e e i s , l i k e t h a t o n e a n d t h a t o n e a r e t h e m o s t l i k e l y o n e s .
S o o n a v e r a g e , e a c h d i s i n t e g r a t i o n o f a c o b a l t - 6 0 a t o m i s g o i n g t o p r o d u c e t w o h i g h l y e n e r g e t i c g a m m a r a y s . S o a c t u a l l y , w h a t y o u ' d h a v e t o k n o w f o r t h i s s o u r c e i s , d e s p i t e i t b e i n g 1 9 , 0 0 0 b e c q u e r e l s o f c o b a l t - 6 0 , i t ' s g i v i n g o f f 3 8 , 0 0 0 g a m m a r a y s p e r s e c o n d . S o t h a t w a y y o u r s o u r c e c a l c u l a t i o n s w o u l d n ' t b e o f f b y a f a c t o r o f 2 .
T h e n i f y o u k n o w t h e d i s t a n c e b e t w e e n y o u r s o u r c e a n d y o u r d e t e c t o r , a n d y o u k n o w h o w m a n y o f t h o s e g a m m a r a y s a r e g o i n g t h r o u g h t h e d e t e c t o r i t s e l f - - w h i c h w e c a n c o u n t c a l c u l a t e w i t h a s o l i d a n g l e f o r m u l a , w h i c h I ' l l g i v e y o u a l i t t l e l a t e r - - y o u ' l l k n o w h o w m a n y o f t h e m s h o u l d i n t e r a c t i n h e r e , o n c e y o u l e a r n p h o t o n n u c l e a r i n t e r a c t i o n s . A n d y o u ' l l k n o w h o w m a n y o f t h e m a c t u a l l y g e t c a p t u r e d . A n d t h a t ' s h o w y o u c a n g e t t h e e f f i c i e n c y o f t h e d e t e c t o r .
S o w e ' v e k i n d o f f i l l e d i n h a l f t h e p u z z l e . Y o u n o w k n o w , f o r a f i x e d s o u r c e , h o w m a n y a t o m s t h e r e a r e , h o w m a n y d i s i n t e g r a t i o n s t h e r e a r e a n d h o w m a n y g a m m a r a y s y o u e x p e c t i t t o g i v e o f f . A n d t h e n l a t e r i n t h e c o u r s e , w e ' l l t e l l y o u h o w t o f i g u r e o u t h o w m a n y o f t h e m m a k e i t i n t o t h e d e t e c t o r a n d h o w m a n y o f t h o s e s h o u l d i n t e r a c t i n t h e d e t e c t o r . I s e v e r y o n e c l e a r o n w h a t w e t a l k e d a b o u t h e r e ? Y e p .
A U D I E N C E : W h e r e d i d y o u g e t t h e n u m b e r f o r 3 8 , 0 0 0 g a m m a r a y s ?
M I C H A E L S H O R T : D o u b l e t h e n u m b e r o f c o b a l t d i s i n t e g r a t i o n s .
A U D I E N C E : B e c a u s e w e a s s u m e i t d r o p s 2 ?
M I C H A E L S H O R T : Y e a h . S o I ' m i g n o r i n g t h e 0 . 2 % a n d 0 . 6 % d e c a y s b e c a u s e t h e y ' r e e x t r e m e l y u n l i k e l y . A n d h a v i n g l o o k e d t h i s u p a h e a d o f t i m e , I k n o w t h a t t h i s t r a n s i t i o n a n d t h a t t r a n s i t i o n a r e b y f a r t h e m o s t l i k e l y o n e s . A n d i f y o u d o n ' t k n o w t h a t - -
A U D I E N C E : Y e a h , d o e s i t s a y i t d o w n t h e r e ?
M I C H A E L S H O R T : I t s u r e d o . T h o s e r i g h t t h e r e , t h e 9 9 . 9 - s o m e t h i n g i n t e n s i t y o n e s , i t ' s a l l t h e r e . S o I h a d s o m e q u e s t i o n s o n P i a z z a . W h a t h a p p e n s w h e n w e c a n ' t r e a d t h e p i x e l a t e d d e c a y d i a g r a m ? T h a t ' s
j u s t t h e r e f o r f u n . T h e a c t u a l t a b l e t h a t w i l l t e l l y o u a l l t h e i n f o r m a t i o n y o u n e e d t o k n o w i s r i g h t b e l o w .
A n d I j u s t d e c i d e d , a l l r i g h t , f o r g e t t h e o n e s t h a t a r e 2 e t o t h e m i n u s 6 l i k e l y o r p o i n t 0 . 0 0 7 , w h a t e v e r , t o o m a n y 0 ' s . S o y o u c a n s a y t h a t , o n a v e r a g e , t o p r o b a b l y t w o o r t h r e e s i g n i f i c a n t d i g i t s , t h a t g a m m a r a y , t h a t g a m m a r a y a r e t h e o n l y o n e s y o u t e n d t o s e e . I s e v e r y o n e c l e a r o n h o w I m a d e t h a t d e t e r m i n a t i o n ? C o o l . Y e s .
A U D I E N C E : S o a r e d i s i n t e g r a t i o n s j u s t a b e t a , a n d t h e n f o r e a c h o n e o f t h o s e , i t ' s t w o g a m m a r a y s ?
M I C H A E L S H O R T : T h a t ' s r i g h t . T h e n u m b e r o f d i s i n t e g r a t i o n s i s t h e n u m b e r o f a t o m s t h a t l e a v e t h i s p o s i t i o n . S o l e t ' s t a k e a c r a z i e r e x a m p l e . I ' v e a l r e a d y h a d y o u l o o k a t a m e r i c i u m - 2 4 1 . S o r t o f b r i n g h o m e t h e m e s s a g e t h a t t h e n u m b e r o f a m e r i c i u m d i s i n t e g r a t i o n s d o e s n o t n e c e s s a r i l y e q u a l t h e n u m b e r o f g a m m a r a y s t h a t y o u w i l l e x p e c t t o s e e .
B e c a u s e a n y o n e o f t h e s e i s p o s s i b l e . T h e r e i s a n 8 4 % l i k e l y o n e . I t l o o k s l i k e i t g o e s t o t h e t h i r d l e v e l f r o m t h e b o t t o m , b e c a u s e i t ' s j u s t t h e t h i r d n u m b e r I ' m s e e i n g h e r e . I f y o u d o n ' t b e l i e v e t h a t , t h e n c h e c k h o w m u c h y o u h a v e t o z o o m o u t t o s e e w h a t ' s g o i n g o n .
L e t ' s s e e . I n t e n s i t y , y e p . T h e t h i r d m o s t e n e r g e t i c a l p h a r a y , s o t h e t h i r d f r o m t h e b o t t o m , i s i n d e e d t h e 8 4 % l i k e l y o n e . T h e n t h e r e ' s a n o t h e r o n e t h a t ' s 1 3 % l i k e l y , s o w e c a n ' t d i s c o u n t t h a t e i t h e r . S o y o u ' r e g o i n g t o h i t a n y t h i n g f r o m , l i k e , t h e s e c o n d t o t h e f o u r t h e n e r g y l e v e l a n d a n y n u m b e r o f t h o s e g a m m a c a s c a d e s t h a t c o m e o f f t h e r e . S o t h e i n t e n s i t y o f y o u r s o u r c e i n b e c q u e r e l s o r c u r i e s d o e s n o t i m m e d i a t e l y t e l l y o u h o w m a n y g a m m a r a y s o r o t h e r d i s i n t e g r a t i o n p r o d u c t s y o u s h o u l d e x p e c t .
T h e r e a r e s o m e p r e t t y s i m p l e o n e s , l i k e t h e d y s p r o s i u m o n e t h a t w e s a w . W a s i t 1 5 1 ? I ' v e b e e n h e r e b e f o r e . I t ' s n o t p u r p l e . N o , t h a t ' s a c o m p l i c a t e d o n e . A l l r i g h t , I d o n ' t r e m e m b e r w h i c h d y s p r o s i u m i s o t o p e j u s t h a d a s i n g l e d e c a y . B u t t h e o n l y t i m e t h a t y o u w o u l d g e t o n e p a r t i c l e p e r d i s i n t e g r a t i o n i s i f y o u r d e c a y d i a g r a m l o o k e d l i k e t h i s .
T h a t ' s y o u r p a r e n t a n d t h a t ' s y o u r d a u g h t e r . T h a t ' s t h e o n l y t i m e y o u c a n e x p e c t o n e t h i n g . I f y o u h a v e a m o r e c o m p l e x d e c a y d i a g r a m t h a n t h a t , y o u ' l l b e l o o k i n g a t m o r e t h a n o n e q u a n t u m o f r a d i a t i o n o f s o m e f o r m p e r d i s i n t e g r a t i o n . S o i s t h a t u n c l e a r t o a n y b o d y ? C o o l .
N o w l e t ' s g e t i n t o a m o r e f u n p r o b l e m . A n d I ' l l l e a v e t h i s u p h e r e , s i n c e w e ' r e g o i n g t o r e f e r t o i t a f a i r b i t . S o t h i s i s a g o o d e x a m p l e o f a c t i v i t y , h a l f - l i f e , m a s s , n u m b e r o f a t o m c a l c u l a t i o n s . W e ' r e g o i n g t o u s e t h i s i n f o r m a t i o n t o a n s w e r a m o r e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n . H o w w a s t h i s
m a d e ?
A n y o n e h a v e a n y i d e a w h a t s o r t o f i n t e n t i o n a l n u c l e a r r e a c t i o n c o u l d h a v e p r o d u c e d c o b a l t - 6 0 ? A n d I ' l l g o b a c k t o c o b a l t - 6 0 s o w e c a n g e t i t s p r o t o n n u m b e r . T h e r e i t i s . C a n y o u s a y i t a l i t t l e l o u d e r ?
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ] O h , I s a i d n e u t r o n b o m b a r d m e n t o f c o b a l t - 5 9 .
M I C H A E L S H O R T : S u r e , y o u c a n h a v e a n e u t r o n b o m b a r d m e n t . S o y o u c a n h a v e , c o b a l t - 5 9 a b s o r b s a n e u t r o n , b e c o m e s c o b a l t - 6 0 w i t h s o m e h a l f - l i f e . A n d t h e n w e ' l l d e c a y w i t h s o m e d e c a y c o n s t a n t l a m b d a , a n d b e c o m e - - i n t h i s c a s e , i t u n d e r g o e s b e t a d e c a y - - t o n i c k e l - 6 0 . L e t m e m a k e s u r e I g o t t h e p r o t o n n u m b e r r i g h t . I ' m g o i n g f r o m m e m o r y h e r e . H o o r a y .
O K , h o w d o w e s e t u p t h e s e r i e s r a d i o a c t i v e d e c a y a n d p r o d u c t i o n e q u a t i o n s t o d e s c r i b e t h i s p h e n o m e n o n ? S o w e h a v e a p h y s i c a l p i c t u r e o f w h a t ' s g o i n g o n h e r e . H o w d o w e c o n s t r u c t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n m o d e l ? T h e s a m e w a y w e ' v e b e e n d o i n g i t F r i d a y a n d T u e s d a y . S o s o m e o n e , k i c k m e o f f . W h a t d o w e s t a r t w i t h ?
A U D I E N C E : S o t h e p r o d u c t i o n o f c o b a l t - 5 9 i s 0 . D e s t r u c t i o n w o u l d b e s i g m a t i m e s f l u x t i m e s t h e a m o u n t o f c o b a l t .
M I C H A E L S H O R T : O K , l e t ' s m a k e a c o u p l e o f d e s i g n a t i o n s . L e t ' s c a l l c o b a l t - 5 9 - - I ' l l u s e a n o t h e r c o l o r f o r t h i s , j u s t s o i t ' s c l e a r . W e ' l l c a l l c o b a l t - 5 9 N 1 . W e ' l l c a l l c o b a l t - 6 0 N 2 . W e ' l l c a l l n i c k e l - 6 0 N 3 , j u s t t o k e e p o u r n o t a t i o n s t r a i g h t .
A n d t h e n c o n t i n u i n g o u r n o t a t i o n p i l e h e r e , y o u m e n t i o n e d t h a t t h e r e ' s g o i n g t o b e s o m e s i g m a , s o m e m i c r o s c o p i c c r o s s - s e c t i o n t i m e s s o m e f l u x , t h e n u m b e r o f n e u t r o n s w h i z z i n g a b o u t t h e r e a c t o r , t i m e s t h e a m o u n t o f c o b a l t - 6 0 . S o l e t ' s s t i c k o u r D N , D t , e q u a l s n o p r o d u c t i o n m i n u s s o m e d e s t r u c t i o n . D o e s t h i s l o o k e e r i l y f a m i l i a r t o a n y o f y o u ? F o r g e t t h e f a c t t h a t i t ' s a s i g m a a n d a f l u x . J u s t t r e a t t h o s e a s c o n s t a n t s . W h a t d o e s t h i s l o o k e x a c t l y l i k e ?
A U D I E N C E : T h e m i n u s l a m b d a D .
M I C H A E L S H O R T : E x a c t l y . I t l o o k s j u s t l i k e d N 1 d t e q u a l s m i n u s l a m b d a a n d 1 . Y e a h , t h a t ' s e x a c t l y i t . T h i s , i n e f f e c t , i s l i k e y o u r a r t i f i c i a l l y - i n d u c e d d e c a y . S o t h e p r o b a b i l i t y t h a t o n e a t o m o f N 1 a b s o r b s a n e u t r o n , t i m e s t h e n u m b e r o f n e u t r o n s a r e t h e r e , g i v e s y o u s o m e r a t e a t w h i c h t h e s e a t o m s a r e d e s t r o y e d . J u s t l i k e a l a m b d a g i v e s y o u t h e r a t e a t w h i c h t h o s e a t o m s n a t u r a l l y s e l f - d e s t r u c t .
S o y o u c a n t h i n k o f t h e s i g m a t i m e s f l u x l i k e a l a m b d a . M a t h e m a t i c a l l y , t h e y ' r e t r e a t e d i d e n t i c a l l y . T h e o n l y d i f f e r e n c e i s , w e ' r e i m p o s i n g t h i s n e u t r o n f l u x . S o i t ' s l i k e a n a r t i f i c i a l l a m b d a , w h i c h m e a n s s o l v i n g t h e e q u a t i o n s a n d s e t t i n g t h e m u p i s e x a c t l y t h e s a m e .
S o h o w a b o u t N 2 ? W h a t ' s t h e p r o d u c t i o n a n d d e s t r u c t i o n r a t e o f c o b a l t - 6 0 ? F i r s t o f a l l , s o m e o n e y e l l i t o u t , w h a t ' s t h e c r e a t i o n r a t e ?
A U D I E N C E : L a m b d a N 1 .
M I C H A E L S H O R T : W h i c h l a m b d a ?
A U D I E N C E : O h , l a m b d a 1 I m e a n . M I C H A E L S H O R T : S o w h a t i s l a m b d a 1 , t h i s o n e ? A U D I E N C E : S i g m a , y e a h .
M I C H A E L S H O R T : O K , s o l e t ' s k e e p w i t h t h e s e n o t a t i o n s . I ' m g o i n g t o s a y t h i s i s l i k e a l a m b d a a r t i f i c i a l , b u t I ' m g o i n g t o k e e p w i t h s i g m a f l u x a n d 1 . A n d j u s t s o w e k e e p o u r n o t a t i o n s t r a i g h t , I w a n t t o b e a b l e t o c l e a n l y s e p a r a t e t h e n a t u r a l a n d t h e a r t i f i c i a l p r o d u c t i o n a n d d e s t r u c t i o n . A n d w h a t ' s t h e d e s t r u c t i o n r a t e ?
A U D I E N C E : S i g m a p h i N 2 .
M I C H A E L S H O R T : S o y o u s a i d s i g m a p h i N 2 . I s t h a t t h e p h y s i c a l p i c t u r e w e h a v e u p h e r e ? N o t q u i t e , b e c a u s e l i k e w e c a n s e e h e r e , c o b a l t - 6 0 s e l f - d e s t r u c t s o n i t s o w n , r i g h t ? Y e a h . H o w e v e r , t h a t a c t u a l l y i s a c o r r e c t t e r m t o p u t i n . T h e o t h e r o n e t h a t w e ' r e m i s s i n g w o u l d b e m i n u s l a m b d a N 2 .
S o y o u k n o w w h a t ? L e t ' s e s c a l a t e t h i s a b i t i n t o r e a l i t y a n d s a y , w e ' r e g o i n g t o d o t h i s . T h e a c t u a l e q u a t i o n i s n o t g o i n g t o b e t h a t m u c h h a r d e r . S o t h a n k s , S e a n . L e t ' s d o t h i s . Y e a h .
A U D I E N C E : W o u l d t h o s e s i g m a s b e d i f f e r e n t ?
M I C H A E L S H O R T : Y e s , g o o d q u e s t i o n . T h a t ' s w h a t I w a s g e t t i n g t o . S o t h e r e i s a n a b s o r p t i o n c r o s s - s e c t i o n f o r e v e r y r e a c t i o n f o r e v e r y i s o t o p e . A n d n o w I ' d l i k e t o s h o w y o u g u y s w h e r e t o f i n d t h e m . O n t h e
2 2 . 0 1 s i t e , t h e r e i s a l i n k t o w h a t ' s c a l l e d t h e J a n i s D a t a b a s e , w h i c h i s t a b u l a t e d a n d p l o t t a b l e c r o s s - s e c t i o n s o f a l l k i n d s .
S o e v e r y s i n g l e d a t a b a s e t h a t w e k n o w o f , i t ' s u p d a t e d c o n t i n u o u s l y b y t h e O E C D , s o y o u c a n
t r u s t t h a t t h e d a t a i s u p d a t e d . I w o n ' t s a y a c c u r a t e , b e c a u s e s o m e o f t h e s e c r o s s - s e c t i o n s a r e n o t v e r y w e l l k n o w n . S o I ' v e a l r e a d y s t a r t e d i t u p . I n t h i s c a s e , w e d o n ' t h a v e n e u t r o n c a p t u r e d a t a f o r c o b a l t - 6 0 . L e t ' s k e e p i t i n t h e s y m b o l s f o r n o w . A n d t h e n l a t e r o n , w e ' r e j u s t g o i n g t o s a y , i t ' s p r o b a b l y 0 . B u t l e t ' s k e e p i t t o g e t h e r .
S o f o r c o b a l t - 5 9 , d o u b l e - c l i c k o n t h a t , a n d y o u a r e p r e s e n t e d w i t h a n e n o r m o u s h o s t o f p o s s i b l e r e a c t i o n s . L i k e r i g h t h e r e , y o u h a v e N c o m m a t o t a l , w h i c h i s t h e t o t a l c r o s s - s e c t i o n f o r a l l i n t e r a c t i o n s o f n e u t r o n s w i t h c o b a l t - 5 9 . A n d y o u c a n s e e t h a t t h i s v a r i e s , b u t t h e s a m e s o r t o f s h a p e t h a t I w a s h a p h a z a r d l y d r a w i n g . I t ' s l o w .
T h e r e a r e s o m e r e s o n a n c e s . A n d t h e n i t c o n t i n u o u s l y i n c r e a s e s a t l o w e r e n e r g i e s . I s t h i s t h e r i g h t c r o s s - s e c t i o n t o u s e ? I f i t a c c o u n t s f o r e v e r y p o s s i b l e i n t e r a c t i o n o f a n e u t r o n w i t h c o b a l t -
5 9 . N o . S o w h a t o t h e r r e a c t i o n s , b e s i d e s t h e o n e t h a t w e w a n t , w h i c h i s c a p t u r e , c o u l d t h i s a c c o u n t f o r ?
A U D I E N C E : S c a t t e r i n g .
M I C H A E L S H O R T : Y e p .
A U D I E N C E : F i s s i o n .
M I C H A E L S H O R T : S c a t t e r i n g , f i s s i o n , n 2 n p r o d u c t i o n . S o m e t i m e s o n e n e u t r o n g o e s i n a n d t w o c o m e o u t , l i k e f o r b e r y l l i u m , l i k e w e t a l k e d a b o u t a t t h e b e g i n n i n g o f c l a s s . S o y o u ' v e g o t t o k n o w t o c h o o s e t h e r i g h t c r o s s - s e c t i o n . A n d i n n u c l e a r r e a c t i o n p a r l a n c e - - t h a t ' s s h o r t h a n d r i g h t t h e r e - - t h a t ' s N c o m m a t o t a l . T h a t a c c o u n t s f o r e l a s t i c s c a t t e r i n g , i n e l a s t i c s c a t t e r i n g t o a n y e n e r g y l e v e l , c a p t u r e , f i s s i o n , n 2 n r e a c t i o n s , s o m e t i m e s p r o t o n r e l e a s e , s o m e t i m e s e x p l o d i n g , w h a t e v e r n u c l e i d o .
S o l e t ' s l o o k a t o u r o t h e r c h o i c e s . I ' l l s h r i n k t h a t . W e h a v e t h e e l a s t i c c r o s s - s e c t i o n . C o m p a r e t h a t w i t h a t o t a l , a n d y o u g e t a g e n e r a l i d e a o f h o w m u c h t h e t o t a l a t e l a s t i c c r o s s - s e c t i o n s a c t u a l l y m a t t e r . S o a l o t o f t h o s e r e s o n a n c e s a r e e l a s t i c c r o s s - s e c t i o n r e s o n a n c e s , b u t t h e r e a r e o t h e r r e a c t i o n s t h a t a r e r e s p o n s i b l e f o r a l o t o f t h e o t h e r c r a z i n e s s g o i n g o n .
S o l e t ' s u n s e l e c t t h a t . O h , I ' m s o r r y . I m e a n t M T 1 L e t ' s c o m p a r e M T 1 a n d M T 2 . S o M T 2 , e l a s t i c . T h e r e w e g o . O K , t h a t ' s w h a t I w a s h o p i n g f o r . S o r i g h t n o w , t h e r e d o n e i s t h e t o t a l c r o s s - s e c t i o n , a n d t h e g r e e n o n e i s t h e e l a s t i c c r o s s - s e c t i o n . A n d y o u c a n s e e t h a t , a t h i g h e n e r g i e s , t h e t o t a l c r o s s - s e c t i o n i s m o s t l y t h e e l a s t i c c r o s s - s e c t i o n .
B u t a t l o w e n e r g i e s , e s p e c i a l l y r i g h t a r o u n d h e r e a t t h e t h e r m a l e n e r g y o f n e u t r o n s i n a r e a c t o r , t h e r e ' s s o m e t h i n g e l s e r e s p o n s i b l e . T h a t ' s p r o b a b l y w h a t w e ' r e g o i n g a f t e r . S o l e t ' s k e e p l o o k i n g t h r o u g h t h i s J a n i s D a t a b a s e . H e y , t h e r e ' s t h e n 2 n r e a c t i o n , i f y o u g u y s w a n t t o s e e h o w l i k e l y t h i s i s . I t ' s a n o t h e r o n e o f t h o s e r e a c t i o n s t h a t - - l o o k a t t h a t - - i t ' s 0 u n t i l y o u g e t t o 1 1 M E V . S o w h a t d o y o u g u y s t h i n k t h e q - v a l u e f o r n 2 n p r o d u c t i o n o f c o b a l t - 5 9 i s ?
A U D I E N C E : V e r y n e g a t i v e .
M I C H A E L S H O R T : H o w n e g a t i v e ? I t ' s o n t h e g r a p h .
A U D I E N C E : 1 0 .
M I C H A E L S H O R T : Y e a h , n e g a t i v e l o o k s l i k e 1 0 , o r m a y b e 1 0 a n d 1 / 2 , M E V .
A U D I E N C E : 0 . 4 5 4 .
M I C H A E L S H O R T : O h , h e y , a w e s o m e .
[ L A U G H T E R ]
A U D I E N C E : I t h i n k i t m o v e s i t a r o u n d .
M I C H A E L S H O R T : S o t h e r e y o u g o . Y e a h , i n d e e d , i t ' s v e r y e n e r g e t i c a l l y u n l i k e l y t o f i r e i n o n e n e u t r o n s a n d g e t t w o . B u t i f y o u h a v e a 1 0 . 4 5 4 M E V n e u t r o n , y o u c a n m a k e i t h a p p e n . P r e t t y c o o l , h u h ?
T h a t ' s n o t t h e r e a c t i o n w e ' r e g o i n g f o r . W h a t w e w a n t - - l e t ' s s e e i f I c a n f i n d i t . P r o t o n p l u s n e u t r o n , n e u t r o n p l u s d e u t e r o n , a l l t h e i n e l a s t i c e n e r g y l e v e l s . T h e r e i t i s , c a p t u r e . T h e g a m m a r e a c t i o n h e r e i s w h a t ' s r e f e r r e d t o a s c a p t u r e . A n d t h e r e w e g o , a n i c e n o r m a l - l o o k i n g c r o s s - s e c t i o n .
S o f o r c o b a l t - 5 9 , i f w e g o d o w n t o a b o u t 0 . 0 2 5 E V h e r e , r e a d i t o f f , i t ' s a b o u t 2 0 b a r n s . B e c a u s e y o u g u y s a s k e d f o r a n u m e r i c a l e x a m p l e . S o l e t ' s s a y t h a t o u r c a p t u r e c r o s s - s e c t i o n f o r c o b a l t - 5 9 i s a b o u t 2 0 b a r n s , w h i c h i s t o s a y 2 0 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 2 4 t h c e n t i m e t e r s q u a r e d . L e t ' s a l s o p u t u p o u r c a p t u r e o n e f o r c o b a l t - 6 0 .
S o l e t ' s g o b a c k t o o u r t a b l e , t a k e a l o o k a t c o b a l t - 6 0 . I t h i n k I k n o w w h a t t h e a n s w e r i s g o i n g t o b e , w h i c h i s , w e d o n ' t k n o w . N o t i n t h i s d a t a b a s e , u n f o r t u n a t e l y . S o f o r s y m b o l i s m , l e t ' s k e e p i t t h e r e . B u t w e ' r e g o i n g t o s a y , w e l l , w e d o n ' t k n o w . Y e a h .
S o l e t ' s d e s i g n a t e t h e s e d i f f e r e n t c r o s s - s e c t i o n s . L e t ' s c a l l i t s i g m a - 5 9 a n d s i g m a - 6 0 . S o t h o s e
w i l l b e o u r t w o c r o s s - s e c t i o n s . W e ' l l j u s t c a l l t h i s o n e s i g m a - 5 9 , a n d c a l l t h i s o n e s i g m a - 6 0 .
A n d w e a l r e a d y k n o w t h e l a m b d a f o r c o b a l t - 6 0 . S o l e t ' s s a y t h e l a m b d a f o r 6 0 c o b a l t , f r o m t h i s s t u f f u p h e r e , 4 . 1 7 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 9 p e r s e c o n d . L e t ' s j u s t r e f e r t o t h a t a s l a m b d a f o r e a s e o f w r i t i n g t h i n g s d o w n . S o w e ' v e g o t a c o m p l e t e s e t o f r e a c t i o n s f o r a d N 2 d t . W h a t a b o u t d N 3 ? W h a t ' s t h e p r o d u c t i o n r a t e o f N 3 ?
A U D I E N C E : L a m b d a
M I C H A E L S H O R T : Y e p , l a m b d a N 2 . A n y t h i n g e l s e ? W h a t a b o u t t h e d e s t r u c t i o n r a t e ? I s w h a t ?
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ]
M I C H A E L S H O R T : I t ' s a s t a b l e i s o t o p e .
A U D I E N C E : W e d o n ' t k n o w .
M I C H A E L S H O R T : B u t y o u w e r e o n t o i t , S e a n . S o w h a t w o u l d y o u a d d , b a s e d o n w h a t y o u a d d e d t o N 2 ?
A U D I E N C E : S i g m a w h a t e v e r , p h i N 3 .
M I C H A E L S H O R T : Y e a h , t h e r e ' s g o i n g t o b e s o m e n e w s i g m a - - l e t ' s c a l l i t s i g m a n i c k e l - 6 0 , p h i N 3 .
A U D I E N C E : Y e a h , i s t h e s i g m a g o i n g t o b e 0 t h i s t i m e a r o u n d , o r i s i t a c t u a l l y g o i n g t o b e - -
M I C H A E L S H O R T : L e t ' s f i n d o u t . L e t ' s g o t o o u r t a b l e s . T h e r e , t h e r e ' s d a t a f o r n i c k e l - 6 0 . L e t ' s l o o k u p i t s a b s o r p t i o n c r o s s - s e c t i o n . S o w e ' l l s c r o l l d o w n t o o u r Z g a m m a , o u r c a p t u r e c r o s s - s e c t i o n , p l o t i t . T a k e a l o o k a t a r o u n d 1 e m i n u s 8 . A n d i t ' s l i k e 2 b a r n s - - n o t n e g l i g i b l e . S o o u r c a p t u r e c r o s s - s e c t i o n f o r n i c k e l - 6 0 - - I k e e p o v e r w r i t i n g m y s e l f , a n d t h e n I r e m e m b e r i t ' s a b l a c k b o a r d . 2 b a r n s , w h i c h i s 2 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 2 4 t h c m s q u a r e d . S o w e c a n j u s t r e f e r t o t h a t a s s i g m a n i c k e l .
F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s p r o b l e m , w e d o n ' t p a r t i c u l a r l y c a r e h o w m u c h n i c k e l - 6 0 w e ' r e m a k i n g . N i c k e l - 6 0 i s a s t a b l e i s o t o p e o f n i c k e l . E h , f o r g e t i t . S o f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s p r o b l e m , f o r g e t t h e N 3 e q u a t i o n . W e d o n ' t c a r e h o w m u c h s t a b l e n i c k e l - 6 0 t h a t w e ' r e m a k i n g , b e c a u s e i t ' s a l o t c h e a p e r t o g e t i t o u t o f t h e g r o u n d , p r o b a b l y s o m e t h i n g l i k e 1 0 o r d e r s o f m a g n i t u d e c h e a p e r . Y e p .
A U D I E N C E : W h e r e d i d y o u p i c k t h a t i n c i d e n t e n e r g y f r o m , t h e M E V [ I N A U D I B L E ] 1 t i m e s 1 0 / 8 ?
M I C H A E L S H O R T : Y e a h , s o t h e i n c i d e n t e n e r g y I p i c k e d - - b e c a u s e o n e t h i n g w e h a d g o n e o v e r i s t h a t t h e t h e r m a l e n e r g y o f a n e u t r o n i s a r o u n d 0 . 0 2 5 E V , w h i c h i s e q u a l t o 2 . 5 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s e i g h t h M E V . S o I t o o k t h a t v a l u e , a b o u t 2 . 5 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s e i g h t h M E V , s o a r o u n d h e r e , a n d j u s t w e n t u p .
A n d o n a l o g s c a l e , i t l o o k s t o b e c l o s e s t t o 2 b a r n s . Y o u c a n a l w a y s g e t t h e a c t u a l v a l u e . S o i f y o u w a n t t o z o o m r i g h t i n , I ' m g o i n g t o k e e p z o o m i n g i n t o t h e 1 0 t o t h e m i n u s e i g h t h r e g i o n .
M a y b e n o t . Y o u c a n s e t y o u r b o u n d s a c c o r d i n g l y . O h , 0 o r n e g a t i v e v a l u e s - - a h , O K , w h a t e v e r . L e t ' s j u s t r e a d o f f t h e g r a p h f o r n o w . Y o u c a n u s e t h i s t o o l t o g e t t h e a c t u a l v a l u e .
B u t f o r p r o b l e m s l i k e t h i s , I t h i n k e s t i m a t i n g i t f r o m t h e g r a p h i s g o i n g t o b e f i n e . W h e n y o u g e t i n t o 2 2 . 0 5 a n d y o u ' r e l i k e , w h a t ' s t h e a c t u a l f l u x i n t h e r e a c t o r t o w i t h i n 1 % o r s o m e t h i n g , e s t i m a t i n g f r o m t h e g r a p h i s n o l o n g e r a l l o w a b l e . T h e r e a r e t a b u l a t e d v a l u e s o f t h e s e t h i n g s .
O h , y e a h , s o y o u c a n a c t u a l l y s e t t h e p l o t s e t t i n g s , g e t t h e t a b l e s . O h , t a b u l a t e d - - t h e r e w e g o . S o y o u c a n r e a d o f f v a l u e s o f t h e c r o s s - s e c t i o n s f r o m a t a b l e l i k e t h a t . B u t f o r n o w , s i n c e w e w a n t t o m a k e s u r e t o g e t t h i s p r o b l e m d o n e , l e t ' s j u s t s t i c k w i t h t h e g r a p h .
S o w e d o n ' t c a r e a b o u t t h e N 3 e q u a t i o n . W e ' r e a l s o g o i n g t o s a y , w e l l , l e t ' s n o t i g n o r e s i g m a - 6 0 y e t . S o h o w d o w e s o l v e t h i s s e t o f e q u a t i o n s ? L e t ' s m a k e a l i t t l e s e p a r a t i o n h e r e . F i r s t o f a l l , t h e e a s y o n e - - w h a t ' s N 1 a s a f u n c t i o n o f t i m e ?
A U D I E N C E : e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 , p h i .
M I C H A E L S H O R T : e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 , p h i , a n d w h a t e l s e ?
A U D I E N C E : N 0 .
M I C H A E L S H O R T : T h e r e i s a n N 1 0 , a n d t h e r e ' s a t . B e c a u s e a s y o u ' r e b u r n i n g i t o u t , i t m a t t e r s h o w m u c h t i m e y o u h a v e . D o e s n ' t t h i s l o o k e e r i l y s i m i l a r t o a n N e q u a l s N 0 e t o t h e m i n u s l a m b d a t ? A g a i n , i t ' s l i k e e x p o n e n t i a l a r t i f i c i a l d e c a y , b e c a u s e w e ' r e b u r n i n g t h o s e t h i n g s o u t . F o r a f i x e d a m o u n t o f n e u t r o n s g o i n g i n , t h e a m o u n t t h a t w e b u r n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a m o u n t t h a t i s t h e r e .
S o t h a t ' s t h e b u r n r a t e . T h a t ' s t h e a m o u n t t h a t ' s t h e r e . T h i s i s o u r a r t i f i c i a l l a m b d a . S o t h a t e q u a t i o n ' s e a s y . W h a t w e r e a l l y w a n t t o k n o w i s , w h a t i s N 2 a s a f u n c t i o n o f t i m e ? T h a t ' s t h e
$ 6 0 m i l l i o n d o l l a r q u e s t i o n . A n d I ' m n o t e x a g g e r a t i n g t h e r e , b e c a u s e c o b a l t - 6 0 i s e x p e n s i v e . S o t h e q u e s t i o n I ' m p o s i n g t o y o u g u y s o n t h e h o m e w o r k - - s o f o r t h o s e o f y o u w h o h a v e
s t a r t e d p r o b l e m s e t 4 , I ' m g o i n g t o b e s w a p p i n g o u t t h e n o o d l e s c r a t c h e r p r o b l e m t o t h i s p r o b l e m t h a t w e ' r e g o i n g t o b e g i n t o g e t h e r i n c l a s s . A n d y o u g u y s a r e g o i n g t o f i n i s h o n t h e h o m e w o r k . S o I ' m k i n d o f g i v i n g y o u h e l p o n t h e h o m e w o r k . W h a t i s N 2 , t h e a m o u n t o f c o b a l t - 6 0 i n y o u r r e a c t o r , a s a f u n c t i o n o f t i m e ? A n d w h a t i s y o u r p r o f i t f o r r u n n i n g t h e r e a c t o r a s a f u n c t i o n o f t i m e ?
A s s u m i n g a f e w t h i n g s - - s o l e t ' s s e t u p s o m e p a r a m e t e r s . I ' m g o i n g t o s a y t h a t t h e n e u t r o n f l u x i s t h e s a m e a s t h a t i n t h e M I T r e a c t o r , w h i c h i s a b o u t 1 0 t o t h e 1 4 t h n e u t r o n s p e r c e n t i m e t e r s q u a r e d p e r s e c o n d . W e a l r e a d y h a v e a l l o f o u r l a m b d a s . W e h a v e a l l o f o u r s i g m a s .
I ' m g o i n g t o s a y t h a t t h e c o s t o f r u n n i n g t h e r e a c t o r i s - - a n d I h a v e a q u o t e o n t h i s - - $ 1 , 0 0 0 p e r d a y , w h i c h i s t h e s a m e a s $ 0 . 0 1 p e r s e c o n d . N o t a b a d r a t e t o s t i c k s o m e t h i n g i n t h e r e a c t o r , r i g h t ? I t ' s n o t b a d a t a l l . I f y o u h a d t o b u i l d y o u r o w n r e a c t o r , y o u r d a i l y o p e r a t i n g c o s t w o u l d a c t u a l l y b e $ 1 m i l l i o n a d a y f o r a c o m m e r c i a l p o w e r p l a n t . S o e v e r y t i m e a p l a n t g o e s d o w n , y o u l o s e $ 1 m i l l i o n a d a y , p l u s t h e l o s t e l e c t r i c i t y o r w h a t e v e r t h a t y o u h a v e t o b u y .
S o l e t ' s p u t t h a t i n t h e r e . A n d f r o m t h e c o s t o f t h i s h y p o t h e t i c a l c o b a l t - 6 0 s o u r c e , w e k n o w t h a t c o b a l t - 6 0 r u n s a b o u t $ 1 0 0 p e r m i c r o c u r i e , b e c a u s e t h e s e s o u r c e s r u n f o r a b o u t $ 1 0 0 . A n d s o t h e e v e n t u a l p r o b l e m t h a t w e ' r e g o i n g t o s e t u p h e r e a n d y o u g u y s a r e g o i n g t o s o l v e o n t h e h o m e w o r k - - a n d w e c a n k e e p g o i n g a l i t t l e b i t o n F r i d a y i f y o u w a n t - - i s , a t w h a t p o i n t , a t w h a t t d o y o u s h u t o f f y o u r r e a c t o r a n d e x t r a c t y o u r c o b a l t - 6 0 t o m a x i m i z e y o u r p r o f i t ?
A n d t h i s i s a n a c t u a l v a l u e j u d g m e n t t h a t f o l k s t h a t m a k e c o b a l t - 6 0 h a v e t o m a k e . H o w l o n g d o y o u k e e p y o u r n i c k e l t a r g e t i n t h e r e a n d n o t h i t d i m i n i s h i n g r e t u r n s ? B e c a u s e y o u ' r e a l w a y s g o i n g t o b e , l e t ' s s a y , i n c r e a s i n g t h e a m o u n t o f c o b a l t - 6 0 t h a t y o u m a k e i f y o u r s o u r c e i s b a s i c a l l y u n d e f e a t a b l e , u n t i l y o u r e a c h s o m e c e r t a i n h a l f - l i f e c r i t e r i o n . B u t i t m i g h t n o t m a k e f i n a n c i a l s e n s e t o d o s o .
S o l e t ' s s t a r t g e t t i n g t h e s o l u t i o n t o N 2 . L e t ' s s e e . S o I ' m g o i n g t o r e w r i t e o u r N 2 e q u a t i o n a n d w e c a n s t a r t s o l v i n g i t . I ' m s o r r y , t h a t ' s a d N 2 d t , e q u a l s s i g m a - 5 9 , f l u x , N 1 m i n u s l a m b d a N 2 m i n u s s i g m a - 6 0 f l u x N 2 . S o h o w d o w e g o a b o u t s o l v i n g t h i s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ?
A U D I E N C E : I n t e g r a t i n g f a c t o r .
M I C H A E L S H O R T : Y e p , t h e o l d i n t e g r a t i n g f a c t o r . F i r s t , w e w a n t t o g e t r i d o f t h e N 1 , b e c a u s e t h a t ' s a n o t h e r v a r i a b l e . A n d w e ' v e a l r e a d y d e c i d e d r i g h t h e r e t h a t N 1 i s N 1 0 t i m e s e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 f l u x t . A n d w e h a v e n ' t s p e c i f i e d , w h a t ' s N 1 0 ? L e t ' s d o t h a t n o w . T h e l a s t n u m b e r w e ' l l p u t i n i s ,
w e s t a r t e d w i t h a 1 0 0 g r a m s o u r c e o f c o b a l t - 5 9 .
W h e n w e w r i t e i t i n i s o t o p e p a r l a n c e , i t s o u n d s e x o t i c . B u t t h a t ' s a c t u a l l y t h e o n l y s t a b l e i s o t o p e o f c o b a l t . S o t h a t ' s j u s t a l u m p o f c o b a l t f r o m t h e g r o u n d t h a t w e s t i c k i n . S o w e k n o w w h a t N 1 0 i s . S o w e c a n n o w r e w r i t e t h i s e q u a t i o n a s - - l e t ' s j u s t g o w i t h N 2 p r i m e f o r s h o r t h a n d . A n d w e ' l l p u t e v e r y t h i n g o n o n e s i d e o f t h e e q u a t i o n . S o w e ' l l h a v e , p l u s l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i N 2 , m i n u s s i g m a 5 9 p h i t i m e s e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 p h i t , e q u a l s 0 . S o w h a t i s o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r h e r e ?
A U D I E N C E : e t o t h e l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i t .
M I C H A E L S H O R T : Y e a h . S o i t i s , e t o t h e i n t e g r a l o f w h a t e v e r i s i n f r o n t o f o u r N 2 , l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i d t , w h i c h e q u a l s e t o t h e l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i t . S o w e n o w m u l t i p l y e v e r y t e r m i n t h i s e q u a t i o n b y o u r m u , o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r .
S o l e t ' s s a y w e h a v e N 2 p r i m e t i m e s - - I ' m j u s t g o i n g t o u s e m u f o r s h o r t h a n d , s i n c e i t ' s g o i n g t o t a k e a l o n g t i m e t o w r i t e . P l u s - - l e t ' s s e e , t h a t r i g h t t h e r e i s l i k e m u p r i m e , b e c a u s e i f w e t a k e t h e i n t e g r a l o f m u t i m e s N 2 - - l e t ' s s e e . O h , y e a h , t h i s i s r i g h t .
S o w e h a v e l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 N 2 t i m e s m u , m i n u s m u t i m e s s i g m a - 5 9 p h i e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 p h i t , e q u a l s 0 . T h i s s t u f f r i g h t h e r e i s l i k e t h e a n e x p a n d e d p r o d u c t r u l e , s o w e c a n w r i t e i t m o r e s i m p l y . S o w e c a n s a y , N 2 t i m e s m u p r i m e - - l e t ' s s e e - - e q u a l s m u s i g m a - 5 9 p h i e t o t h e m i n u s s i g m a 5 9 p h i t i m e s t .
S o n e x t w e i n t e g r a t e b o t h s i d e s . A n d w e g e t N 2 t i m e s m u e q u a l s - - l e t ' s s e e . L e t ' s e x p a n d e v e r y t h i n g o u t n o w . S o t h a t s t u f f w o u l d b e s i g m a - 5 9 p h i e t o t h e l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i , m i n u s s i g m a - 5 9 p h i t i m e s t . S o i f w e i n t e g r a t e a l l o f t h a t , w e ' r e g o i n g t o g e t s i g m a - 5 9 p h i .
I t h i n k t h e r e ' s a n N 0 m i s s i n g h e r e , i s n ' t t h e r e ? L e t ' s s e e . T h e r e s h o u l d b e a n N 1 0 m i s s i n g h e r e . Y e p . T h e r e ' s a n N 1 0 t h a t I d r o p p e d f o r s o m e r e a s o n . L e t ' s s t i c k t h a t b a c k i n - - N 1 0 , a n d N 1 0 . N 1 0 o v e r t h a t s t u f f , l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i m i n u s s i g m a - 5 9 p h i , t i m e s w h a t e v e r i s l e f t , e t o t h e l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i , m i n u s s i g m a - 5 9 p h i t , p l u s C .
S o n o w w e c a n s a y , w h a t ' s o u r i n t e g r a t i o n c o n s t a n t C ? T h e l a s t t h i n g w e h a v e n ' t s p e c i f i e d i s o u r i n i t i a l c o n d i t i o n . S o l e t ' s a s s u m e t h a t w h e n w e s t a r t e d o u r r e a c t o r , t h e r e w a s n o c o b a l t - 6 0 . T h a t m a k e s f o r t h e s i m p l e s t i n i t i a l c o n d i t i o n . S o w e c a n s u b s t i t u t e t h a t i n h e r e .
S o a t t e q u a l s 0 , N e q u a l s 0 . S o w e ' v e g o t g e t 0 e q u a l s - - i f t i s 0 , t h e n t h a t j u s t b e c o m e s
s i g m a - 5 9 p h i N 1 0 o v e r l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i , m i n u s s i g m a - 5 9 p h i , p l u s C . A n d s o t h a t m a k e s t h i n g s p r e t t y e a s y , b e c a u s e w e k n o w C e q u a l s m i n u s s i g m a - 5 9 p h i N 1 0 , o v e r t h a t s t u f f t h a t I k e e p s a y i n g o v e r a n d o v e r a g a i n . A n d t h e n w e ' v e p r e t t y m u c h s o l v e d t h e e q u a t i o n .
T h e l a s t t h i n g w e h a v e t o d o i s d i v i d e b y m u , a n d w e ' l l e n d u p w i t h t h e s a m e s o l u t i o n t h a t w e g o t o n F r i d a y a n d t h e s a m e s o l u t i o n t h a t w e g o t o n T u e s d a y . S o I r e a l i z e d , t h e s e c o n d a f t e r I s a i d i t l a s t t i m e , t h a t , o h , w e c a n ' t j u s t a b s o r b s o m e e t o t h e s o m e t h i n g t i n t o o u r i n t e g r a t i o n c o n s t a n t C b e c a u s e t h e r e ' s a v a r i a b l e t i n i t . S o I w o u l d s a y , l o o k a t t h i s d e r i v a t i o n t o k n o w t h e w h o l e s o l u t i o n .
A n d s o f i n a l l y w e e n d u p w i t h - - a n y o n e m i n d i f I e r a s e a l i t t l e b i t o f t h i s s t u f f u p t o p ? O K , I ' l l e r a s e t h e d e c a y d i a g r a m b e c a u s e w e ' r e n o t u s i n g t h a t a n y m o r e . A n d h o p e f u l l y e v e r y b o d y k n o w s o u r c o n v e r s i o n f a c t o r . S o t h e e n d s o l u t i o n , N 2 o f t , w o u l d l o o k l i k e , s i g m a - 5 9 p h i N 1 0 , o v e r l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i , m i n u s s i g m a - 5 9 p h i , t i m e s e t o t h e m i n u s - - w h a t ' s l a m b d a 2 i n t h i s c a s e ? L a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 p h i t , m i n u s e t o t h e m i n u s s i g m a - 5 9 p h i t .
A n d t h a t r i g h t t h e r e i s o u r f u l l e q u a t i o n f o r N 2 . N o w y o u g u y s s a i d , l e t ' s m a k e t h i s n u m e r i c a l . O K , w e h a v e e v e r y n u m e r i c a l v a l u e a l r e a d y c h o s e n . I ' v e a l r e a d y p l u g g e d t h e s e i n t o t h e D e s m o s t h i n g , s o y o u c a n s e e g e n e r a l l y h o w t h i s g o e s . S o w e ' v e s o l v e d i t t h e o r e t i c a l l y , s o n o w l e t ' s m a k e t h i s n u m e r i c a l a n d m a k e s o m e s o r t o f a v a l u e j u d g m e n t , r i g h t ?
W e k n o w s i g m a - 5 9 , b e c a u s e w e j u s t l o o k e d t h a t u p . W e k n o w p h i . W e i m p o s e t h a t a s 1 0 t o t h e 1 4 t h n e u t r o n s p e r s e c o n d . T h e r e i t i s . W e k n o w o u r l a m b d a . W e d o n ' t k n o w o u r s i g m a - 6 0 , s o w e ' r e j u s t g o i n g t o f o r g e t t h a t f o r n o w .
B u t t h e p o i n t i s , f o r e v e r y t h i n g e x c e p t t i m e a n d N 2 , w e h a v e n u m e r i c a l c o n s t a n t s f o r t h i s . S o o n c e w e p l u g i t a l l i n , I m o d i f i e d t h e D e s m o s e x a m p l e f r o m l a s t t i m e t o h a v e t h e a c t u a l u n i t . S o y o u c a n s e e t h a t o u r f a k e L 1 , o u r l a m b d a - - w e ' l l c a l l i t l a m b d a 1 - - e q u a l s s i g m a - 5 9 t i m e s p h i , w h i c h i s 2 0 b a r n s . 2 0 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 2 4 t h c e n t i m e t e r s s q u a r e d , t i m e s 1 0 t o t h e 1 4 t h n e u t r o n s p e r c e n t i m e t e r s q u a r e d p e r s e c o n d . A n d t h e c e n t i m e t e r s q u a r e d s c a n c e l . T h a t b e c o m e s , t o t h e m i n u s 1 0 . A n d w e g e t t h a t o u r l a m b d a 1 i s l i k e 2 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 9 p e r s e c o n d .
O u r l a m b d a 2 , w e l l , w e a l r e a d y h a v e t h a t , 4 . 1 7 t i m e s 1 0 t o t h e m i n u s 9 p e r s e c o n d . S o t h i s i s o n e o f t h o s e c a s e s w h e r e l a m b d a 1 a p p r o x i m a t e l y e q u a l s l a m b d a 2 . S o j u s t l i k e y o u s e e i n t h e b o o k , w h e n y o u p l u g i n a l l t h e n u m b e r s , y o u g e t a v e r y s i m i l a r e q u a t i o n . W h i c h i s t o s a y , t h e r e ' s g o i n g t o b e s o m e m a x i m u m o f c o b a l t - 6 0 p r o d u c e d .
A n d i n t h i s c a s e , t h e x - a x i s I h a v e i n s e c o n d s , b e c a u s e t h a t ' s t h e u n i t s w e ' r e u s i n g f o r e v e r y t h i n g . T h e y - a x i s i s n u m b e r o f a t o m s . S o r i g h t t h e r e , 6 t i m e s 1 0 t o t h e 2 3 r d , t h a t ' s o n e m o l e . S o a t m o s t , y o u c a n m a k e u p a b o u t 1 / 3 o f a m o l e o f c o b a l t - 6 0 o u t o f 1 0 0 m o l e s o f c o b a l t - 5 9 , w h i c h m e a n s y o u ' r e n e v e r a c t u a l l y g o i n g t o h a v e o n e m o l e o f c o b a l t - 6 0 . B e c a u s e o f t h e w a y t h a t o u r n a t u r a l a n d a r t i f i c i a l d e c a y c o n s t a n t s w o r k o u t , b e c a u s e t h e y ' r e f a i r l y e q u a l , y o u ' r e n e v e r g o i n g t o b e a b l e t o c o n v e r t a n d h a r v e s t i t a l l . T h a t ' s t h e n u m e r i c a l o u t p u t o f t h i s .
N o w I h a v e a n o t h e r q u e s t i o n f o r y o u . I s t h e t o p o f t h i s c u r v e n e c e s s a r i l y t h e p r o f i t p o i n t f o r t h i s r e a c t o r ? N o , g o o d a n s w e r . W h y d o y o u s a y n o ?
A U D I E N C E : W e l l , y o u h a v e t o w r i t e a n o t h e r e q u a t i o n f o r t h e c o s t s a n d t h e p r o f i t s t o m a x i m i z e b o t h o f t h e m .
M I C H A E L S H O R T : E x a c t l y . T h a t ' s w h a t y o u g u y s a r e g o i n g t o d o o n t h e h o m e w o r k . I t h i n k w e ' v e d o n e t h e h a r d p a r t t o g e t h e r h e r e . A n d s o n o w I w a n t y o u g u y s t o d e c i d e , g i v e n t h o s e p r o f i t p a r a m e t e r s - - a n d I w i l l w r i t e t h e m d o w n o n t h e P s e t - - h o w l o n g d o y o u r u n y o u r r e a c t o r t o m a x i m i z e y o u r c o b a l t - 6 0 p r o f i t ?
S o t h i s i s o n e o f t h o s e e x a m p l e s w h e r e w e d i d t h e w h o l e t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o n , w e d e c i d e d , y e s , l e t ' s e s c a l a t e t h e s i t u a t i o n f o r r e a l i t y . E v e r y t h i n g w o r k s o u t j u s t f i n e . T h e f i n a l a n s w e r , w e l l , y o u j u s t t a c k o n t h i s e x t r a a r t i f i c i a l b i t o f d e c a y f r o m t h e c o b a l t - 6 0 b e i n g i n t h e r e a c t o r . B u t t h e f o r m o f t h e e q u a t i o n i s e x a c t l y t h e s a m e . T h e r e ' s j u s t a c o u p l e o t h e r c o n s t a n t s i n i t f o r r e a l i t y .
T h e n i f y o u p l u g i n a l l t h e n u m b e r s f o r t h e c o n s t a n t s , s o y o u p r e t e n d l i k e t h a t s t u f f i s l a m b d a 2 a n d t h a t s t u f f i s l a m b d a 1 , t h e r e ' s l a m b d a 1 a g a i n , t h e r e ' s l a m b d a 2 , t h e r e ' s l a m b d a 1 , a n d i t ' s e x a c t l y t h e s a m e e q u a t i o n a l f o r m a s t h e o r i g i n a l s o l u t i o n t h a t w e h a d . W h e n y o u p l u g i n a l l t h e n u m b e r s , y o u g e t s o m e t h i n g r e m a r k a b l y s i m i l a r t o w h a t ' s i n t h e b o o k , j u s t s c a l e d f o r a c t u a l u n i t s o f a t o m s a n d s e c o n d s . I s t h e r e a q u e s t i o n ? Y e a h .
A U D I E N C E : O n t h e h o m e w o r k , d o y o u w a n t u s t o j u s t a s s u m e t h a t s i g m a - 6 0 i s 0 ?
M I C H A E L S H O R T : S u r e .
A U D I E N C E : A n d h a v e t h a t a l l c a n c e l o u t ?
M I C H A E L S H O R T : I f y o u c a n f i n d i t , t h a t ' s g r e a t . B u t I c o u l d n ' t f i n d i t t h a t e a s i l y . Y o u c a n h u n t t h r o u g h t h e d i f f e r e n t d a t a b a s e s i n J a n i s t o t r y t o f i n d i t . B u t I ' m n o t g o i n g t o p e n a l i z e y o u i f y o u c a n ' t f i n d i t ,
i f I c o u l d n ' t f i n d i t . S o y e a h , a l o t o f t h e h o m e w o r k i s g o i n g t o b e r e d o i n g t h i s d e r i v a t i o n f o r y o u r s e l f . B e c a u s e I w a n t t o m a k e s u r e t h a t y o u c a n g o f r o m a s e t o f e q u a t i o n s t h a t m o d e l s a n a c t u a l p h y s i c a l s o l u t i o n . A n d I g u a r a n t e e y o u y o u ' l l h a v e a n o t h e r p h y s i c a l s o l u t i o n o n t h e e x a m .
S o l v e t h e m u s i n g y o u r k n o w l e d g e o f 1 8 0 3 , g e t s o m e s o r t o f a s o l u t i o n , w h i c h l o o k s c r a z y , b u t i t c o m e s f r o m s t r a i g h t f o r w a r d m a t h . T h e n p l u g i n s o m e r e a l i s t i c n u m b e r s a n d a n s w e r a n a c t u a l q u e s t i o n . H o w l o n g s h o u l d y o u r u n y o u r r e a c t o r t o m a x i m i z e y o u r p r o f i t ? S o i t ' s k i n d o f n e a t . W e ' v e b e e n h e r e o n e m o n t h t o g e t h e r , a n d y o u c a n a l r e a d y s t a r t a n s w e r i n g t h e s e v a l u e j u d g m e n t q u e s t i o n s a b o u t r u n n i n g a r e a c t o r .
A n d s o a g a i n , I d o n ' t k n o w w h o d i d , b u t I ' m g l a d y o u a s k e d , i s t h i s f i e l d m o s t l y s i m u l a t i o n ? A n d t h e a n s w e r i s n o . Y o u a c t u a l l y h a v e t o u s e m a t h t o m a k e v a l u e j u d g m e n t s i f y o u w a n t t o g o a n d m a k e i s o t o p e s . A n d t h e n y o u g o a n d m a k e t h e i s o t o p e s . A n d y o u s e l l t h e m t o p e o p l e l i k e m e s o I c a n b r i n g t h e m i n t o c l a s s a n d s c a r e u n w i t t i n g m e m b e r s o f t h e p u b l i c , t h e o r e t i c a l l y .
Y e a h , h y p o t h e t i c a l s o u r c e i n d e e d . S o a n y q u e s t i o n s o n w h a t w e d i d h e r e , f r o m s t a r t t o f i n i s h ? Y e p .
A U D I E N C E : O n t h e e q u a t i o n r i g h t i n t h e m i d d l e t h e r e , w h e r e i t s a y s - - i n p a r e n t h e s i s , i t h a s l a m b d a p l u s s i g m a - 6 0 - -
M I C H A E L S H O R T : T h i s o n e ?
A U D I E N C E : Y e a h . W a s t h e p h i d r o p j u s t l i k e a - -
M I C H A E L S H O R T : O h , y e a h , t h a t w a s a m i s t a k e .
A U D I E N C E : O K . I c a n j u s t p u l l i t b a c k l a t e r .
M I C H A E L S H O R T : Y e a h , i t p r o b a b l y m e a n s I w a s t a l k i n g a n d t h i n k i n g a t t h e s a m e t i m e a n d f o r g o t t o w r i t e t h a t .
B u t i n d e e d , i t ' s b a c k e v e r y w h e r e e l s e . T h a n k y o u . Y e p .
A U D I E N C E : S o t h e l a m b d a i n t h e f i n a l N 2 f u n c t i o n e q u a t i o n , i s t h a t l a m b d a 1 , t h e t h e o r e t i c a l l a m b d a 1 , f a k e l a m b d a 1 , o r i s t h a t l a m b d a 2 ?
M I C H A E L S H O R T : T h i s l a m b d a r i g h t h e r e i s t h e a c t u a l l a m b d a f o r c o b a l t - 6 0 . Y e p . T h i s r i g h t h e r e i s j u s t a n a n a l o g y I ' m d r a w i n g t o s a y t h a t , i t ' s a l m o s t l i k e t h a t s t u f f i s l a m b d a 1 . T h a t ' s o u r o r i g i n a l a r t i f i c i a l d e c a y c o n s t a n t . A n d t h i s s t u f f h e r e i s l i k e o u r l a m b d a 2 , b e c a u s e t h e r e ' s n a t u r a l d e c a y
a n d t h e n t h e r e ' s r e a c t o r - i n d u c e d d e s t r u c t i o n . Y e p .
A U D I E N C E : W h a t i s t h a t f a c t o r o f d i v i d i n g b y l a m b d a [ I N A U D I B L E ] . W h e r e d o e s t h a t c o m e f r o m ?
M I C H A E L S H O R T : T h a t c o m e s f r o m t h i s s o l u t i o n r i g h t h e r e . T h e r e ' s a n o t h e r i n t e r e s t i n g b i t , t o o . D i d w e n e c e s s a r i l y s a y - - l e t ' s s e e . D i d w e n e c e s s a r i l y s a y t h a t - - n o , n e v e r m i n d , t h a t ' s f i n e . T h a t c o m e s f r o m - - l e t ' s t r a c e i t t h r o u g h . S o m u c o n t a i n s - - y e a h , i t c o m e s f r o m C . T h a t ' s r i g h t .
S o w e h a d i t o v e r h e r e , b e c a u s e t h a t ' s p a r t o f o u r s o l u t i o n f o r - - l e t ' s s e e . W h e r e w o u l d w e t r a c e i t b a c k t o ? I t s t a r t s o f f h e r e i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . I t s t a r t s o f f h e r e a s w e l l . S o t h a t ' s p a r t o f w h a t ' s i n s i d e m u . O K , t h a t ' s w h e r e i t c a m e f r o m . S o a m u c o n t a i n s t h i s s t u f f . Y e p .
A U D I E N C E : A n d t h e n o n c e y o u i n t e g r a t e , i t j u s t b e c o m e s e t o t h e t h a t . I t d o e s n ' t a c t u a l l y b e c o m e l a m b d a p l u s 6 5 .
M I C H A E L S H O R T : I t b e c o m e s e t o t h e l a m b d a p l u s 6 0 p h i , t i m e s t .
A U D I E N C E : Y e a h , b u t w h e n w e d o t h e i n t e g r a t i o n o f t h a t , w e d o n ' t g e t a n y f a c t o r s o f l a m b d a p l u s 6 0 p h i c o m i n g d o w n .
M I C H A E L S H O R T : W e d o , a c t u a l l y . T h e r e i s a m u s t u c k i n r i g h t h e r e . A n d s o I j u s t w a n t e d t o s a y t h a t , e x p a n d i n g t h i s t e r m c o m e s o u t t o l a m b d a p l u s s i g m a 6 0 p h i , m i n u s l a m b d a s i g m a - 5 9 p h i , t i m e s t . S o w h e n y o u i n t e g r a t e t h i s w h o l e t e r m - - a n d a g a i n , t h e r e ' s a n N 0 t h a t s h o u l d b e t h e r e .
Y o u d o b r i n g t h i s w h o l e p i l e i n f r o n t o f t h e t d o w n o n t h e b o t t o m o f t h e e q u a t i o n . S o t h a t ' s w h e r e i t c o m e s f r o m . Y e a h , c o o l . I d o n ' t t h i n k t h e r e ' s a n y m o r e m i s s i n g t e r m s . O K , m a y b e t i m e f o r a l a s t q u e s t i o n , b e c a u s e i t i s 1 0 o ' c l o c k .
A U D I E N C E : T h i s d o e s n ' t r e a l l y h a v e t o d o w i t h y o u r d e r i v a t i o n o r a n y t h i n g . S o I ' m p r e t t y s u r e y o u a l s o a l r e a d y e x p l a i n e d t h i s . B u t w h y c a n y o u p u t a c r o s s - s e c t i o n , l i k e t h a t ' s a m e a s u r e o f p r o b a b l y i n u n i t s , o f c e n t i m e t e r s s q u a r e d . H o w d o e s t h a t [ I N A U D I B L E ] ?
M I C H A E L S H O R T : A h , s o t h e c r o s s - s e c t i o n i s a l m o s t l i k e , i f y o u f i r e a n e u t r o n a t a n a t o m , t h e b i g g e r t h e a t o m a p p e a r s t o t h e n e u t r o n , t h e m o r e l i k e l y i t ' s g o i n g t o h i t i t . S o i t ' s k i n d o f a t h e o r e t i c a l c o n s t r u c t , t o s a y , i f s o m e t h i n g h a s a n e n o r m o u s c r o s s - s e c t i o n , i t ' s l i k e s h o o t i n g a b u l l e t a t a g i g a n t i c t a r g e t , w i t h a h i g h p r o b a b i l i t y o f i m p a c t o r i n t e r a c t i o n . S o m e t h i n g w i t h a s m a l l c r o s s - s e c t i o n , t h e r e ' s s t i l l o n l y o n e a t o m i n t h e w a y , b u t i t ' s l i k e y o u ' r e s h o o t i n g a b u l l e t a t a t i n y t a r g e t a n d h a v e l e s s o f a c h a n c e o f h i t t i n g i t . D o e s t h a t m a k e s s e n s e ? C o o l .
A U D I E N C E : S o i s i t j u s t a t h e o r e t i c a l c o n s t r u c t , o r c a n y o u a c t u a l l y r e l a t e i t t o a n a c t u a l p h y s i c a l c r o s s - s e c t i o n a l a r e a ?
M I C H A E L S H O R T : Y o u c a n ' t r e l a t e i t t o a p h y s i c a l c r o s s - s e c t i o n a l a r e a , a s I k n o w . I t ' s n o t l i k e a c e r t a i n n u c l e u s h a s a l a r g e r c r o s s - s e c t i o n a l a r e a . O t h e r w i s e , t h i n g s l i k e g a d o l i n i u m , w h i c h h a s a c r o s s - s e c t i o n o f 1 0 0 , 0 0 0 b a r n s , w o u l d j u s t b e a l a r g e r a t o m . A n d i t ' s n o t . A n d y e a h , S e a n .
A U D I E N C E : A r e t h e y d e t e r m i n e d o n l y e x p e r i m e n t a l l y , o r d o w e k n o w s o m e o f w a y t o c a l c u l a t e i t ?
M I C H A E L S H O R T : G o o d q u e s t i o n . T h e y c a n b e t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d i n s o m e c a s e s . I n t h e Y i p b o o k , N u c l e a r R a d i a t i o n I n t e r a c t i o n s , h e d o e s g o o v e r h o w t o c a l c u l a t e t h o s e f r o m q u a n t u m s t u f f . A n d s o y o u ' l l g e t a l i t t l e b i t o f t h a t i n 2 2 . 0 2 , i n t e r m s o f p r e d i c t i n g t h e c r o s s - s e c t i o n f o r h y d r o g e n a n d t h e c r o s s - s e c t i o n f o r w a t e r . A n d m o l e c u l a r w a t e r i s n o t j u s t t h e s u m o f i t s p a r t s . T h a t ' s t h e k i n d o f c r a z y p a r t .
C r o s s - s e c t i o n s d o c h a n g e w h e n y o u p u t a t o m s a n d m o l e c u l e s t o g e t h e r , j u s t t e n d t o b e a t l o w e r e n e r g i e s , a r o u n d t h e r m a l e n e r g i e s a n d s u c h . L e t ' s s a y , a l l o f t h e m p r o b a b l y c a n b e t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d , j u s t n o t t h a t e a s i l y . B u t t h e r e a l l y s i m p l e o n e s y o u c a n p r e d i c t t h e o r e t i c a l l y .
P r e d i c t i n g t h e r e s o n a n c e s i n t h o s e c r o s s - s e c t i o n s , t h a t ' s t o u g h . L e t ' s l o o k a t a s i m p l e c r o s s - s e c t i o n , l i k e h y d r o g e n .
A U D I E N C E : C a n ' t y o u c a l c u l a t e i t u s i n g s i m u l a t i o n s ?
M I C H A E L S H O R T : Y e s . L i k e i f y o u k n o w , l e t ' s s a y , t h e f u l l w a v e f u n c t i o n f o r a g i v e n a t o m o r f o r a l l t h e e l e c t r o n s i n a n a t o m , y o u s h o u l d b e a b l e t o . S o l e t ' s d o N t o t a l f o r h y d r o g e n . M u c h s i m p l e r , t h i s i s t h e k i n d o f t h i n g t h a t c a n b e p r e d i c t e d f r o m t h e o r y q u i t e e a s i l y . I n f a c t , y o u w i l l b e d o i n g t h i s i n 2 2 . 0 2 .
T h e o t h e r o n e , n o , I d o n ' t e x p e c t y o u t o b e a b l e t o p r e d i c t t h i s . B u t y o u w i l l l e a r n w h y t h e r e s o n a n c e s a r e t h e r e a n d w h y t h e y t a k e t h e s h a p e t h a t t h e y d o . S o l a s t t h i n g - - w e d i d g o l i k e t h r e e m i n u t e s l a t e , b u t e v e r y o n e ' s s t i l l h e r e . Y o u c a n g o i f y o u h a v e t o , b y t h e w a y . I c a n ' t k e e p y o u h e r e .
I f y o u w a n t t o k n o w , i f y o u w a n t t o m a k e t h i s e q u a t i o n m o r e r e a l i s t i c a n d a c c o u n t f o r e v e r y p o s s i b l e e n e r g y i n t h e r e a c t o r , y o u c a n m a k e t h e s e c r o s s - s e c t i o n s a f u n c t i o n o f e n e r g y , a n d i n t e g r a t e o v e r t h e f u l l e n e r g y r a n g e . A n d t h i s i s a c t u a l l y h o w i t ' s d o n e . A n d y o u w i l l d o t h i s i n 2 2 . 0 5 , w h e r e y o u ' l l b e a b l e t o t a k e t h e e n e r g y - d e p e n d e n t c r o s s - s e c t i o n i n t a b u l a t e d o r
t h e o r e t i c a l f o r m , a n d t h e n i n t e g r a t e t h i s w h o l e e q u a t i o n , a n d a l s o a c c o u n t f o r t h e f a c t t h a t t h e f l u x h a s a n e n e r g y c o m p o n e n t .
U s u a l l y , i t l o o k s s o m e t h i n g l i k e - - i n a l i g h t - w a t e r r e a c t o r , i f t h i s i s e n e r g y a n d t h i s i s f l u x , t h e r e ' l l b e a b i t o f a t h e r m a l s p i k e . T h e r e w o n ' t b e m u c h g o i n g o n i n t h e m i d d l e . I ' m s o r r y , a f a s t s p i k e , a n d t h e r e w i l l b e a t h e r m a l s p i k e . A n d k n o w i n g h o w m a n y n e u t r o n s a r e a t e v e r y e n e r g y l e v e l , w h a t ' s t h e p r o b a b i l i t y o f e v e r y n e u t r o n a t e n e r g y l e v e l i n t e r a c t i n g , a n d w h a t a r e t h e c r o s s - s e c t i o n s a t e v e r y e n e r g y l e v e l i n t e g r a t e d o v e r t h e f u l l e n e r g y r a n g e i s w h a t g e t s y o u t h e a c c u r a t e c o r r e c t s o l u t i o n .
W h a t w e ' v e d o n e h e r e i s c a l l e d t h e o n e - g r o u p a p p r o x i m a t i o n , w h e r e w e ' v e a s s u m e d t h a t a l l t h e n e u t r o n s h a v e t h e s a m e e n e r g y , t h e r m a l e n e r g y , w h i c h i s a n O K a s s u m p t i o n f o r t h e r m a l l i g h t - w a t e r r e a c t o r s . A n d i t ' l l g e t y o u a g o o d e s t i m a t e . T h e m o r e n e u t r o n s y o u h a v e a t d i f f e r e n t e n e r g i e s , t h e l e s s g o o d t h a t e s t i m a t e b e c o m e s . Y e a h .
A U D I E N C E : W a i t , s o t h a t t h e r m a l e n e r g y y o u g a v e u s , l i k e 0 . 0 2 [ I N A U D I B L E ] , t h a t w a s e s t i m a t e d f o r t h e e n e r g y o f t h e n e u t r o n s b e i n g f i r e d .
M I C H A E L S H O R T : L e t ' s s a y y o u h a v e a n e u t r o n a t a b o u t 2 9 8 K e l v i n . F r o m t h e M a x w e l l - B o l t z m a n n t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n , y o u c a n t u r n t h a t t e m p e r a t u r e i n t o a n a v e r a g e k i n e t i c e n e r g y . A n d t h a t a v e r a g e k i n e t i c e n e r g y w i l l g i v e y o u a v e l o c i t y . A n d t h a t v e l o c i t y i s a r o u n d 2 , 2 0 0 m e t e r s p e r s e c o n d . A n d t h a t a v e r a g e k i n e t i c e n e r g y h a p p e n s t o b e a b o u t 0 . 0 2 5 E V .
S o t h e r m a l i z e d n e u t r o n s , l i k e t h e o n e s f l y i n g a b o u t i n t h e r e a c t o r , a r e m o v i n g q u i t e s l o w l y a t j u s t 2 , 2 0 0 m e t e r s a s e c o n d , c o m p a r e d t o t h e f a s t n e u t r o n s , w h i c h c a n b e m o v i n g c l o s e r t o t h e s p e e d o f l i g h t , n o t t h a t c l o s e , b u t m u c h , m u c h , m u c h c l o s e r . C o o l . I ' l l t a k e i t a s a g o o d s i g n t h a t y o u a l l v o l u n t a r i l y s t a y e d a l i t t l e l a t e . S o d i d y o u g u y s f i n d t h i s e x a m p l e u s e f u l ?