M I T O C W | S o l v i n g t h e N e u t r o n D i f f u s i o n E q u a t i o n , a n d C r i t i c a l i t y R e l a t i o n s
T h e f o l l o w i n g c o n t e n t i s p r o v i d e d u n d e r a C r e a t i v e C o m m o n s l i c e n s e . Y o u r s u p p o r t w i l l h e l p M I T O p e n C o u r s e W a r e c o n t i n u e t o o f f e r h i g h - q u a l i t y e d u c a t i o n a l r e s o u r c e s f o r f r e e . T o m a k e a d o n a t i o n o r t o v i e w a d d i t i o n a l m a t e r i a l s f r o m h u n d r e d s o f M I T c o u r s e s , v i s i t M I T O p e n C o u r s e W a r e a t o c w . m i t . e d u .
P R O F E S S O R : S o T u e s d a y , w e d e v e l o p e d t h e l a r g e s t e q u a t i o n t h a t y o u ' l l p r o b a b l y e v e r u s e a t M I T . T h u r s d a y , w e d e s t r o y e d i t d o w n t o a r a t h e r m a n a g e a b l e s i z e .
A n d t o d a y , w e a r e g o i n g t o s o l v e i t a n d a c t u a l l y s h o w y o u g u y s h o w t o w o r k o u t d i f f e r e n t r e a c t o r p r o b l e m s a l l t h e w a y f r o m s i m p l e o n e - g r o u p h o m o g e n e o u s r e a c t o r s t o e x p a n d i n g i n t u i t i v e l y , n o t d i r e c t l y , f r o m t h e m a t h e m a t i c s t o s o l v e , o r t o p o s e a n d s o l v e , t w o - g r o u p r e a c t o r p r o b l e m s l i k e t h e o n e t h e y d i d o n t h e A P 1 0 0 0 r e a c t o r w h e r e t h e y s e p a r a t e t h e n e u t r o n s i n t o a f a s t a n d a t h e r m a l g r o u p .
A n d I w a n t e d t o p u t u p w h e r e w e l e f t o f f . W e h a v e s o m e e q u a t i o n d e s c r i b i n g f i s s i o n , n , n r e a c t i o n s , p h o t o f i s s i o n , a b s o r p t i o n , a n d l e a k a g e o r d i f f u s i o n a s t h e b i g b a l a n c e e q u a t i o n f o r h o w m a n y n e u t r o n s a r e t h e r e i n s o m e r e a c t o r .
A n d I t h i n k l a s t t i m e , I h a d s o m e e x a m p l e r e a c t o r s u p o n t h e b o a r d r a n g i n g f r o m a n i n f i n i t e s l a b w i t h a t h i c k n e s s a , t o a c y l i n d e r w i t h - - w e ' l l c a l l i t a t h i c k n e s s a a n d a h e i g h t z .
A n d t h e q u e s t i o n t h a t w e w a n t t o b e a b l e t o a n s w e r i s , i f w e d r a w a g r a p h o f f l u x v e r s u s x t h r o u g h t h i s r e a c t o r , a n d i n t h i s c a s e , i t w o u l d b e r a n d z , w h a t d o t h e s e f u n c t i o n s l o o k l i k e ? W h a t i s t h e f o r m o f t h i s f l u x ?
A n d s o t o d a y , f r o m t h i s e q u a t i o n , w e ' r e a c t u a l l y g o i n g t o s o l v e i t . S o b e a r w i t h m e . T h e r e ' l l b e m a y b e 2 0 m i n u t e s o f r e m a i n i n g d e r i v a t i o n , a n d t h e n I ' m g o i n g t o t e a c h y o u h o w t o u s e i t . S o t o d a y ' s c l a s s i s g o i n g t o b e m o r e l i k e a r e c i t a t i o n o f h o w d o y o u a c t u a l l y u s e t h i s e q u a t i o n i n s t e a d o f g e t t i n g t o i t .
F i r s t o f a l l , I w a n t t o s i m p l i f y t h i n g s , w h i c h i s g o i n g t o m a k e i t - - d e - e s c a l a t e . I f w e s i m p l i f y t h i n g s a n d d o n ' t w o r r y a b o u t t h e s e N I N r e a c t i o n s a n d p h o t o f i s s i o n , w e h a v e t h e e q u a t i o n t h a t y o u ' l l a c t u a l l y s e e i n y o u r r e a d i n g . I ' m g o i n g t o d r o p t h e m f o r n o w - - a n d I r e a l i z e I ' m m i s s i n g o n e l i t t l e g a m m a - - b e c a u s e t h e y ' r e j u s t e x t r a t e r m s .
T h e y w e r e i n s t r u c t i v e i n w r i t i n g t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n b e c a u s e a l l t h e t e r m s l o o k e d
s i m i l a r , b u t n o w t h e y ' r e j u s t k i n d o f e x t r a t h i n g s f o r u s t o w r i t e . A n d t h e l a s t t h i n g t h a t i s n ' t i n u n i t s o f f l u x i s t h i s L a p l a c i a n o p e r a t o r , f o r t h o s e w h o d o n ' t r e m e m b e r .
A n d t h i s L a p l a c i a n o p e r a t o r t a k e s d i f f e r e n t f o r m s i n d i f f e r e n t d i m e n s i o n s a n d d i f f e r e n t c o o r d i n a t e s y s t e m s . F o r 1 d C a r t e s i a n , i t ' s p r e t t y e a s y . I t ' s j u s t d o u b l e d e r i v a t i v e , l e t ' s s a y i n x .
F o r c y l i n d r i c a l , i t ' s s i g n i f i c a n t l y u g l i e r , p l u s d s q u a r e d o v e r d r s q u a r e d . S o t h i s i s w h a t t h e L a p l a c i a n o p e r a t o r l o o k s l i k e i n t h e c a s e o f a f i n i t e c y l i n d r i c a l r e a c t o r .
S o f i r s t w e ' r e g o i n g t o f o c u s o n t h e i n f i n i t e s l a b c a s e r i g h t h e r e b e c a u s e i t ' s a l o t e a s i e r t o s o l v e , a n a l y t i c a l l y . A n d t h e n w e ' l l s h o w y o u h o w i t w o u l d g o f o r t h e c y l i n d r i c a l r e a c t o r w h i c h l o o k s a l o t m o r e l i k e t h e r e a c t o r s y o u ' l l s e e e v e r y w h e r e e l s e i n t h e w o r l d .
S o l e t ' s s t a r t d o i n g a l i t t l e b i t o f r e a r r a n g e m e n t a n d i s o l a t e t h a t L a p l a c i a n , s o w e c a n t h e n s u b t r a c t d d e l s q u a r e d p h i f r o m e a c h s i d e . O K . A n d t h a t c a n c e l s t h o s e o u t .
A n d t h e n w e ' v e g o t s o m e t h i n g o n t h e l e f t h a n d , i s i n d e l s q u a r e d p h i , a n d o n t h e r i g h t s i d e h a s a l l i n u n i t s o f f l u x . S o t h e n w e c a n d i v i d e e v e r y t h i n g b y t h e f l u x . A n d i f w e t h e n c a n c e l o u t a l l t h e f l u x t e r m s , a l l t w o o f t h e m , w e ' r e l e f t w i t h s o m e t h i n g a w f u l l y s i m p l e .
A n d t h e l a s t t h i n g w e c a n d o i s d i v i d e b y d o n b o t h s i d e s . A n d I ' m s o r r y . I h a d t o c a n c e l t h a t f l u x b e c a u s e t h a t ' s t h e w a y t h a t g o e s . T h e d ' s c a n c e l , a n d I ' l l r e d r a w w h a t w e h a v e r i g h t h e r e . S o w e h a v e m i n u s d e l s q u a r e d f l u x o v e r f l u x e q u a l s c o n s t a n t s .
A n d w h a t a r e t h e y a c t u a l l y ? I t ' d b e 1 o v e r k t i m e s n e w s i g m a f i s s i o n m i n u s s i g m a a b s o r p t i o n o v e r d . E v e r y o n e r e m e m b e r w h y w e ' r e p u t t i n g t h e s e b a r s o n t h e c r o s s s e c t i o n s i n d a n d e v e r y t h i n g ? C a n s o m e o n e j u s t t e l l m e ?
A U D I E N C E : A v e r a g e d ?
P R O F E S S O R : T h a t ' s r i g h t . W e ' v e a v e r a g e d o v e r a l l e n e r g y , s o s o m e a v e r a g e c r o s s - s e c t i o n w o u l d b e t h e a v e r a g e f r o m o u r m i n i m u m t o o u r m a x i m u m e n e r g y o f t h a t c r o s s - s e c t i o n a s a f u n c t i o n o f e n e r g y t i m e s f l u x , o v e r t h e r a n g e i t s e l f .
S o b y t h i s , w e ' r e s a y i n g , w e ' r e a v e r a g i n g t h e c r o s s - s e c t i o n s o m e h o w o v e r t h e w h o l e e n e r g y r a n g e . N o w , I a s k y o u g u y s , w h a t s o r t o f f u n c t i o n s i n C a r t e s i a n s p a c e h a p p e n t o h a v e i t s d o u b l e d e r i v a t i v e o v e r i t s e l f e q u a l t o c o n s t a n t ?
A U D I E N C E : E x p o n e n t i a l s .
P R O F E S S O R : I s w h a t ?
A U D I E N C E : E x p o n e n t i a l s .
P R O F E S S O R : E x p o n e n t i a l s , o r s i n e a n d c o s i n e . Y o u ' v e b a s i c a l l y s a i d t h e s a m e t h i n g t w o d i f f e r e n t w a y s , y e a h , b e c a u s e t h e p l u s a n d m i n u s e x p o n e n t i a l s c a n b e r e w r i t t e n i n s i n e s a n d c o s i n e s .
S o i f w e n o w a s s u m e t h a t o u r f l u x s o l u t i o n h a s t o t a k e t h e f o r m o f , l e t ' s c a l l i t a c o s i n e b x p l u s c c o s i n e , w h a t ' s t h e n e x t c o n s t a n t ? F x . I ' m s o r r y , t h a t ' s a s i n e .
I d o n ' t w a n t t o u s e d a g a i n f o r o b v i o u s r e a s o n s , a n d e s t a n d s f o r e n e r g y . S o t h a t ' s t h e n e x t l e t t e r t h a t w e h a v e n ' t r e a l l y u s e d . T h e f l u x h a s g o t t o t a k e t h i s s h a p e o r e l s e t h i s c o n d i t i o n i s n o t s a t i s f i e d . S o t h i s i s t h e e a s y w a y o f s o l v i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , w h i c h i s g u e s s t h e s o l u t i o n f r o m p r e v i o u s k n o w l e d g e o r e x p e r i e n c e o r s o m e t h i n g .
S o b a s e d o n t h i s , i f w e w e r e t o d r a w a f l u x p r o f i l e , l e t ' s s a y , r i g h t h e r e w a s x e q u a l s 0 , o n e o f t h o s e t e r m s h a s g o t t o g o a w a y b y r e a s o n s o f s y m m e t r y . W h a t d o y o u t h i n k i t ' l l b e ? W h i c h o f t h o s e h a l v e s r i g h t t h e r e i s s y m m e t r i c a b o u t t h e x - a x i s r i g h t h e r e ? S i n e o r t h e c o s i n e ?
A U D I E N C E : C o s i n e .
P R O F E S S O R : C o s i n e . Y e p .
T h e s i n e s , i t c a n b e i n v e r t e d a r o u n d y o u r c o o r d i n a t e s y s t e m , b u t i t ' s n o t s y m m e t r i c . I t ' s n o t a m i r r o r i m a g e . S o a c t u a l l y , t h e s i n e t e r m g o e s a w a y a n d w e ' v e g o t t o h a v e s o m e s o l u t i o n w h i c h l o o k s l i k e a t i m e s c o s i n e b o f x b e c a u s e r i g h t h e r e o u r d f l u x d x s h o u l d e q u a l 0 a t x e q u a l s 0 .
N o w , I ' v e i n t e n t i o n a l l y d r a w n t h e f l u x n o t t o g o t o z e r o a t t h e v e r y e d g e o f t h e r e a c t o r . I f t h e f l u x a u t o m a t i c a l l y w e n t t o z e r o a t t h e e d g e o f t h e r e a c t o r , t h e r e ' d b e n o n e e d t o s h i e l d i t , r i g h t ? S o t h e r e a r e s o m e n e u t r o n s s t r e a m i n g o u t o f t h i s r e a c t o r . A n d t h i s d i s t a n c e r i g h t h e r e i s a c t u a l l y e q u a l t o t w o t i m e s t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t .
L e t m e g e t r i d o f t h e s t u f f w e d o n ' t n e e d a n y m o r e . T h i s i s w h a t w e c a l l t h e e x t r a p o l a t i o n l e n g t h . A n d n o w I s h o u l d a l s o m e n t i o n , I ' m n o t g o i n g t o d e r i v e i t b e c a u s e I t h i n k w e ' v e d o n e e n o u g h d e r i v i n g f o r o n e w e e k , b u t I ' l l j u s t g i v e y o u t h e f o r m .
T h i s d i f f u s i o n c o n s t a n t c a n a c t u a l l y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f o t h e r c r o s s s e c t i o n s w h e r e t h i s
m u n o u g h t i s w h a t ' s k n o w n a s t h e a v e r a g e s c a t t e r i n g a n g l e c o s i n e . A n d i t a p p r o x i m a t e l y e q u a l s 2 / 3 t i m e s t h e a v e r a g e a t o m i c m a s s o f w h a t e v e r i t ' s s c a t t e r i n g o f f o f .
S o t h i s d t h a t I ' v e j u s t i n t r o d u c e d f r o m s o m e p h y s i c a l a n a l o g y a c t u a l l y h a s a n e x p r e s s i o n f r o m c r o s s s e c t i o n s a n d t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s t h a t y o u c a n l o o k u p . S o w e ' v e n o w t u r n e d i t i n t o s o m e s o r t o f c o n d i t i o n w h e r e e v e r y t h i n g c a n b e l o o k e d u p i n t h e J a n i s l i b r a r y , o r w h a t e v e r c r o s s s e c t i o n l i b r a r y y o u h a v e , p l u s w h a t e v e r n u m b e r d e n s i t i e s y o u a c t u a l l y h a v e i n y o u r r e a c t o r .
S o t h e p i c t u r e ' s s t a r t i n g t o g e t v e r y r e a l a n d v e r y p h y s i c a l . S o n o w , i f w e a s s u m e t h a t p h i t a k e s t h e f o r m o f a c o s i n e b x , l e t ' s p l u g i t i n . S o i f w e r e w r i t e t h i s e x p r e s s i o n - - I t h i n k I ' l l n e e d a n o t h e r c o l o r f o r a s u b s t i t u t e - - s o w e ' l l t a k e a c o s i n e b x a n d s t i c k i t i n t h e r e a n d s t i c k i t i n t h e r e .
A n d w e ' l l e n d u p w i t h , m i n u s d e l s q u a r e d c o s i n e i s g o i n g t o l o o k l i k e a t i m e s b s q u a r e d c o s i n e b x o v e r a c o s i n e b x e q u a l s t h o s e c o n s t a n t s . I t ' s s t a r t i n g t o g e t v e r y s i m p l e . K e e p t h e b a r s o n t h e r e b e c a u s e t h e y ' r e q u i t e i m p o r t a n t .
A n d i f w e c a n c e l t h i n g s o u t , t h e c o s i n e b x ' s g o a w a y , t h e a ' s g o a w a y , a n d w e ' r e l e f t w i t h w h a t e v e r i s i n s i d e t h a t c o s i n e . B s q u a r e d e q u a l s a b u n c h o f m a t e r i a l p r o p e r t i e s .
T h e r e ' s n o i n f o r m a t i o n i n h e r e a b o u t t h e g e o m e t r y o f o u r r e a c t o r . T h e r e ' s o n l y t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s , w h e r e a s o v e r h e r e , t h i s c o n s t a n t b , I ' m g o i n g t o a d d a l i t t l e g t o i t w h i c h s t a n d s f o r g e o m e t r y . A n d w e ' v e n o w s e t u p a c o n d i t i o n w h e r e i f y o u k n o w t h e g e o m e t r y a n d t h e m a t e r i a l s i n t h e r e a c t o r , y o u c a n s o l v e f o r t h e f i n a l u n k n o w n w h i c h i s i t s k e f f e c t i v e .
H o w c r i t i c a l o r n o t i s t h i s r e a c t o r ? S o w h a t w o u l d b h a v e t o b e t o m a k e t h i s c o s i n e v a l i d ? S o w h a t w o u l d b g e q u a l i f w e h a v e t h e f o r m o f t h i s f l u x l i k e s o ? I ' l l g i v e y o u a h i n t .
I f t h e c o s i n e g o e s t o z e r o r i g h t h e r e a t s o m e r e a c t o r l e n g t h , a o v e r 2 , p l u s s o m e e x t r a p o l a t i o n l e n g t h , 2 d , t h e n h o w d o w e m a k e t h e c o s i n e e q u a l t o z e r o a t t h i s p o i n t ? W h a t d o e s b g h a v e t o e q u a l ?
A U D I E N C E : P i h a l v e s o v e r 2 d ?
P R O F E S S O R : Q u i t e c l o s e . B g w o u l d h a v e t o e q u a l p i o v e r a o v e r 2 p l u s 2 d , s u c h t h a t w h e n y o u s u b s t i t u t e - - o r o v e r 2 , r i g h t , y e a h . O h , y e a h , O K - - s o t h a t w h e n y o u s u b s t i t u t e x e q u a l s a o v e r 2 p l u s 2 d i n t o t h e r e , t h i s c o s i n e e v a l u a t e s o u t t o z e r o . D o e s t h a t m a k e s s e n s e ? C o o l .
S o n o w , w e h a v e b g . T h e r e ' s n o t h i n g h e r e b u t g e o m e t r y p l u s a l i t t l e b i t o f e x t r a p o l a t i o n l e n g t h r i g h t h e r e . Y e a h ?
A U D I E N C E : S h o u l d n ' t t h e r e b e a n o v e r 2 ?
P R O F E S S O R : O h , y e a h . T h e r e s h o u l d b e a n o v e r 2 , s o t h a t w h e n y o u p l u g i n x e q u a l s a o v e r 2 p l u s 2 d , y o u g e t p i o v e r 2 , a n d c o s i n e o f p i o v e r 2 i s 0 . Y e p . C o o l .
S o n o w w e h a v e o u r b g . S o w e s u b s t i t u t e t h a t b a c k i n t h e r e . L e t ' s j u s t c o n t i n u e t o c a l l i t b g s i n c e w e h a v e i t o v e r t h e r e . A n d w e h a v e t h i s m u c h s i m p l e r e x p r e s s i o n , b g s q u a r e d e q u a l s 1 o v e r k m u s i g m a f i s s i o n p l u s s i g m a a b s o r p t i o n o v e r d .
T h e n , w h e r e ' s o u r r e a r r a n g i n g c o l o r ? W e c a n m u l t i p l y e v e r y t h i n g b y d . A n d l e t ' s s e e . T h a t s h o u l d h a v e b e e n a m i n u s . C o p i e d m y s e l f o v e r w r o n g . T h e d ' s g o a w a y . Y o u c a n t h e n a d d s i g m a a b s o r p t i o n t o e a c h s i d e . A n d t h e n t h o s e g o a w a y . A n d t h e n , y o u c a n m u l t i p l y e v e r y t h i n g b y k , a n d t h o s e g o a w a y .
A n d f i n a l l y , d i v i d e e v e r y t h i n g b y s i g m a a p l u s d b g s q u a r e d . A n d w h a t w e ' r e l e f t w i t h i s o u r c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n . O u r k , o u r c r i t i c a l i t y , i s p r e t t y s i m p l e , n u s i g m a f i s s i o n o v e r a b s o r p t i o n p l u s l e a k a g e .
S o f i n a l l y , a f t e r a l l t h a t d e r i v a t i o n , w e ' v e a r r i v e d a t s o m e i n t u i t i v e r e s u l t . R e m e m b e r w e s a i d t h a t k , t h e c r i t i c a l i t y , o r t h e k e f f e c t i v e , i s t h e r a t i o o f g a i n s t o l o s s e s o f n e u t r o n s . S o t h a t ' s e x a c t l y w h a t w e h a v e .
T h e o n l y g a i n m e c h a n i s m r i g h t h e r e i s b y f i s s i o n , a n d t h e l o s s m e c h a n i s m s a r e e i t h e r a b s o r p t i o n b y t h e s t u f f i n t h e r e a c t o r o r l e a k a g e o u t s i d e o f t h e r e a c t o r . A n d s o t h i s i s a c t u a l l y h o w y o u t e l l w h e n t h e r e a c t o r ' s i n p e r f e c t b a l a n c e , i s i f t h i s c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d , a n d i f i t e q u a l s 1 , t h e n t h e r e a c t o r i s c r i t i c a l .
S o n o w , w e c a n s t a r t t o p l a y w i t h t h i s . A n d l e t ' s s a y w e s t a r t e d o f f w i t h a c r i t i c a l r e a c t o r a n d a l l o f a s u d d e n , w e w e r e t o b o o s t t h e a b s o r p t i o n . W h a t s h o u l d h a p p e n t o k e f f e c t i v e ? I f y o u s t a r t o b s e r v i n g m o r e , r i g h t , i t s h o u l d g o s u b - c r i t i c a l .
N o w , m a t h e m a t i c a l l y s p e a k i n g , t h a t m e a n s t h i s d e n o m i n a t o r g e t s l a r g e r . S o t h i s r a t i o g e t s s m a l l e r . A n d t h e r e f o r e , k e f f e c t i v e h a s t o g o d o w n , a s w e l l . N o w t h a t ' s a n e a s y c a s e .
L e t ' s s t a r t e x p l o r i n g s o m e o f t h e m o r e i n t e r e s t i n g o n e s . L e t ' s s a y y o u r a i s e t h e t e m p e r a t u r e i n
t h e r e a c t o r . D o w e n e c e s s a r i l y k n o w w h a t ' s g o i n g t o h a p p e n n e x t ? L e t ' s w o r k i t o u t .
S o m o s t c r o s s s e c t i o n s , w h e n y o u r a i s e t h e t e m p e r a t u r e , w i l l a c t u a l l y g o d o w n i n v a l u e d u e t o a p r o c e s s c a l l e d D o p p l e r b r o a d e n i n g t h a t y o u ' l l l e a r n a b o u t i n 2 2 . 0 5 . B u t s u f f i c e t o s a y f o r n o w t h a t c r o s s s e c t i o n s t e n d t o g o d o w n w i t h t e m p e r a t u r e .
T h e m o s t i m p o r t a n t r e a s o n w h y i s b e c a u s e a c r o s s s e c t i o n i s a n u m b e r d e n s i t y t i m e s a m i c r o s c o p i c c r o s s s e c t i o n , a n d i f t h e t e m p e r a t u r e g o e s u p , t h e n t h e d e n s i t y g o e s d o w n , a n d t h e n u m b e r d e n s i t y g o e s d o w n .
A n d i f t h e n u m b e r d e n s i t y g o e s d o w n , t h e m a c r o s c o p i c c r o s s - s e c t i o n g o e s d o w n . T h e a t o m s j u s t s p r e a d o u t f r o m e a c h o t h e r . S o r e g a r d l e s s o f w h a t h a p p e n s a t t h e m i c r o s c o p i c c r o s s - s e c t i o n , w h i c h I ' l l l e a v e t o B e n a n d C o r d t o t e a c h y o u n e x t y e a r , w e k n o w t h a t t h e m a c r o s c o p i c c r o s s - s e c t i o n g o e s d o w n b e c a u s e i t g e t s l e s s d e n s e .
S o l e t ' s t r y a n d w o r k o u t n o w , w h a t w o u l d h a p p e n t o k e f f e c t i v e ? S o w h a t w i l l h a p p e n t o n u i f w e r a i s e t h e t e m p e r a t u r e ? N o t h i n g , l e t ' s h o p e . W h a t h a p p e n s t o s i g m a f i s s i o n ? T h i s g o e s d o w n a b i t . B u t w h a t a b o u t s i g m a a b s o r p t i o n ? S i g m a a b s o r p t i o n i s g o i n g t o g o d o w n .
D o e s b g c h a n g e ? H a s t h e g e o m e t r y o f t h e r e a c t o r c h a n g e d ? P r o b a b l y n o t . M i g h t h a v e t h e r m a l l y e x p a n d e d b y a f e w n a n o m e t e r s , b u t l e t ' s j u s t s a y , i t d o e s n ' t c h a n g e a t a l l .
W h a t a b o u t t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t ? L e t ' s w o r k t h a t o u t . S i g m a t o t a l i s g o i n g t o g o d o w n . S i g m a s c a t t e r i n g i s g o i n g t o g o d o w n . S o p r o b a b l y w h a t ' s g o i n g t o h a p p e n i s , t h i s d i f f u s i o n c o n s t a n t i s g o i n g t o g o u p , w h i c h m e a n s t h a t i f t h e a t o m s s p r e a d o u t m o r e , n e u t r o n s w i l l m o v e f a r t h e r , o n a v e r a g e .
H o p e f u l l y , t h a t m a k e s i n t u i t i v e s e n s e , b e c a u s e i f t h e c r o s s - s e c t i o n s g o d o w n , t h e n a n e u t r o n c a n m o v e f a r t h e r b e f o r e a n a v e r a g e i n t e r a c t i o n .
S o t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t i s p r o b a b l y g o i n g t o g o u p . W h i c h w a y d o e s k e f f e c t i v e g o ? Y o u ' r e c o r r e c t . N o o n e s a i d a n y t h i n g b e c a u s e y o u c a n ' t r e a l l y s a y a n y t h i n g .
S o i t d e p e n d s o n t h e r e l a t i v e a m o u n t s t h a t t h e s e i n c r e a s e o r d e c r e a s e . S o d e p e n d i n g o n w h a t y o u c h o o s e f o r y o u r m a t e r i a l s , y o u c a n h a v e w h a t ' s c a l l e d p o s i t i v e o r n e g a t i v e t e m p e r a t u r e f e e d b a c k , w h i c h m e a n s i n s o m e c o n d i t i o n s o r s c e n a r i o s , w h a t y o u w a n t t o h a p p e n i s t h a t i f t h e t e m p e r a t u r e g o e s u p , k e f f e c t i v e s h o u l d g o d o w n , b u t n o t n e c e s s a r i l y s o .
D e p e n d i n g o n w h a t y o u u s e , y o u c a n a c t u a l l y h a v e s i t u a t i o n s w h e r e r a i s i n g t h e t e m p e r a t u r e r a i s e s k e f f e c t i v e , a n d t h a t i s s o m e s e r i o u s l y b a d n e w s a n d i s a c t u a l l y o u t l a w e d . Y o u c a n ' t d e s i g n a r e a c t o r w i t h p o s i t i v e t e m p e r a t u r e c o e f f i c i e n t s .
S o t h i s i s t h e f i r s t l i t t l e t a s t e o f r e a c t o r f e e d b a c k i s , n o w t h a t w e ' v e w r i t t e n t h i s c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n , w e c a n s t a r t t o e x p l o r e w h a t h a p p e n s w h e n y o u s t a r t p r o b i n g t h e r e a c t o r .
S o l e t ' s s a y , w h a t h a p p e n s i f y o u j u s t a d d m o r e r e a c t o r ? I n t h i s c a s e - - w h e r e ' s m y g r e e n ? A l l t h e w a y o v e r t h e r e - - w i t h o u t c h a n g i n g t h e m a t e r i a l s , w h a t h a p p e n s w h e n y o u m a k e t h e r e a c t o r b i g g e r ? W h a t i n c r e a s e s , d e c r e a s e s o r s t a y s t h e s a m e ?
L e t ' s j u s t w o r k i t t h r o u g h . D o e s n u c h a n g e ? S i g m a f i s s i o n ? N o . S i g m a a b s o r p t i o n ? D ? H o w d o e s b g c h a n g e ? B g d e c r e a s e s , a n d a s y o u ' d e x p e c t , i f y o u a d d m o r e r e a c t o r t o y o u r r e a c t o r , t h e k e f f e c t i v e s h o u l d i n c r e a s e .
A n d s o t h i s , h o p e f u l l y , i s s t a r t i n g t o f o l l o w s o m e i n t u i t i v e p a t t e r n . W i t h a g i v e n c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n , i n s o m e s i t u a t i o n s , y o u c a n w o r k o u t , w i l l t h e r e a c t o r g a i n o r l o s e p o w e r ? S p e a k i n g o f , w h e r e ' s t h e p o w e r ? W h e r e ' d i t g o ? Y e a h ?
A U D I E N C E : T h e k i n e t i c e n e r g y o f n e u t r o n s ?
P R O F E S S O R : S o y e s , t h e p o w e r c o m e s f r o m t h e k i n e t i c e n e r g y o f n e u t r o n s , b u t w h e r e d i d t h e p o w e r g o i n o u r e x p r e s s i o n ? Y e a h ?
A U D I E N C E : P o w e r ' s n o t d e p e n d e n t o n c r i t i c a l i t y .
P R O F E S S O R : T h a t ' s r i g h t . T h a t ' s e x a c t l y r i g h t . A n d i t f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e m a t h . T h i s a g o t c a n c e l e d a w a y . I t d o e s n ' t m a t t e r . Y o u c a n a c t u a l l y h a v e w h a t ' s c a l l e d a z e r o p o w e r r e a c t o r . S o t h e p o w e r o f t h e r e a c t o r a n d i t s c r i t i c a l i t y a r e n o t n e c e s s a r i l y l i n k e d .
Y o u c a n h a v e a r e a c t o r t h a t i s c r i t i c a l w h i l e p r o d u c i n g t o n s o f p o w e r . Y o u c a n a l s o h a v e a r e a c t o r t h a t i s c r i t i c a l w h i l e p r o d u c i n g - - I w o n ' t s a y z e r o , b u t a n i n f i n i t e s i m a l l y s m a l l a m o u n t o f p o w e r . A n d t h e y a c t u a l l y h a v e b u i l t t h e s e .
T h e y ' r e g r e a t t e s t s y s t e m s f o r t e s t i n g o u r k n o w l e d g e o f n e u t r o n p h y s i c s b e c a u s e y o u ' v e g o t a r e a c t o r t h a t ' s p r o d u c i n g m a y b e 1 0 w a t t s o f p o w e r . I t ' s e a s y t o c o o l b y b l o w i n g a f a n o n i t , l e t ' s s a y . B u t y o u c a n s t i l l m e a s u r e t h e n e u t r o n f l u x i n d i f f e r e n t p l a c e s a n d t e s t h o w w e l l y o u r c o d e s a r e w o r k i n g w i t h a m u c h s a f e r c o n f i g u r a t i o n t h a n s t i c k i n g p r o b e s i n t o a g i g a w a t t c o m m e r c i a l
r e a c t o r . Y e p ?
A U D I E N C E : S o [ I N A U D I B L E ] s t e a d y s t a t e r e a c t o r , h o w a r e y o u [ I N A U D I B L E ] i f i t ' s n o t r e a l l y a t t h e s t e a d y s t a t e ?
P R O F E S S O R : T h a t w o u l d p u s h t h e r e a c t o r o u t o f s t e a d y s t a t e . I n d e e d , s o o n T u e s d a y , w e ' r e g o i n g t o s t a r t c o v e r i n g t r a n s i e n c e , a n d i f k e f f e c t i v e b e c o m e s o m e t h i n g o t h e r t h a n o n e , t h e r e a c t o r i s n o l o n g e r i n s t e a d y s t a t e .
I t ' s n o t i n e q u i l i b r i u m b e c a u s e t h e g a i n s a n d t h e l o s s e s a r e n o t e q u a l t o e a c h o t h e r . A n d a t t h a t p o i n t , t h e p o w e r w i l l s t a r t t o c h a n g e , w h a t y o u g u y s a l l s a w w h e n y o u m a n i p u l a t e d t h e r e a c t o r p o w e r .
S o s i n c e y o u b r o u g h t i t u p , d o e s a n y b o d y r e m e m b e r , i f w e d r a w a s a f u n c t i o n o f t i m e , l e t ' s s a y t h e r e a c t o r p o w e r w a s c r u i s i n g a l o n g , a n d r i g h t a t t h e t i m e i s n o w , y o u w i t h d r e w a c o n t r o l r o d . W h a t h a p p e n e d w h e n y o u g u y s d i d t h a t ? A n y o n e , b e c a u s e y o u a l l d i d i t .
I t w e n t u p . O K . A n d t h e n w h a t ? W h e n y o u s t o p p e d w i t h d r a w i n g t h e c o n t r o l r o d , d i d i t l e v e l o u t ? S o e v e r y o n e , t e l l m e w h a t h a p p e n e d .
A U D I E N C E : I t s l o w e d d o w n .
P R O F E S S O R : I t s l o w e d d o w n t h e i n c r e a s e , b u t i t d i d n ' t s t o p g o i n g u p . K i n d o f f r e a k y .
S o t h i s i s w h y I h a d y o u g u y s d o t h a t p o w e r r a m p b e c a u s e j u s t c o n t r o l l i n g a r e a c t o r i s n o t a s s i m p l e a s , r e m o v e t h e c o n t r o l r o d , y o u r e m o v e a c e r t a i n a m o u n t o f r e a c t i v i t y b e c a u s e t h e r e a r e t i m e - d e p e n d e n t e f f e c t s d u e t o d e l a y e d n e u t r o n s , n e u t r o n s t h a t a r e n ' t i m m e d i a t e l y r e l e a s e d a f t e r f i s s i o n t h a t c a n h a v e a l a r g e e f f e c t o n h o w y o u c o n t r o l y o u r r e a c t o r .
A n d t h e n i f y o u w a n t e d t o d e c r e a s e i t a g a i n , l e t ' s s a y y o u p u t t h e c o n t r o l r o d b a c k i n t o i t s o r i g i n a l p o s i t i o n , t h e p o w e r w o u l d n o t c o m e b a c k t o i t s o r i g i n a l p o s i t i o n . B u t t h e n , e v e n t u a l l y , i t w o u l d s t a r t t o c o a s t d o w n a n d p r o b a b l y g o b e n e a t h i t s o r i g i n a l p o s i t i o n a t w h i c h p o i n t y o u h a v e t o c o n s t a n t l y b e c o n t r o l l i n g t h o s e c o n t r o l r o d s t o k e e p i t i n w h a t I ' l l c a l l d y n a m i c e q u i l i b r i u m .
Y o u n e v e r r e a l l y h i t s t a t i c e q u i l i b r i u m u n l e s s i t ' s o f f . A s I w e n t t o a s e m i n a r a c o u p l e w e e k s a g o a n d s a i d , I d o n ' t s t u d y b i o l o g i c a l o r g a n i s m s i n s t a t i c e q u i l i b r i u m b e c a u s e t h a t ' s b e t t e r k n o w n a s a d e a d o r g a n i s m . T h e y ' r e n o t v e r y i n t e r e s t i n g . B u t d y n a m i c e q u i l i b r i u m s u r e i s , f o r t h e m a n d f o r u s .
S o w i t h t h i s p r o c e s s o f g e t t i n g t h e s i n g l e - g r o u p b a l a n c e e q u a t i o n s , I ' d l i k e t o g e n e r a l i z e t h i s t o t h e t w o - g r o u p b a l a n c e e q u a t i o n s . A n d t h i s i s s o m e t h i n g y o u c a n a c t u a l l y u s e .
I n e v e r y c a s e , w e ' r e g o i n g t o s a y , l e t ' s p u t o u r g a i n s o n t h e l e f t a n d p u t o u r l o s s e s o n t h e r i g h t , i f w e w a n t t o h a v e t h i s r e a c t o r i n e q u i l i b r i u m . A n d n o w w e ' l l s e p a r a t e o u r e q u a t i o n s i n t o t h e f a s t a n d t h e r m a l r e g i o n s o f n e u t r o n e n e r g y .
S o w e ' l l c a l l t h o s e f , a n d w e ' l l c a l l t h e t h e r m a l o n e s t h . S o u s i n g t h i s m o d e l o f o u r n e u t r o n d i f f u s i o n e q u a t i o n , w h a t a r e t h e g a i n s o f n e u t r o n s i n t o t h e f a s t s p e c t r u m ?
A U D I E N C E : S t r a i g h t f r o m f i s s i o n .
P R O F E S S O R : Y e a h , s t r a i g h t f r o m f i s s i o n . S o h o w d o w e w r i t e t h a t ? T h i s p r o c e s s t h a t w e ' r e g o i n g t h r o u g h n o w , t h i s i s w h e r e r e c i t a t i o n r e a l l y b e g i n s b e c a u s e t h i s i s h o w I w a n t t o s h o w y o u g u y s h o w t o a p p r o a c h a p r o b l e m , l e t ' s s a y , a o n e - s e n t e n c e s t a t e m e n t l i k e , g i v e m e t h e f l u x a n y w h e r e i n a t w o - g r o u p r e a c t o r .
T h i s i s h o w w e g o a b o u t i t . S o h o w d o y o u e q u a t i o n a l l y p u t t h e n e u t r o n g a i n s f r o m f i s s i o n ? W h a t t e r m s d o w e h a v e u p t h e r e r i g h t n o w ?
A U D I E N C E : Y o u r n e u t r o n m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r a n d y o u r c r o s s s e c t i o n .
P R O F E S S O R : Y e p . Y e p . Y o u ' l l h a v e y o u r n u , y o u r n e u t r o n m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r . A n d n o w , w e ' r e a c t u a l l y g o i n g t o s p l i t e v e r y c r o s s s e c t i o n i n t o i t s f a s t a n d t h e r m a l e n e r g y r a n g e s b e c a u s e n o w w e ' r e a c t u a l l y s p l i t t i n g t h a t e n e r g y , l i k e w e d i d w h e n I d r e w t h a t c r a z y c r o s s s e c t i o n .
L e t ' s s e e , w e h a d l o g o f e v e r s u s l o g o f s i g m a , a n d t h e y a l l f o l l o w r o u g h l y t h a t f o r m u l a . A n d w e s p l i t i t a n d s a i d , i f w e w a n t t o d r a w a n a v e r a g e c r o s s s e c t i o n , i t w o u l d l o o k s o m e t h i n g l i k e t h i s . A n d t h a t w o u l d b e o u r s i g m a t h e r m a l a n d t h i s w o u l d b e o u r s i g m a f a s t .
S o t h a t ' s w h a t w e ' r e d o i n g h e r e . S o n o w i t g e t s a l i t t l e m o r e c o m p l i c a t e d b e c a u s e b o t h f a s t a n d t h e r m a l n e u t r o n s c a n c o n t r i b u t e t o f i s s i o n . S o h o w d o w e w r i t e t h i s i n t e r m s o f e q u a t i o n s ?
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ]
P R O F E S S O R : W e o n l y w a n t t h e n e u t r o n s t h a t a r e b o r n i n t o t h e f a s t r e g i o n , t h e f a s t g a i n s . T h a t d o e s n ' t m e a n y o u d o n ' t h a v e t o c o n s i d e r w h e r e a r e t h e t h e r m a l n e u t r o n s , b e c a u s e i t ' s m o s t l y t h o s e t h e r m a l n e u t r o n s t h a t , w h e n t h e y g e t a b s o r b e d a n d m a k e f i s s i o n , c r e a t e f a s t n e u t r o n s .
S o w h a t w e ' d r e a l l y n e e d i s s i g m a f i s s i o n f a s t t i m e s o u r f a s t f l u x b e c a u s e w e ' r e g o i n g t o s p l i t e v e r y v a r i a b l e i n t o i t s f a s t a n d t h e r m a l p a r t s , p l u s - - l e t ' s p u t a p a r e n t h e s e s t h e r e - - s i g m a f i s s i o n t h e r m a l p h i t h e r m a l .
S o d o y o u g u y s s e e w h a t I ' v e d o n e h e r e ? W e ' r e a s s u m i n g t h a t e v e r y n e u t r o n i s b o r n i n t h e f a s t g r o u p , w h e r e w e ' r e c u t t i n g t h i s o f f a t a r o u n d 1 e v . A n d w e a r e a s s u m i n g t h a t n o n e u t r o n s a r e b o r n b e l o w 1 e v , w h i c h i s a v e r y g o o d a s s u m p t i o n .
S o i n t h i s c a s e , b o t h t h e f a s t a n d t h e t h e r m a l f l u x e s c o n t r i b u t e t o c r e a t i n g f a s t n e u t r o n s . I s t h e r e a n y o t h e r s o u r c e o f f a s t n e u t r o n s ? G o o d , b e c a u s e I d o n ' t k n o w o f o n e e i t h e r .
O K w h a t a b o u t l o s s e s ? B y w h a t m e c h a n i s m s c a n n e u t r o n s l e a v e t h e f a s t g r o u p ? Y e a h ?
A U D I E N C E : A r e n ' t t h e y a b s o r b e d ?
P R O F E S S O R : Y e a h . T h e y c a n b e a b s o r b e d . S o h o w d o I w r i t e t h a t ?
A U D I E N C E : S i g m a a f - -
P R O F E S S O R : a f - -
A U D I E N C E : - - t i m e s t h e f l u x f a s t .
P R O F E S S O R : T i m e s t h e f a s t f l u x . S o o n l y n e u t r o n s i n t h e f a s t f l u x g r o u p w i l l l e a v e t h e f a s t f l u x g r o u p b y a b s o r p t i o n . A n d w h a t ' s t h e o t h e r m e c h a n i s m t h a t w e h a d i n o u r n e u t r o n d i f f u s i o n e q u a t i o n ?
A U D I E N C E : S c a t t e r i n g .
P R O F E S S O R : Y e a h , a c t u a l l y , s o t h a t ' s n o t i n t h e d i f f u s i o n e q u a t i o n , b u t y o u a r e r i g h t . T h a t ' s t h e m i s s i n g p i e c e t h a t i s g o i n g t o b e t h e h a r d p a r t , s o . L e t ' s a d d t h a t i n n o w .
S o t h e r e ' s g o i n g t o b e s o m e s c a t t e r i n g f r o m t h e f a s t t o t h e t h e r m a l g r o u p , t i m e s o u r f a s t f l u x . S o n o t e v e r y s c a t t e r i n g e v e n t w i l l c a u s e t h e n e u t r o n t o l e a v e t h e f a s t g r o u p , b u t s o m e o f t h e m w i l l .
S o w e h a v e t o f i g u r e o u t , w h a t i s t h e p r o p o r t i o n o f t h o s e n e u t r o n s t h a t w i l l s c a t t e r f r o m t h e f a s t g r o u p t o t h e t h e r m a l g r o u p ? F o r t h e c a s e o f h y d r o g e n , i t ' s p r e t t y e a s y b e c a u s e t h e p r o b a b i l i t y o f a n e u t r o n l a n d i n g a n y w h e r e f r o m z e r o t o e , s t a r t i n g o f f a t e n e r g y e i , i f w e h a d o u r s c a t t e r i n g k e r n e l , i s a c o n s t a n t . S o t h a t ' s n o t t o o h a r d .
A n d t h e n l a s t , w h a t o t h e r w a y c a n w e l o s e n e u t r o n s f r o m t h e f a s t g r o u p ?
A U D I E N C E : L e a k a g e .
P R O F E S S O R : Y e p . L e a k a g e . T h e y c a n l e a v e t h e r e a c t o r , a n d w e c a n w r i t e t h a t a s a d f a s t b g s q u a r e d f l u x . M a k e s u r e e v e r y t h i n g h a s b a r s t h a t n e e d s t h e m . O K . N o w , u s i n g t h e s a m e s o r t o f l o g i c , l e t ' s - - Y e a h , L u k e ?
A U D I E N C E : W h a t ' s t h e b g ? H o w i s t h a t d i f f e r e n t f r o m [ I N A U D I B L E ] ?
P R O F E S S O R : I t ' s n o t . I t ' s t h e s a m e . I t i s t h e s a m e b g t h a t d e s c r i b e s t h e g e o m e t r y o f t h e r e a c t o r .
A U D I E N C E : I g u e s s w h a t ' s t h e s u b s c r i p t b o f g ?
P R O F E S S O R : G m e a n s g e o m e t r y . Y e p . A n d y o u h a d a q u e s t i o n ?
A U D I E N C E : Y e a h , j u s t i n t h e l a s t f l u x , [ I N A U D I B L E ] f a s t f l u x .
P R O F E S S O R : Y e s , t h a n k y o u . T h a t i s a f a s t f l u x . Y e p . B u t i t ' s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h i s f l u x r i g h t h e r e i s n o t a f a s t f l u x . W e ' l l g e t b a c k t o t h a t s o o n .
N o w , u s i n g t h e s a m e s o r t o f l o g i c , l e t ' s w r i t e t h e g a i n s a n d l o s s e s i n t h e t h e r m a l g r o u p . S o w h a t i s t h e o n l y s o u r c e o f n e u t r o n s i n t o t h e t h e r m a l e n e r g y g r o u p ? I w a n t t o h e a r f r o m s o m e o n e w h o h a s n ' t s a i d a n y t h i n g y e t . S o J a r e d , w h a t w o u l d y o u s a y ? E i t h e r J a r e d b e c a u s e I h a v e n ' t h e a r d f r o m e i t h e r o f y o u .
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ]
P R O F E S S O R : Y o u d i d . O K , t h e n y o u . I ' m s o r r y . A l l r i g h t . Y e a h , y o u s a i d t h e n o p o w e r t h i n g . T h a n k y o u . A U D I E N C E : S o c o u l d y o u , l i k e i f s o m e t h i n g i s a b s o r b e d i n t h e f a s t s p e c t r u m , j u m p d o w n t o t h e t h e r m a l ? P R O F E S S O R : C l o s e . I w a n t t o r e p l a c e o n e w o r d i n w h a t y o u s a i d . I f s o m e t h i n g i s b l a n k i n t h e f a s t s p e c t r u m ,
i t g o e s d o w n t o t h e t h e r m a l s p e c t r u m .
A U D I E N C E : S c a t t e r e d .
P R O F E S S O R : Y e s , s c a t t e r e d . E v e r y n e u t r o n t h a t l e a v e s t h e f a s t g r o u p b y s c a t t e r i n g e n t e r s t h e t h e r m a l g r o u p a l s o b y s c a t t e r i n g . A n d i n t h i s c a s e , w e w a n t t o h a v e t h e f a s t f l u x a p p e a r h e r e b e c a u s e t h e n u m b e r o f n e u t r o n s e n t e r i n g t h e t h e r m a l g r o u p d e p e n d s o n h o w m a n y s c a t t e r o u t o f t h e f a s t g r o u p . Y e a h , L u k e ?
A U D I E N C E : W o u l d y o u e v e r s c a t t e r u p i n t o t h e f a s t g r o u p ?
P R O F E S S O R : Y o u ' l l s e e . Y e s . Y e a h , g r e a t . I j u s t g a v e s o m e t h i n g a w a y . Y e s . Y o u c a n , b u t n o , y o u u s u a l l y d o n ' t . S o w e w o u l d c o n s i d e r t h a t o n c e n e u t r o n s e n t e r t h e t h e r m a l g r o u p , t h e y ' r e a t t h e r m a l e q u i l i b r i u m w i t h t h e s t u f f a r o u n d t h e m , a n d u p s c a t t e r i n g i s r a r e l y a p o s s i b i l i t y .
Y o u ' l l s e e . Y e a h , q u i t e s o o n a c t u a l l y . D o n ' t w o r r y . N o t l i k e q u i z y o u ' l l s e e , b u t y o u ' l l s e e . Y e a h . I ' v e a l r e a d y g o t s o m e s t u f f p l a n n e d o u t . I t ' s g o i n g t o b e a p a r t o f t h e h o m e w o r k q u e s t i o n .
S o n o w w h a t l o s s m e c h a n i s m s d o w e h a v e ?
A U D I E N C E : L e a k a g e .
P R O F E S S O R : Y e a h , l e a k a g e . S o w e ' r e g o i n g t o h a v e s o m e s e p a r a t e t h e r m a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t b e c a u s e t h a t d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t d e p e n d s o n t h e c r o s s s e c t i o n s w h i c h d e p e n d s o n t h e g r o u p s y o u ' r e i n , t i m e s t h e s a m e g e o m e t r y , t i m e s p h i t h e r m a l .
A n d w h a t ' s t h e o n l y o t h e r m e c h a n i s m o f l o s s ?
A U D I E N C E : A b s o r p t i o n .
P R O F E S S O R : A b s o r p t i o n . W e ' v e g o t t o c l e a r a . W h y i s t h e r e n o s c a t t e r i n g f r o m t h e t h e r m a l g r o u p ?
A U D I E N C E : D i d n ' t y o u s a y i t w a s v e r y r a r e t o h a v e i t s c a t t e r u p t o t h e f a s t g r o u p ?
P R O F E S S O R : I ' d s a y e v e n s i m p l e r . O n c e y o u ' r e a t t h e b o t t o m , t h e r e ' s n o m o r e l o w e r y o u c a n g o . S o i n n e u t r o n i c s , w h e n y o u h i t t h e b o t t o m , y o u d o n ' t s a y , t h r o w m e a s h o v e l . Y o u s a y , y o u ' r e a t t h e f i n a l e n e r g y g r o u p .
S o n o w , w h a t w e ' d l i k e t o b e a b l e t o d o i s , l a s t t h i n g w e w a n t t o s t i c k i n i s o u r k e f f e c t i v e , o u r c r i t i c a l i t y , b e c a u s e i n r e a l i t y , t h i s i s k i n d o f w h a t w e w a n t t o k n o w i n t e r m s o f t h e g e o m e t r y a n d t h e m a t e r i a l s i n t h e r e a c t o r .
S o i f w e k n o w w h a t w e m a k e i t o u t o f a n d h o w b i g t o m a k e i t , w e s h o u l d b e a b l e t o g e t t h o s e i n b a l a n c e s u c h t h a t k e f f e c t i v e e q u a l s 1 . S o t h e o n l y r e a l l y u n k n o w n h e r e b e s i d e s t h e f l u x u n k n o w n s i s k .
A n d t h e r e a s o n I d o n ' t c a r e a b o u t t h e f l u x u n k n o w n s i s , t h e y ' r e g o i n g t o g o a w a y s o o n . Y e a h ?
A U D I E N C E : D o e s t h e t h e r m a l a l s o h a v e t h e [ I N A U D I B L E ] o v e r k ?
P R O F E S S O R : A b s o l u t e l y , b e c a u s e t h e k e f f e c t i v e i s o n t h e b o t t o m o f t h e t o t a l o r i g i n a l s o u r c e s o f n e u t r o n s .
J u s t l i k e , l e t ' s s e e . T h a t w a s o n e g r o u p . Y e a h . S o I ' d s a y r i g h t n o w , t h i s a c c o u n t s f o r t h e p r o d u c t i o n o f a l l n e u t r o n s , a n d e v e r y t h i n g e l s e d o w n t h e c h a i n i s l o s s e s . Y e a h , M o n i c a ?
A U D I E N C E : D o w e a s s u m e t h a t a l l n e u t r o n s [ I N A U D I B L E ] ?
P R O F E S S O R : W e k n o w , e x p e r i m e n t a l l y , t h a t t h e y t e n d t o b e b o r n b e t w e e n 1 a n d 1 0 m e v , b u t s i n c e y o u a s k e d , l e t ' s e s c a l a t e t h e p r o b l e m . A n d t h e n w e w i l l d e - e s c a l a t e v e r y q u i c k l y , j u s t t o s a y , l e t ' s d o a t h o u g h t e x p e r i m e n t , r i g h t ? L e t ' s s a y s o m e o f t h e n e u t r o n s w e r e b o r n t h e r m a l .
W h a t w o u l d w e h a v e t o a d d t o t h i s e x p r e s s i o n ? T h e r e ' s o n e v a r i a b l e m i s s i n g t h a t ' s n o t a n y w h e r e o n t h e s e b o a r d s , b u t w a s t h e r e o n T h u r s d a y a n d T u e s d a y .
A U D I E N C E : S p e c t r u m ?
P R O F E S S O R : T h a t ' s r i g h t . C h i , t h e b i r t h s p e c t r u m . S o i f s o m e n e u t r o n s a r e b o r n t h e r m a l , t h e n w e w o u l d h a v e t o a d d a C h i f a s t h e r e , a n d w e w o u l d h a v e t o a d d a C h i t h e r m a l t o s a y , t h i s i s t h e p r o p o r t i o n o f n e u t r o n s b o r n f a s t o r t h e r m a l , t i m e s n u t i m e s s i g m a f i s s i o n f a s t , p h i f a s t p l u s s i g m a f i s s i o n t h e r m a l , p h i t h e r m a l .
A n d I ' m n o t w r i t i n g n i c e b e c a u s e I ' m j u s t g o i n g t o e r a s e i t i n a s e c o n d , b u t t o g o w i t h y o u r t h o u g h t e x p e r i m e n t , t h i s i s w h a t i t w o u l d l o o k l i k e i f s o m e o f t h e n e u t r o n s w e r e b o r n t h e r m a l . P e r f e c t l y f i n e t h i n g t o m o d e l . D o e s n ' t h a p p e n m u c h i n r e a l l i f e , b u t g r e a t e x a m q u e s t i o n f o r n e x t y e a r . T h a n k y o u .
A U D I E N C E : N e x t y e a r .
P R O F E S S O R : N e x t y e a r . I ' m n o t g o i n g t o g i v e y o u y o u r o w n e x a m q u e s t i o n . T h a t ' s j u s t t o o e a s y f o r y o u . S o f o r n o w , l e t ' s f o r g e t a b o u t t h a t s t u f f a n d s t i c k w i t h t h e m o s t r e a l i s t i c s i t u a t i o n .
A h , r u n n i n g o u t o f r o o m a l r e a d y . O K . T h a t ' s f o r n e x t w e e k . S o l e t ' s f o r g e t a b o u t t h a t . W h a t d o w e d o n e x t ? W e h a v e t w o e q u a t i o n s a n d t h r e e u n k n o w n s . I n t e r e s t i n g . O r d o w e r e a l l y ?
W e l l , f o r o n e t h i n g , i f w e c a n g e t t h a t t o p e q u a t i o n a l l i n t e r m s o f o n e o f t h e f l u x e s , e i t h e r f a s t o r t h e r m a l , t h e n e v e r y t e r m i s i n t e r m s o f a f l u x a n d t h e y c a n a l l b e d i v i d e d o u t .
S o l e t ' s t a k e o n e o f t h e s e e q u a t i o n s a n d s u b s t i t u t e i n s o t h a t w e g e t e v e r y t h i n g i n t e r m s o f o n l y
o n e f l u x . S o l e t ' s s a y , t h e t o p o n e , w h i c h h a s g o t t h e k i n i t , h a s o n e i n s t a n c e o f p h i t h e r m a l .
S o l e t ' s i s o l a t e p h i t h e r m a l i n t e r m s o f e v e r y t h i n g e l s e . S o w e h a v e t h a t t h e r m a l e q u a t i o n r i g h t t h e r e . S o w e h a v e s i g m a s c a t t e r i n g f r o m f a s t t o t h e r m a l t i m e s f a s t f l u x e q u a l s t w o t h i n g s t i m e s p h i t h e r m a l , w h i c h i s d t h e r m a l b g s q u a r e d p l u s s i g m a a b s o r p t i o n t h e r m a l .
W e ' r e a c t u a l l y n o t t h a t f a r a w a y . S o a l l w e d o i s , w e d i v i d e e a c h s i d e - - w h e r e ' s m y s i m p l i f y i n g c o l o r - - s u b s t i t u t e . T h a t ' s n o t i t . R e a r r a n g e .
D i v i d e e v e r y t h i n g b y t h i s s t u f f , a n d t h o s e c a n c e l o u t . A n d w e ' r e l e f t w i t h a n e x p r e s s i o n f o r p h i t h e r m a l w h i c h w e c a n n o w p l u g i n t o t h a t t o p e q u a t i o n . S o w e ' r e l i k e o n e s t e p a w a y f r o m t h e f i n a l a n s w e r . T h e r e , e v e r y t h i n g ' s s t i l l v i s i b l e .
A n d s o n o w w e e n d u p w i t h 1 o v e r k t i m e s n u s i g m a f i s s i o n f a s t , f a s t , p l u s s i g m a f i s s i o n t h e r m a l t i m e s t h i s e x p r e s s i o n , s i g m a s c a t t e r i n g f a s t t o t h e r m a l , p h i f l u x o v e r d t h e r m a l .
I d o n ' t u s u a l l y s p e n d t h i s m u c h o f t h e c l a s s w i t h m y b a c k t o y o u , b u t t h i s i s p r e t t y m a t h e m a t i c a l l y i n t e n s e , s o I a p o l o g i z e f o r t h a t . A n d e q u a l s s i g m a a b s o r p t i o n f a s t , f a s t f l u x , p l u s d f a s t b g s q u a r e d f a s t f l u x .
T h a t ' s n o t a b a r . T h a t h a s o n e . T h a t h a s o n e . T h a t d o e s . T h a t ' s g o o d . O K . N o w e v e r y s i n g l e t e r m h e r e i s i n t e r m s o f f a s t f l u x . S o w e c a n j u s t c a n c e l t h e m f r o m e v e r y s i n g l e t e r m h e r e .
A n d n o w w e ' r e l e f t w i t h a n e x p r e s s i o n f o r k e f f e c t i v e t h a t ' s j u s t i n t e r m s o f m a t e r i a l p r o p e r t i e s a n d g e o m e t r y f o r t h e t w o - g r o u p p r o b l e m . W e ' r e o n l y o n e s t e p a w a y .
S o i f w e m u l t i p l y e v e r y t h i n g b y k a n d d i v i d e e v e r y t h i n g b y t h i s s t u f f , w e ' l l j u s t h a v e a s i g m a a b s o r p t i o n p l u s d f a s t b g s q u a r e d . T h a t w o u l d e q u a l k . A n d j u s t l i k e t h a t i s t h e c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n f o r a t w o - e n e r g y g r o u p h o m o g e n e o u s r e a c t o r o f a n y g e o m e t r y .
A l l t h a t m a t t e r s t o d e f i n e t h e g e o m e t r y i s , w h a t ' s t h i s b g s q u a r e d ? S o t h i s c a s e w o r k s f o r a n i n f i n i t e s l a b r e a c t o r . I t w o r k s f o r a n a c t u a l r i g h t c y l i n d r i c a l r e a c t o r . Y o u j u s t h a v e t o s e l l f o r o r l o o k u p t h e c o r r e c t b u c k l i n g t e r m , t h i s b g s q u a r e d , w h i c h I ' l l t e l l y o u n o w , w e r e f e r t o a s b u c k l i n g o r g e o m e t r i c b u c k l i n g , a n d y o u ' v e g o t t h e s o l u t i o n t o t h i s .
L e t ' s j u s t c h e c k t o s e e w h a t w e a c t u a l l y h a v e h e r e . W e h a v e n u m a t e r i a l p r o p e r t y , m a t e r i a l p r o p e r t y . A l l o f t h o s e a r e m a t e r i a l p r o p e r t i e s e x c e p t f o r t h e b g ' s . S o t h i s t e l l s y o u h o w t o d e s i g n a r e a c t o r , p h y s i c a l l y , a n d i n t e r m s o f w h i c h m a t e r i a l s t o m a k e s u r e t h a t i t ' s c r i t i c a l .
A n d i f w e l o o k a t w h a t t h i s l o o k s l i k e h e r e , a g a i n , i t ' s a r a t i o o f g a i n s t o l o s s e s b e c a u s e e v e n t u a l l y , t h e l o s s e s r i g h t h e r e , t h e s e a r e t h e l o s s e s f r o m t h e f a s t g r o u p . T h e s e a r e t h e l o s s e s f r o m t h e t h e r m a l g r o u p . T h e s e a r e t h e g a i n s i n t h e f a s t g r o u p , n o t i n g t h a t s o m e o f t h e n e u t r o n s b o r n i n t h e f a s t g r o u p s c a t t e r o u t o f t h e t h e r m a l g r o u p , b u t d o n ' t l e a v e t h e r e a c t o r .
S o a g a i n , i t t u r n s o u t t o a g a i n s o v e r l o s s e s r a t i o . A n d t h e r e y o u h a v e i t . S o I w a n t t o s t o p a t 1 0 o f - - Y e a h .
A U D I E N C E : D i d w e d r o p t h e s c a t t e r i n g t e r m f r o m t h e f a s t e q u a t i o n ?
P R O F E S S O R : I t s h o u l d b e - - d i d w e ? Y e a h . L e t ' s s t i c k i t i n r i g h t h e r e . S o w e ' l l j u s t a l s o s t i c k i t h e r e . T h e r e .
A n d t h a t f l u x g o e s a w a y b e c a u s e i t w a s i n t e r m s o f e v e r y t h i n g . Y e a h . T h e r e w e g o . T h a n k y o u . O K .
B u t a g a i n , t h i s r e p r e s e n t s l o s s e s o n t h e b o t t o m , g a i n s o n t h e t o p , j u s t l i k e a n y o t h e r k e f f e c t i v e . S o I w a n t e d t o s t o p h e r e a t 1 0 o f , 5 o f , a n d a n s w e r a n y a n d a l l q u e s t i o n s y o u g u y s h a v e a b o u t g o i n g f r o m t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n a l l t h e w a y t o s o m e t h i n g t h a t y o u c o u l d s o l v e , a n d t h e n s t a r t t o p l a y a r o u n d w i t h t o s a y , w h a t h a p p e n s i f I s w i t c h i s o t o p e s ?
W h a t h a p p e n s i f I r a i s e t h e t e m p e r a t u r e ? W h a t h a p p e n s i f a c h u n k f a l l s o f f o f t h e r e a c t o r a n d i t g e t s s m a l l e r ? Y e a h .
A U D I E N C E : W e g o t t h e e q u a t i o n f o r [ I N A U D I B L E ] .
P R O F E S S O R : Y e s .
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ] ?
P R O F E S S O R : S o m e w h a t . W e c a n a s s u m e t h a t f o r c o n s i d e r a b l y l o n g e n o u g h t i m e s , a n d t o a n e u t r o n , a l o n g t i m e c o u l d b e l i k e s e c o n d s , t h a t t h e t i m e a n d t h e s p a t i a l f o r m o f t h e f l u x a r e s e p a r a b l e w h i c h i s s o m e t h i n g t h a t w e ' l l t a l k a b o u t o n T u e s d a y .
B u t , i f y o u r e m e m b e r , o n e o f t h e m a j o r a s s u m p t i o n s w e m a d e i n t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n w a s s t e a d y s t a t e . W e g o t r i d o f a n y t r a n s i e n t e f f e c t s . W e ' l l b r i n g t h e m b a c k , n o w t h a t w e h a v e a w a y s i m p l e r c a s e , o n T u e s d a y . Y e a h , L u k e ?
A U D I E N C E : [ I N A U D I B L E ] s t e p , t h e p l u s s c a t t e r i n g - -
P R O F E S S O R : F r o m f a s t t o t h e r m a l .
A U D I E N C E : I s t h a t a l s o s u p p l i e d b y t h e s i g m a [ I N A U D I B L E ] ?
P R O F E S S O R : W h e r e i s t h a t g o i n g ?
A U D I E N C E : I t m u s t b e i n t h e d e n o m i n a t o r , r i g h t , b e c a u s e i t w a s o v e r o n t h e r i g h t s i d e ?
P R O F E S S O R : L e t ' s s e e . O h , y e a h , w e d i v i d e d b y a l l t h e s t u f f o n t h e r i g h t s i d e , d i d n ' t w e ? O K . S o t h a t s h o u l d n ' t b e t h e r e . B u t i t s h o u l d b e t h e r e b e c a u s e w e d i v i d e d b y e v e r y t h i n g o n t h e r i g h t s i d e .
L e t ' s j u s t c h e c k t h a t r e a l l y c a r e f u l l y . S o i t s h o u l d h a v e b e e n - - n o , t h a t ' s t h e t h e r m a l o n e . S o w e ' r e n o t w o r r y i n g a b o u t t h a t . Y e p . S o i t w o u l d j u s t e n d u p h e r e . Y e a h . G o o d p o i n t . C o o l .
L e t ' s t a l k a l i t t l e b i t a b o u t w h a t I ' d w a n t y o u g u y s t o b e a b l e t o d o w i t h t h i s . S o w h a t w o u l d I w a n t y o u t o b e a b l e t o d o o n t h e h o m e w o r k a n d o n a n e x a m ? W i t h t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n , r e c i t e i t f r o m m e m o r y . W e l l , n o t r e a l l y .
B u t i f I w e r e t o g i v e y o u t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n , I ' d m a y b e w a n t y o u t o e x p l a i n w h a t s o m e o f t h e t e r m s m e a n , o r t e l l m e h o w y o u w o u l d g e t t h e d a t a , o r e x p l a i n o n e o f t h e s i m p l i f i c a t i o n s t e p s a n d j u s t i f y w h y y o u t h i n k i t ' s O K b e c a u s e w e a c t u a l l y w r o t e o u t t h e j u s t i f i c a t i o n f o r e v e r y s t e p o n t h e b o a r d .
O r e x p l a i n , f o r e x a m p l e , w h a t ' s t h e p h y s i c a l r e a s o n t h a t w e c a n s o l v e t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n w i t h t h i s d i f f u s i o n a p p r o x i m a t i o n ? A n d i n w h i c h r e g i o n s d o e s t h a t a p p r o x i m a t i o n b r e a k d o w n ?
S o c a n a n y o n e t e l l m e , f r o m y e s t e r d a y , w h e r e i s t h e d i f f u s i o n e q u a t i o n a b a d a p p r o x i m a t i o n o f t h e f l u x ? Y e p .
A U D I E N C E : N e a r t h e c o n t r o l r o d s o r t h e f u e l .
P R O F E S S O R : N e a r t h e c o n t r o l r o d s o r t h e f u e l , o r a n y w h e r e e l s e w h e r e c r o s s s e c t i o n s c h a n g e a l l o f a s u d d e n b e c a u s e d i f f u s i o n d e s c r i b e s l o n g d i s t a n c e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n s a c r o s s p l a c e s , a n d w h e r e t h i n g s c h a n g e d r a s t i c a l l y , d i f f u s i o n b r e a k s d o w n .
B e c a u s e w e a s s u m e d h e r e t h a t t h e n e u t r o n s b e h a v e d l i k e a n i d e a l g a s o r s o m e c h e m i c a l s p e c i e s w i t h n o n e u t r o n t o n e u t r o n i n t e r a c t i o n s , b e c a u s e t h e m e a n f r e e p a t h l e n g t h f o r t h o s e i n t e r a c t i o n s i s l i k e , w h a t d i d w e s a y , 1 0 t o t h e 8 t h c e n t i m e t e r s , s o a m e g a m e t e r ? Y e a h . I l o v e u s i n g t h o s e s o r t s o f t e r m i n o l o g i e s .
1 , 0 0 0 k i l o m e t e r s b e f o r e a n e u t r o n w o u l d h i t a n o t h e r n e u t r o n . O r I m i g h t a s k y o u t o , l e t ' s s a y , r e d u c e t h e n e u t r o n d i f f u s i o n e q u a t i o n a n d c o m e u p w i t h a s i m p l e c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n . O r l e t ' s s a y , i f y o u w e r e t o m a k e a p h y s i c a l c h a n g e t o t h e r e a c t o r , t e l l m e i f y o u t h i n k i t w o u l d g o m o r e o r l e s s c r i t i c a l , a n d w h a t w o u l d h a p p e n n e x t ?
O r I c o u l d g i v e y o u a d i f f e r e n t p h y s i c a l s i t u a t i o n , l i k e t h e u p s c a t t e r i n g s c e n a r i o , w h i c h I w i l l , a n d a s k y o u t o p o s e a n d m a y b e s o l v e t h e s e e q u a t i o n s , o r a t l e a s t g e t f o r m s o f t h e c r i t i c a l i t y c o n d i t i o n .
I ' m n o t g o i n g t o a s k y o u t o g e t t o n s o f f l u x e q u a t i o n s b e c a u s e t h a t ' s a l l 2 2 . 0 5 i s a b o u t , i s d o i n g t h i s s o r t o f n e u t r o n p h y s i c s . B u t I w a n t t o m a k e s u r e t h a t y o u w a l k i n t o t h a t c l a s s p r e p a r e d .
P l u s w e ' v e b e e n k i n d o f h e a v y o n t h e - - y o u k n o w , t h i s c l a s s , t h e n a m e o f i t i s I n t r o t o N u c l e a r E n g i n e e r i n g a n d I o n i z i n g R a d i a t i o n . A n d s o f a r , w e ' v e b e e n p r e t t y h e a v y o n t h e i o n i z i n g r a d i a t i o n a n d p h y s i c s .
S o t h i s i s w h e r e t h e e n g i n e e r i n g c o m e s i n . A s s u m i n g y o u h a v e s o m e m a t e r i a l p r o p e r t i e s , y o u c a n n o w p i c k t h e m t o c r e a t e a r e a c t o r i n p e r f e c t e q u i l i b r i u m . Y e a h , K r i s t i n ? N o ?
S o d i d a n y o n e e l s e h a v e a n y q u e s t i o n s a b o u t t h e m a t e r i a l o r a b o u t w h a t I m i g h t a s k y o u t o d o w i t h i t ? Y e a h .
A U D I E N C E : Y o u s a i d t h i s e q u a t i o n w o u l d h o l d f o r a n y g e o m e t r y j u s t b a s e d o n [ I N A U D I B L E ] n e u t r o n s .
P R O F E S S O R : Y e p . S o a l l t h a t y o u w o u l d d o d i f f e r e n t l y i s , r i g h t h e r e , w h e n w e h a d t h a t L a p l a c i a n o p e r a t o r , w e t o o k t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e o f a n i n f i n i t e r e a c t o r i n f i n i t e a n d o n e d i m e n s i o n , w h i c h m e a n t t h e L a p l a c i a n o p e r a t o r i s j u s t d o u b l e d e r i v a t i v e o f x .
B u t y o u c o u l d p o s e t h e e q u a t i o n i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s a n d s a y , w e l l , l e t ' s s a y n o w y o u h a d a n i n f i n i t e c y l i n d e r r e a c t o r , y o u w o u l d n ' t n e c e s s a r i l y h a v e s i n e s a n d c o s i n e s t h a t w o u l d s a t i s f y t h i s r e l a t i o n . A n y o n e h a p p e n t o k n o w w h a t y o u ' d h a v e ?
T h e s i n e s a n d c o s i n e s o f t h e c y l i n d r i c a l w o r l d , c a l l e d B e s s e l f u n c t i o n s . S o t h e s e a r e t h e s o r t s o f , i n c y l i n d r i c a l g e o m e t r y e q u a t i o n s , t h a t b e h a v e s i m i l a r t o s i n e s a n d c o s i n e s w i t h k i n d o f r e g u l a r r o u t e s a n d t h a t y o u c a n d e s c r i b e i n a s i m i l a r w a y .
B u t I ' m n o t g o i n g t o g e t y o u g u y s i n t o t h a t . I ' l l j u s t s a y , O K , t h e r e e x i s t s s o l u t i o n s t h a t y o u c a n l o o k u p i n t h e c y l i n d r i c a l c a s e . A n d I w o u l d n o t m a k e y o u d e r i v e t h e m b y h a n d b e c a u s e , w h a t ' s
t h e p o i n t ?
A g a i n I ' m n o t h e r e t o d r i l l y o u r - - c a n y o u d o t h e s a m e m a t h o v e r a n d o v e r a g a i n ? I w a n t t o m a k e s u r e t h a t y o u c a n i n t u i t i v e l y u n d e r s t a n d , w h a t ' s a k e f f e c t i v e ? I n a s e n t e n c e , i t ' s g a i n s o v e r l o s s e s .
W h a t h a p p e n s w h e n y o u p u s h t h a t o u t o f e q u i l i b r i u m ? O r w h a t p h y s i c a l s i t u a t i o n s c o u l d p u s h t h a t o u t o f e q u i l i b r i u m ? S o a n y o t h e r q u e s t i o n s f o r y o u g u y s ? Y e a h .
A U D I E N C E : J u s t c u r i o u s o n t h e c y l i n d r i c a l g r a p h w e h a v e t h e r e , w h a t w o u l d t h e g r a p h i n f l u x l o o k l i k e ?
P R O F E S S O R : I t w o u l d l o o k p r e t t y s i m i l a r . I n r , i t w o u l d k i n d o f c o m e d o w n l i k e t h a t . I t w o u l d a l w a y s b e s y m m e t r i c a b o u t t h e c e n t e r f o r s y m m e t r y a r g u m e n t s , a n d i n z , i t w o u l d l o o k k i n d o f l i k e t h a t .
A n d s o a c t u a l l y i n t h e e n d , t h e f o r m o f f l u x i n r a n d z c o m e s o u t a s t h e f i r s t B e s s e l f u n c t i o n . L e t ' s s a y , t h a t ' s a t i m e s t h e - - w h a t w o u l d y o u c a l l i t - - t i m e s c o s i n e o f t h i s d i s t a n c e i s z , s o p i i s z o v e r - - I ' m g o i n g t o h a v e t o a d d a s u b s c r i p t .
A n d t h e r e ' d b e s o m e c o n s t a n t a i n t h e r e . S o w h a t y o u c a n a s s u m e f o r m u l t i - d i m e n s i o n a l r e a c t o r s i s t h a t t h e d i m e n s i o n s a r e s e p a r a b l e . S o t h e r p a r t i s s o l v e d s e p a r a t e l y f r o m t h e z p a r t . A n d t h a t c o m e s r i g h t f r o m t h e L a p l a c i a n o p e r a t o r r i g h t h e r e .
I f y o u a s s u m e t h a t s o m e f l u x i n r a n d z c a n b e w r i t t e n l i k e t h e r p a r t a s a f u n c t i o n o f r t i m e s t h e z p a r t a s a f u n c t i o n o f z , t h e n t h e s o l u t i o n g e t s a l o t e a s i e r t o d e a l w i t h . B u t t h i s i s n o t s o m e t h i n g I ' d a s k y o u t o d o i n a n y c o o r d i n a t e s b u t C a r t e s i a n b e c a u s e t h o s e a r e m o r e i n t u i t i v e , a n d y o u ' l l g e t p l e n t y o f t h e o t h e r s t u f f l a t e r .
A U D I E N C E : W h a t ' s t h e n a m e o f t h o s e f u n c t i o n s a g a i n ?
P R O F E S S O R : T h e y ' r e c a l l e d B e s s e l f u n c t i o n s . S o i f y o u w a n t t o l o o k u p , t h e r e ' s a l i t t l e b i t a b o u t t h e m i n t h e r e a d i n g , b u t i t ' s o n e o f t h e m o r e a d v a n c e d t o p i c s t h a t I ' m n o t g o i n g t o h a v e y o u g u y s r e s p o n s i b l e f o r .
M u c h r a t h e r i t b e y o u ' d b e a b l e t o t e l l m e w h a t h a p p e n s i f y o u c o m p r e s s t h e r e a c t o r o r r a i s e i t s t e m p e r a t u r e , o r p u l l o u t a c o n t r o l r o d , o r r a i s e t h e p u m p i n g s p e e d a n d c o o l d o w n t h e w a t e r , o r s o m e t h i n g l i k e t h a t .
S o t h e r e ' l l b e p l e n t y o f t h o s e k i n d s o f q u e s t i o n s o n t h e h o m e w o r k t o h e l p r e i n f o r c e y o u r i n t u i t i o n , a s w e l l a s s o m e o f t h e n o o d l e s c r a t c h e s w i l l b e d e v e l o p i n g a c r i t i c a l i t y r e a c t i o n o r
e q u a t i o n f o r a m o r e c o m p l e x s y s t e m t h a n t h e o n e I ' v e j u s t s h o w n y o u h e r e , b u t u s i n g t h e s a m e m e t h o d o l o g y a n d t h e s a m e i d e a s .